II semestre - A.A. 2022-2023
Docente: Prof. Flaminio
Flamini e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
Co-docente: Prof. Antonio Rapagnetta e-mail: rapagnet@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
Legenda
Bibliografia
* [G1] Geometria I, Bollati Boringhieri (E. Sernesi) – è lo stesso testo di riferimento
nel corso Geometria 1 a.a. 2022/2023
* [DISP] Dispense on-line scaricabili gratuitamente
° [DISP_A] Isometrie notevoli di IE^2 ed IE^3 (note Prof.
Flamini)
° [DISP_B] Complessificazione di spazi vettoriali e spazi affini reali (note Proff.
Ciliberto-Galati-Tovena)
° [DISP_C] Spazi vettoriali quozienti e duali (capp. 11 e 12 da “Algebra Lineare” Prof. C. Ciliberto)
Orari
ed Argomenti Lezioni ed Esercitazioni:
(vedere specifiche nella tabella
sottostante)
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SEMESTRE |
SETTIMANA |
LEZIONE |
ARGOMENTI |
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I |
Settimana 1 |
(2
ore)-07/03/2023 |
Presentazione del corso, del materiale didattico e dei metodi
di valutazione (Esoneri, Appelli) Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 15 *
Forme bilineari su un campo IK con char(IK) diversa da 2 * Bil(V)
= insieme delle forme bilineari su V * Sym(V)
sottoinsieme di Bil(V) delle forme bilineari simmetriche su V * Alt(V)
sottoinsieme di Bil(V) delle forme bilineari antisimmetriche (o
alterne) su V * Esempi
15.2: (1)
forma bilineare nulla, (2)
forma simmetrica standard su IK^n (3)
forma alterna standard su IK^n, quando n è pari * Ogni forma
bilineare b induce due applicazioni lineari in Hom(V, IK); precisamente
b(v,-): Và IK e b(-,w):Và IK, dette funzionali lineari
su V *
Matrice rappresentativa di una forma bilineare b in una fissata base E
di V * Proposizione
15.4: (i) Bil(V) è uno spazio vettoriale di dimensione n^2 perché,
fissata una qualsiasi base E di V, Bil(V) è isomorfo allo
spazio vettoriale M(nxn;IK) delle matrici quadrate di ordine n. (ii)
Nell’identificazione di Bil(V) con M(nxn;IK), i sottoinsiemi Sym(V)
e Alt(V) sono sottospazi vettoriali di Bil(V) isomorfi,
rispettivamente, ai sottospazi delle matrici simmetriche Sym(nxn,IK) e delle
matrici antisimmetriche Alt(nxn;IK). (iii)
Calcolo delle dimensioni dei sottospazi Sym(V) ed Alt(V) |
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(2
ore)-08/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 15 *
Proposizione 15.5: Matrici rappresentative, in basi diverse di V, di
forme bilineari sono matrici congruenti. *
La congruenza è una relazione di equivalenza tra le matrici quadrate
di ordine n *
Rango di una forma bilineare: è una buona definizione. *
Forme bilineari non-degeneri; forme bilineari degeneri *
Proposizione 15.6: caratterizzazione di forme bilineari b non-degeneri
che utilizza le applicazioni lineari Và V* indotte dai due funzionali lineari b(v,-): Và IK e b(-,w):Và IK |
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(2
ore)-09/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 15 FORME BILINEARI SIMMETRICHE *
Vettori b-ortogonali rispetto ad una forma bilineare simmetrica b *
S^{perp} = sottospazio b-ortogonale ad un sottoinsieme S di V *
Se S = {v} allora si scrive v^perp. *
Esempi di calcolo di S^{perp} con varie forme bilineari simmetriche b *
Sottospazio b-ortogonale ad un sottospazio U dato. *
Sottospazi b- ortogonali *
Radicale di una forma bilineare simmetrica b su V. *
Il radicale di b è banale se e solo se b è non-degenere *Il
radicale di b si identifica a Ker(b(v,-)), dove b(v,-): V à V^* l’omomorfismo tra V ed il suo duale, indotto da
b. Stesso discorso per b(-,v):V àV^*. *
Vettori b-isotropi in V *
Se v è un vettore nel radicale di b allora v è un vettore b-isotropo di V, ma
non è vero il viceversa. *
Esempi di forme bilineari simmetriche non-degeneri (quindi con radicale
banale) che hanno vettori isotropi non nulli *
Coefficiente di Fourier di un vettore w rispetto ad un
vettore v non b-isotropo *
Esempi vari *
15.10 Complementi (6) (dimostrazione del Prof. F. Flamini alternativa al libro, che
invece usa questioni di dualità più avanzate) (i)
Se b è una forma bilineare simmetrica non-degenere su V di dimensione
n ed U è un sottospazio proprio di V di dimensione s <n , allora
dim(U^perp) = n-s. (ii)
Se inoltre U non contiene vettori isotropi non-nulli, allora U e
U^perp sono in particolare in somma diretta e quindi V è somma diretta di U
ed U^{perp} *
15.10 Complementi (7): Cono b-isotropo, sottospazi b-isotropi,
forma bilineare simmetrica anisotropa. *Esempi:
(i)
La forma bilineare simmetrica standard su IR^n è anisotropa (ii)
La forma bilineare simmetrica standard su C^2 ha cono isotropo non
banale. |
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(2 ore)-
10/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 15 *
Se A è la matrice rappresentativa di una forma bilineare simmetrica b in una
data base E di V, allora il radicale di b è dato dal sottospazio
Ker(A). *
Forma quadratica associata ad una forma bilineare
simmetrica b. Esempi *
Forma bilineare simmetrica polare associata ad una forma
quadratica Q:V à IK *
Forme bilineari simmetriche o forme quadratiche su V sono concetti
equivalenti. *
L’insieme Q(V) delle forme quadratiche su V eredita la struttura di
spazio vettoriale di Sym(V). *
Due matrici simmetriche A e B rappresentano, in basi E ed F
diverse, la stessa forma quadratica q su V se e solo se A e B sono matrici
congruenti per mezzo di una matrice M
che è la matrice cambiamento di base tra le due basi E ed F
date. *
Rango di una forma quadratica: è una buona definizione *
Polinomi omogenei Q(X_1, X_2, …., X_n) di secondo grado nello spazio
vettoriale IK[X_1, X_2, ……, X_n]_{<= 2} che rappresentano forme
quadratiche q su uno spazio vettoriale V di dimensione n in una data base E
di V *
Matrice simmetrica associata ad un polinomio omogeneo Q(X_1, X_2, …., X_n) di
secondo grado in IK[X_1, X_2, ……, X_n]_{<= 2} *
Basi b-ortogonali, equiv. diagonalizzanti, una forma bilineare simmetrica b. *
Basi diagonalizzanti per forme quadratiche sono le basi b-ortogonali o
diagonalizzanti per la forma bilineare simmetrica polare b associata a q *
Restrizione di una forma bilineare b (o di una forma quadratica q) su V ad un
sottospazio W rimane una forma bilineare b|_W (o quadratica q|_W) su W *
15.10 Complementi (3) (i)
(U,h) con dim(U) = 2 e h forma iperbolica è un piano
iperbolico; (ii)
basi iperboliche per (U,h), (iii)
costruzioni di basi iperboliche per mezzo dell’esistenza di un vettore
h-isotropo non banale *
15.10 Complementi (4) se uno spazio vettoriale V di dimensione n è
munito di una forma quadratica q non-degenere che ammette un vettore
q-isotropo non banale, allora V contiene sempre un piano iperbolico (U, q|_U) *
15.10 Complementi (6) Rappresentabilità di scalari nel campo IK
mediante forme quadratiche q su V *
Se IK= C e q è forma quadratica non degenere, allora ogni numero
complesso è rappresentabile mediante q *
Se IK=IR, dipende dalla forma q quali scalari di IR si possono rappresentare *
Se (V, q) contiene un piano iperbolico (U, q|_U), allora ogni scalare in IK è
rappresentabile mediante q. |
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I |
Settimana 2 |
(2 ore)-
14/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 16 *
Diagonalizzazione di forme quadratiche q, equiv. di forme bilineari
simmetriche b, su un IK-spazio vettoriale V *
Teorema 16.1: Teorema di esistenza di basi b-diagonalizzanti una forma
bilineare simmetrica b (equiv. una forma quadratica q) su un qualsiasi campo
IK, con char(IK) diversa da 2. *
Versione matriciale del Teorema 16.1: ogni matrice simmetrica nxn su
un campo IK, con char(IK) diversa da 2, è congruente ad una matrice
diagonale. *
Algoritmo di Lagrange per la determinazione esplicita della
base diagonalizzante la forma bilineare simmetrica b (equiv. la forma
quadratica q) del Teorema 16.1 (dimostrazione del Prof. F. Flamini alternativa a quella del libro) *
Teorema 16.2: Caso IK algebricamente chiuso (e.g. IK= C).
Forme normali di forme bilineari simmetriche b (equiv.
forme quadratiche q) su campo IK algebricamente chiuso. *
Le forme normali dipendono solo dal rango di b (equivalentemente di q). *
Determinazione della base diagonalizzante che riduce una data forma bilineare
simmetrica b (equiv. la forma quadratica q) alla sua forma normale su IK
algebricamente chiuso (e.g. IK=C) |
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(2 ore)-
15/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 16 *
Teorema 16.3 (Teorema di Sylvester) Caso IK=IR. Forme
canoniche di Sylvester di forme bilineari simmetriche b (equiv.
forme quadratiche q) reali. *
Determinazione della base di Sylvester che riduce la forma bilineare
simmetrica b (equiv. la forma quadratica q) reale alla sua forma canonica di
Sylvester *
A differenza delle forme normali su IK algebricamente chiuso, le forme
canoniche di Sylvester reali non sono individuate solamente dal rango di b
(equiv. di q) *
Segnatura di una forma quadratica reale q *
Forme quadratiche reali: (i) (semi)definite negative,
(ii) (semi)definite positive, (iii) indefinite * Esempi: (i) forma
quadratica standard su IR^n (ii) forma quadratica di
Minkowski su IR^4: vettori di tipo spazio, di tipo
tempo e di tipo luce [G1] Capitolo 2, paragrafo 17 * Prodotti
scalari su uno spazio vettoriale reale * Spazi vettoriali (reali)
euclidei (V, < , >) * Complementi 17.8 (2)
Esempio di spazio vettoriale euclideo non finitamente generato: V=IR[x] con
< , > = integrale definito in [0,1] * Diseguaglianza
di Schwarz in uno spazio vettoriale euclideo * ||v|| = Norma
o lunghezza di un vettore * Diseguaglianza
triangolare * Versori. Versorizzazione
di vettori * Insiemi (finiti) di
vettori ortogonali (rispettivamente, ortonormali) * Proposizione 17.2:
Un insieme di vettori ortogonali in (V, < , >) è automaticamente un
sistema linearmente indipendente. * Basi ortogonali
di uno spazio vettoriale euclideo (V, < , >) * Basi
ortonormali di uno spazio vettoriale euclideo (V, < , >) |
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(2 ore)-
16/03/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
17/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 17 * Prodotto scalare di
vettori espressi in coordinate rispetto ad una base ortonormale: è la somma
dei prodotti delle coordinate omologhe. * Gruppo
ortogonale O(n,IR) e sottogruppo speciale ortogonale
SO(n,IR); sono sottogruppi di GL(n,IR)
([G1]
pp. 175-176) * Proposizione 17.3:
Sia (V, < , >) euclideo e sia E una base ortonormale. Una
ulteriore base F di V è ortonormale se e solo se la matrice
cambiamento di base M:= M_{E,F} è una matrice ortogonale, i.e. M è un
elemento di O(n,IR) * Proiezione
ortogonale di un vettore w lungo la direzione di un vettore v * Teorema 17.4
(ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) (dimostrazione solo per insiemi ortogonali, i.e. per insiemi
costituiti da un numero finito di vettori) * Proposizione 17.6:
se W è un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale euclideo (V,< ,
>), allora V si decompone in somma diretta con W e W^{perp}. La
decomposizione in somma diretta si chiama decomposizione di V in somma
diretta ortogonale * W^{perp} = il
complemento ortogonale al sottospazio W |
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I |
Settimana 3 |
(2 ore)-
21/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 17 * Proiezione
ortogonale di un vettore v su un sottospazio W * Identità pitagorica tra
vettori * Angolo convesso
tra due vettori non nulli * Orientazioni
di uno spazio vettoriale reale V ([G1] p. 151) * Angolo
orientato tra due vettori non nulli. * Determinazione
principale di un angolo orientato. * L’intervallo [0,
2pigreco) dell’asse reale si identifica all’insieme di rappresentanti di
tutte le determinazioni principali * Basi ortonormali di IR^2
positivamente orientate sono in corrispondenza biunivoca
con il gruppo delle rotazioni di angolo t, con t
determinazione principale in [0, 2 pigreco) * Complementi 17.8 (1)
Il campo complesso C e le rotazioni di angolo t. Rappresentazione polare
(o trigonometrica) di un numero complesso: modulo
ed argomento (od anomalia) di un
numero complesso |
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(2 ore)-
22/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 18 *
L’operazione di prodotto vettoriale in uno spazio
vettoriale euclideo di dimensione tre *
Proprietà del prodotto vettoriale (Teorema 18.2 e Corollario 18.3) *
Dipendenza solo dall’orientazione della base ortonormale * Significato
geometrico della norma del prodotto vettoriale: area del
parallelogramma (Proposizione 18.4) * Prodotto
misto di tre vettori * Significato
geometrico del prodotto misto: il modulo del prodotto misto di
tre vettori indipendenti v, w e u è il volume del
parallelepipedo che ha come spigoli i tre vettori dati. |
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(2 ore)-
23/03/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
24/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 19 *
Spazio euclideo (reali) n-dimensionali IE *
IE^n(IR) = n-spazio euclideo numerico standard * Riferimenti
cartesiani (o sistema di coordinate cartesiane)
in uno spazio euclideo n-dimensionale IE * Distanza
tra due punti in uno spazio euclideo n-dimensionale * Angolo
convesso fra due rette (affini) orientate in IE. *
Rette (affini) ortogonali in IE Piano
euclideo IE^2(IR) * Vettori
e versori normali ad una retta affine r di equazione cartesiana Ax + By + C =
0 *
Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di una retta passante per un
punto P e perpendicolare ad una retta r data *
Angolo convesso tra due rette affini e condizione di perpendicolarità tra due
rette in IE^2(IR). *
Proiezione ortogonale di un punto P su una retta affine r *
Distanza punto-retta d(P, r) *
Distanza tra due rette parallele in IE^2(IR) |
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I |
Settimana 4 |
(2 ore)-
28/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 19 Spazio
euclideo IE^3(IR) *
Vettori e versori normali ad un piano affine in IE^3(IR) *
Angolo convesso fra due piani (affini). Piani (affini) ortogonali. *
Condizione di perpendicolarità tra due piani affini *
Angolo convesso tra una retta affine ed un piano affine. Condizione di
perpendicolarità tra una retta ed un piano affini *
Proiezione ortogonale di un punto su un piano affine. *
Distanza punto-piano *
Distanza tra una retta affine ed un piano affine paralleli *
Distanza punto-retta *
Distanza tra due rette parallele (strategia geometrica differente dal
testo) *
Distanza tra due rette sghembe (strategia geometrica differente dal
testo) * Complementi
19.4 (1) (Iper)sfere ed (iper)dischi
di centro un punto C e raggio un intero r>0 in IE^n(IR). *
Per n=2,
circonferenze e cerchi, per n=3 sfere e palle. |
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(2 ore)-
29/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 20, p.
243-250 *
Operatori unitari su uno spazio vettoriale euclideo (V, < ,
> ) reale *
Teorema 20.1: caratterizzazioni equivalenti per gli operatori unitari *
Corollario 20.2: T è un operatore unitario se e solo se la matrice di
T, rispetto ad una qualsiasi base ortonormale E di V, è una matrice
ortogonale *
Gruppo ortogonale O(V). *
SO(V) = gruppo speciale ortogonale = rotazioni di V *
Proposizione 20.3: se un operatore unitario ammette autovalori, allora
essi sono esclusivamente +1 e – 1 [G1] Richiami da Geometria 1 -
Capitolo 1, paragrafo 14, p. 177-186 *
Affinità di uno spazio affine in sé e gruppo affine Aff(A).
*
Aff_n(IK) = gruppo affine dello spazio affine numerico A^n(IK): f(x)
= Ax + c *
Figure geometriche affinemente equivalenti e proprietà
affini di una figura geometrica. *
Definizione di Geometria Affine [G1] Capitolo 2, paragrafo 20, p.
243-250 *
Definizione 20.6: Isometria
di uno spazio euclideo IE. *
Isom(IE) = Gruppo delle isometrie di IE *
Isometrie dirette ed inverse |
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(2 ore)-
30/03/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
31/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini LEZIONE ONLINE SU
TEAMS [G1] Capitolo 2, paragrafo 20, p.
243-250 *
Descrizione esplicita di Isom_n(IR): i suoi elementi sono trasformazioni
della forma f(x) = A x + c dove A matrice in O(n,IR) e
c vettore numerico in IR^n *
Figure geometriche isometriche o congruenti.
*
Proprietà euclidee di una figura geometrica. *
Definizione di Geometria Euclidea [DISP_A] * Equazioni
di isometrie notevoli di IE^2(IR) (i)
Equazioni di traslazioni di passo un vettore v (ii)
Rotazioni attorno all’origine O di angolo orientato t (iii) Rotazioni
attorno ad un qualsiasi punto P di angolo orientato t (iv)
Riflessioni rispetto ad un punto P. (v)
Riflessione rispetto ad una retta cartesiana r: ax+by+c = 0 *
Trasformati di luoghi geometrici nel piano euclideo IE^2(IR) mediante
un’isometria * Equazioni
canoniche metriche di una retta. * Due
rette nel piano euclideo sono sempre congruenti (e quindi anche affinemente
equivalenti) |
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I |
Settimana 5 |
(2 ore)-
04/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_A] * Equazioni
di isometrie notevoli di IE^3(IR) (i)
Equazioni di traslazioni di passo un vettore v (ii) Rotazioni
attorno ad una retta vettoriale orientata, di angolo orientato t (iii)
Rotazioni attorno ad una retta affine orientata, di angolo orientato t (iv)
Riflessioni rispetto ad un punto P. (v) Riflessione
rispetto ad una retta cartesiana (vi)
Riflessione rispetto ad un piano cartesiano *
Trasformati di luoghi geometrici nello spazio euclideo IE^3(IR) mediante
un’isometria * Equazioni
canoniche metriche di una retta (di un piano). * Due
rette (due piani) nello spazio euclideo sono sempre congruenti (e quindi
anche affinemente equivalenti) |
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(2 ore)- 05/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_B] * V_C
= complessificazione di uno spazio vettoriale reale V * Vettori
reali e vettori immaginari puri in V_C * Dimensione
reale e dimensione complessa di V_C *
Vettori C-linearmente indipendenti * Definizione
1.1.2: Base reale del C-spazio vettoriale V_C * Definizione 1.1.1: Coniugio in V_C (i) è un’applicazione involutoria (ii) è un endomorfismo IR-lineare di V_C (iii) non è un endomorfismo C-lineare di
V_C *
Sottoinsiemi reali del C-spazio vettoriale V_C * Un
sottospazio reale di V_C ammette sempre una base reale * C-
sottospazi vettoriali di V_C che sono sottospazi vettoriali reali |
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(2 ore)- 06/04/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)- 07/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_B] *
Complessificazione f_C : V_C à V’_C di un’applicazione lineare f: Và V’ tra spazi vettoriali reali V e
V’. Matrici rappresentative in basi reali. * Prodotto
scalare complessificato indotto dal prodotto scalare < , >
su V spazio vettoriale euclideo (reale) di cui V_C è il complessificato. E’ una forma
bilineare simmetrica. * Definizione 1.1.4. Lunghezza di un vettore complesso v rispetto al prodotto scalare
complessificato * Definizione
1.1.5 Vettori complessi ortogonali rispetto al prodotto scalare
complessificato * Vettori
isotropi rispetto al prodotto scalare complessificato |
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I |
Settimana 6 |
(2 ore)- 11/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_B] * Paragrafo
1.2 Complessificazione A_C di uno spazio affine A
reale con spazio vettoriale associato V. * V(A_C) = V_C * Coniugio in uno spazio
affine complessificato A_C * I punti reali sono i punti
fissi del coniugio in A_C * Sottospazi
affini reali di uno spazio affine complessificato. * Affinità di A_C che estendono affinità di
A * Riferimenti
affini reali di uno spazio affine complessificato A_C * Lemma 1.2.1: Fissato
in A_C un riferimento affine reale RA(O, E), allora: (i) le coordinate in RA(O,
E) del coniugato di un punto P sono le coordinate coniugate di P (ii) P è un punto reale se
e solo in RA(O, E) P ha coordinate reali * Proposizione 1.2.2 (CNES
per avere un sottospazio affine reale in A_C) (1) H sottospazio affine è
reale se e solo se ha almeno un punto
reale e ha giacitura W reale. (2) Un sottospazio affine
H è reale se e solo se, rispetto ad un riferimento reale RA(O, E), ha
equazioni parametriche (rispettivamente cartesiane) reali. * Rette reali in A_C * Se un punto P ed il suo
coniugato sono punti distinti, la retta per P ed il coniugato di P è
sicuramente una retta reale. Equazioni parametriche e cartesiane in un
riferimento reale * Oss: se un sottospazio
affine ha equazioni reali in un dato riferimento reale, allora ciò capita in
ogni riferimento reale. |
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(2 ore)- 12/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_B] * Paragrafo
1.3 (pp. 7-8) * Complessificazione IE_C
di uno spazio euclideo IE (reale) * Punti a distanza nulla e
rette isotrope in IE_C * Paragrafo
1.6 (pp. 28-30): IE^2_C come complessificazione del piano euclideo
IE^2(IR). Riferimenti affini reali. *
Retta in IE^2_C: giacitura, vettore direttore e parametri direttori *
Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di una retta in IE^2_C * Retta
coniugata di una retta in IE^2_C * Rette
reali in IE^2_C: in un riferimento cartesiano reale hanno
equazioni parametriche ed equazione cartesiana reali. Contengono dunque
infiniti punti reali *
Condizioni matriciali per stabilire se una retta è reale e per trovare
equazione cartesiana ed equazioni parametriche reali *
Rette isotrope del piano IE^2_C. Non sono reali. * In IE^2_C esistono
due fasci impropri distinti di rette isotrope e per ogni punto del piano
passano esattamente due rette isotrope. I punti su queste rette sono a
distanza nulla fra loro. * Equazione
cartesiana complessiva di rette isotrope per un punto dato. X^2 + Y^2
= 0 equazione cartesiana complessiva delle due rette isotrope per l’origine. *
Osservazione 1.6.5: se una retta r è non reale: (i) o
l’intersezione di r con la retta coniugata è non vuota: allora
l’intersezione tra le due rette è un punto reale, esso è l’unico punto reale
sulle due rette, le giaciture delle due rette non sono reali (ii) oppure
l’intersezione fra r e la retta coniugata è vuota: allora r è
strettamente parallela alla sua coniugata, né r né la sua coniugata
contengono punti reali, la loro giacitura comune è reale. |
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(2 ore)- 13/04/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)- 14/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_B] * Paragrafo
1.7 (pp. 30-34): *
IE^3_C come complessificazione dello spazio euclideo IE^3(IR) *
Piani in IE^3_C, giacitura *
Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di un piano in IE^3_C * Piano
coniugato ad un piano in IE^3_C * Piano
reale in IE^3_C: determinazione di un’equazione cartesiana
reale. Ha infiniti punti reali e contiene infinte rette reali * Piano
non reale in IE^3_C: l’intersezione tra un piano ed il suo
coniugato o è una retta reale (e allora le giaciture dei due piani non sono
reali e la retta è l’unica retta reale) oppure è vuota (e allora i piani sono
paralleli con giacitura reale ed entrambe i piani non contengono né punti né rette
reali) *
Retta in IE^3_C, giacitura, vettore direttore e parametri direttori *
Equazioni parametriche ed equazioni cartesiane di una retta in IE^3_C *
Retta coniugata di una retta in IE^3_C * Rette
reali in IE^3_C: determinazione di equazioni
cartesiane reali. Le rette reali hanno infiniti punti reali * Rette
in IE^3_C non reali: (i) rette
di I specie: sono complanari. Se sono incidenti, allora hanno un unico
punto reale e giaciture non reali; se invece sono (strettamente) parallele,
non hanno punti reali ma le giaciture sono reali (ii) rette
di II specie: sono sghembe; non hanno né punti né giaciture reali * Cono
isotropo in IE^3_C : cono di direzioni isotrope *
Piani isotropi in IE^3_C * Su
una giacitura di un piano non isotropo esistono esattamente due direzioni
isotrope distinte (caso Delta non nullo) * Su
una giacitura di un piano isotropo esiste un’unica direzione isotropa (caso
Delta nullo) |
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I |
Settimana 7 |
(2 ore)- 18/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 22, pp.
269-271 * Lemma
22.1: il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica reale
possiede solo radici reali * Operatori
autoaggiunti o simmetrici * Teorema
22.2 (Teorema Spettrale operatori autoaggiunti o simmetrici) * Teoremi
22.3 e 22.4: formulazioni equivalenti: (i) diagonalizzazione di matrici simmetriche reali in basi
ortonormali (ii) di forme quadratiche reali in basi
ortonormali * Proposizione
22.5: autovettori di un operatore autoaggiunto (equiv. simmetrico)
relativi ad autovalori distinti sono vettori ortogonali * Utilizzo
della teoria svolta per il calcolo esplicito con la discussione di qualche
esempio |
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(2 ore)- 19/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_C] Cap.11 *
Quoziente di un IK-spazio vettoriale V modulo un suo sottospazio W: V/W * Le
classi laterali v + W, che sono gli elementi di V/W, sono identificabili ai
sottospazi affini di V paralleli alla giacitura W *
Esempi geometrici * V/W
ha una struttura di IK-spazio vettoriale che rende la proiezione
canonica p : V à V/W un’applicazione lineare e
suriettiva di IK-spazi vettoriali *
Ker(p) = W e dim(V/W) = dim(V) – dim(W) * Teorema
11.6 Primo teorema di omomorfismo *
Corollario 11.7 Contro-immagini
di un vettore nell’immagine di un’applicazione lineare *
Teorema 11.8 Secondo teorema di omomorfismo *
Corollario 11.9 Isomorfismi
con somme di sottospazi. |
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(2 ore)- 20/04/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)- 21/04/2023 |
Lezione Prof. Flamini [DISP_C] Cap.11 *
Caratterizzazione dei sottospazi vettoriali di V/W (Proposizione 11.10) * Proposizione
11.11: corrispondenza biunivoca tra sottospazi di V/W e sottospazi di V
contenenti W (sottospazi disposti a bandiera) * Proposizione
11.12 Isomorfismo con doppio quoziente *
Somme dirette e spazi quoziente: endomorfismi idempotenti. [DISP_C] Cap.12 *
Richiami su Hom(V,W): è uno spazio vettoriale * dim(Hom(V,W)) = dim(V) dim(W) *
Fissate basi di V e di W, Hom(V,W) diventa isomorfo allo spazio
vettoriale M(mxn; IK) *
End(V) è uno spazio vettoriale di dimensione (dim(V))^2 * La
composizione di endomorfismi induce su End(V) una struttura di anello
unitario, non commutativo e non integro [DISP_C] Cap.12 * V* =
Spazio vettoriale duale di uno spazio vettoriale V * I
suoi elementi sono detti funzionali lineari su V *
dim(V^*) = dim(V) * Se V
= IK^n allora i funzionali lineari su IK^n sono le matrici riga M(1xn; IK) * Esempio
12.8 Se V = IK^n, allora V^* =
IK[x_1, ….., x_n]_{1} u {0} spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado
1 in n indeterminate (con il polinomio nullo) |
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I |
Settimana 8 |
(2 ore)- 25/04/2023 |
FESTIVITA’ 25 APRILE |
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(2 ore)- 26/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_C] Cap.12 * Base
duale E* come base di V^* che è duale alla base E di V * V e
V* sono isomorfi dopo scelta di una base E su V * V**
= Spazio vettoriale bi-duale di uno spazio vettoriale V * V**
è canonicamente isomorfo a V, i.e. l’isomorfismo non
dipende dalla scelta di una base di V *
Ann_V(W) = Annullatore di un sottospazio W è un sottospazio in V* *
Interpretazione dei sistemi lineari omogenei in IK^n in termini di
annullatori. *Proposizione
12.9: proprietà degli annullatori. Invertono le inclusioni, scambiano
dimensione con codimensione e scambiano le operazioni di sottospazi
(intersezione con somma e somma con intersezione) *
Duale di una proposizione P in uno spazio vettoriale * Teorema
12.11: Principio di dualità negli spazi vettoriali |
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(2 ore)- 27/04/2022 |
SVOLGIMENTO I ESONERO SU ARGOMENTI DA SETTIMANA 1 A
SETTIMANA 6 COMPRESA |
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(2 ore)- 28/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_C] Cap.12 *
Duale di una proposizione P in uno spazio vettoriale * Teorema
12.11: Principio di dualità negli spazi vettoriali [DISP_D] Cap.1 * Definizioni
1.1 e 1.2 Endomorfismo triangolabile su uno spazio
vettoriale V di dimensione finita su un campo IK e matrice triangolabile su
uno spazio vettoriale V di dimensione finita su un campo IK * Teorema
1.1 una matrice quadrata A su un campo IK è triangolabile se e solo se ha
spettro nel campo IK, i.e. se e solo se il suo polinomio caratteristico
P_A(x) è interamente decomponibile su IK (i.e. P_A(x) si fattorizza su
IK come potenze di binomi, i.e. P_a(x) ha spettro in IK) * Corollario
1.1 su IK algebricamente chiuso (e.g. IK=C), ogni matrice quadrata
è triangolabile * Teorema
1.2 un endomorfismo f di un IK-spazio vettoriale V è triangolabile se e
solo se polinomio caratteristico P_f(x) è interamente decomponibile su
IK * Corollario
1.2 su IK algebricamente chiuso (e.g. IK=C), ogni endomorfismo è
triangolabile |
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I |
Settimana 9 |
(2 ore) - 02/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_D] Cap. 2 *
Funzioni polinomiali su M(nxn; IK) *
Funzioni polinomiali su End(V) * Teorema
2.1 (Teorema di Cayley-Hamilton) se f è un endomorfismo di V, allora
P_f(f) = 0 (SOLO ENUNCIATO) * Ideale
I_f in IK[x] associato ad un endomorfismo f su V * Polinomio
minimo m_f(x) di un endomorfismo f su V * Proposizione
2.2 Il polinomio minimo m_f(x) divide in IK[x] il polinomio
caratteristico P_f(x) * Teorema
2.2 gli zeri in IK del polinomio caratteristico P_f(x) e del polinomio
m_f(x) coincidono *
Esempi in cui P_f(x) e m_f(x) coincidono. Esempi in cui m_f(x) è un divisore
proprio di P_f(x) [DISP_D] Cap. 3 * Definizione
3.1 Autospazi generalizzati per autovalori di un
endomorfismo f su V |
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(2 ore)- 03/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_D] Cap. 3 * Lemma
3.1: sia f un endomorfismo il cui polinomio caratteristico si fattorizza
completamente su IK e sia m_f(t) = p(t) q(t), dove p(t) = (t-lambda_1)^e_1
mentre q(t) = (t-
lambda_2)^e_2…..(t-lambda_r)^e_r, dove lambda_1, lambda_2,…lambda_r sono tutti gli
autovalori di f. Allora V si decompone in somma diretta con V_1 = Ker(p(f)) e
W= Ker(q(f)). * Corollario
3.1: nelle ipotesi come sopra, W = Im(p(f)). * Teorema
3.1 (Teorema della decomposizione primaria) decomposizione primaria di V
rispetto ad un endomorfismo f il cui polinomio caratteristico si fattorizza
completamente su IK * Componenti
primarie di un endomorfismo f il cui polinomio caratteristico si
fattorizza completamente su IK * Corollario
3.2 Le componenti primarie V_i di un endomorfismo f sono sottospazi f-stabili
di V |
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(2 ore)- 04/05/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)- 05/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_D] Cap. 3 * Proposizione
3.1 proprietà delle componenti primarie V_i in funzione delle proprietà
del polinomio minimo m_f(x): (i)
il
polinomio minimo della componente primaria V_i è m_{f_i} (t) = (t-
lambda_i)^{e_i} (ii)
la
dimensione della componente primaria V_i coincide con la molteplicità algebrica
a_i = m_a(f, lambda_i) dell’autovalore lambda_i * Definizione
3.2 blocco di Jordan di ordine k rispetto ad uno
autovalore lambda *
Riduzione allo studio del comportamento di f ristretto alla singola
componente primaria V_i * Teorema
3.2 Sia f un endomorfismo su V con polinomio minimo m_f(t) =
(t-lambda)^k. Allora esiste una base B di V per cui la matrice
rappresentativa in base B di f è una matrice a blocchi, dove ogni
blocco è un blocco di Jordan rispetto all’autovalore lambda di un certo
ordine k_s e la somma di tutti gli ordini k_s è uguale a dim(V) * Forma
canonica di Jordan di un endomorfismo |
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Settimana 10 |
(2 ore)- 09/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_D] Cap. 3 * Teorema 3.3 (Riduzione a forma canonica di
Jordan; esistenza di una base di Jordan) se f è un endomorfismo su
un IK-spazio vettoriale V, con polinomio caratteristico P_f(t) interamente
decomponibile su IK, allora esiste una base J di V, detta base
di Jordan, per cui la matrice rappresentativa di f in base J
è una matrice a blocchi di Jordan * Deduzione in alcuni casi della unicità
della forma canonica di Jordan a meno della permutazione dei blocchi di
Jordan: (dimostrazione alternativa alle dispense) Sia m_f(t) = (t- lambda_1)^e_1…..(t-lambda_r)^e_r,
dove lambda_1, …lambda_r sono tutti gli autovalori distinti di f. Sia J una
forma canonica di Jordan di f in base di Jordan per V. Allora: (i)
per ogni
autovalore lambda_i esiste in J almeno un blocco di Jordan di ordine e_i e
tutti gli altri blocchi relativi a lambda_i hanno ordine minore od uguale ad
e_i, per ogni i=1,…,r, (ii)
il numero dei
blocchi di Jordan relativi all’ autovalore lambda_i è pari alla molteplicità geometrica di
lambda_i, per ogni i=1,…,r (iii)
la somma dei
vari ordini dei blocchi di Jordan relativi all’autovalore lambda_i è pari
alla molteplicità algebrica di lambda_i, per ogni i=1,…,r * Corollario:
un endomorfismo f con spettro in IK è diagonalizzabile se e solo se m_f(x) ha tutte radici
semplici in IK * Svolgimento esercizio di
riepilogo su triangolazione di una matrice e successivamente deduzione della
sua forma canonica di Jordan |
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(2 ore)- 10/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 3. *
Motivazioni classiche per la nascita della Geometria Proiettiva *
Descrizione intuitiva della retta proiettiva come completamento
ad un punto (all’infinito) della retta reale con ascissa reale x *
Coppia di coordinate omogenee [X_0, X_1] e corrispondenza biunivoca con il fascio
di rette uscenti da un polo della circonferenza *
IP(V) = spazio proiettivo * Gli
elementi di IP(V), detti punti, sono le rette vettoriali di V * dim
IP(V) = dimensione proiettiva = dim_{IK}(V)-1 * Esempio
24.5-1: definizione di IP(V) per via del quoziente con relazione di
proporzionalità tra vettori in V – {0} * Spazio
proiettivo numerico su un campo IK come IP^n(IK) = IP^n *
Sistema di coordinate omogenee (o riferimenti proiettivi)
in IP(V) * Punti
fondamentali e punto unità di un riferimento. Riferimento
proiettivo standard *
Sottospazi proiettivi di IP(V). *
Codimensione di un sottospazio proiettivo. |
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(2 ore)- 11/05/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)- 12/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 3 *
Iperpiani di IP(V) *
Equazioni cartesiane di iperpiani in IP^n * Iperpiani
fondamentali H_i in IP^n * Equazioni
cartesiane di sottospazi proiettivi in IP^n *
Codim_{IP^n} (IP(W)) = numero equazioni cartesiane in forma normale che
servono per determinare IP(W) come intersezione di iperpiani indipendenti di
IP^n. *
Sottospazio proiettivo intersezione di due sottospazi proiettivi *
Sottospazi proiettivi incidenti o sghembi *
Sottospazio proiettivo L(J) generato da un sottoinsieme non vuoto J di
IP(V) *
Punti linearmente indipendenti in IP^n. Punti in posizione
generale in IP^n * Ogni
sottospazio proiettivo S di IP^n può essere generato da dim(S)+1 punti
linearmente indipendenti * Equazioni
parametriche di un sottospazio proiettivo in IP^n *
Passaggio da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane: formule
determinantali *
Equazioni parametriche e cartesiane di rette in IP^2, di rette in IP^3, di
piani in IP^3 * Se
S_1 = IP(W_1) e S_2 = IP(W_2) sono due sottospazio proiettivi, allora L(S_1,
S_2) = IP(W_1 + W_2) viene detto il sottospazio proiettivo generato
da S_1 ed S_2 o sottospazio congiungente S_1 e S_2 * Formula
di Grassmann proiettiva * Conseguenze
della formula di Grassmann proiettiva (cf. Proposizione 24.3): (a) Due
rette sghembe generano un IP^3; (b) in
IP^2 due rette sono sempre incidenti; (c) in
IP^3 una retta ed un piano sono sempre incidenti e due piani distinti si
intersecano sempre lungo una retta. |
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I |
Settimana 11 |
(2 ore)- 16/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini SOLO UNA ORA PER ATTIVITA’ DI MACROAREA [G1] Capitolo 3. Par. 24. * Sottospazi
proiettivi in posizione generale * Esempi
24.5-3: Sottospazi proiettivi di IP^2, di IP^3, di IP^4: tabella delle
intersezioni se i sottospazi si assumono in posizione generale * Cono
(proiettivo) proiettante un sottoinsieme J di IP^n da un punto P * Proposizione
24.4: proprietà dei coni proiettanti * Proiezione
di IP^n su un iperpiano H di centro un punto P non appartenente a H. *
Proiezione di un sottoinsieme non vuoto J su un iperpiano H da un punto P non
appartenente a H * La
proiezione non è definita come applicazione nel centro di proiezione * Definizione
intrinseca di proiezione utilizzando spazi vettoriali quozienti:
IP(V) \ IP(W) à IP(V/W) |
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(2 ore)- 17/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 3. Par. 25. *
Geometria affine e Geometria proiettiva * Carte
affini fondamentali di IP^n * Deomogeneizzazione
i-esima di coordinate omogenee * Elementi impropri (od all’infinito)
per le carte affini fondamentali A_i := A^n_i, per ogni i =
0,…,n *
Esempi 25.4-(4): (a) chiusure
proiettive (o proiettificazione)
H di sottospazi affini H in una carta affine A_i di IP^n.
Omogeneizzazione i-esima delle coordinate affini y_1, ….., y_n (b) Sottospazi affini H nella carta affine A_i
che sono traccia di sottospazi proiettivi H di IP^n |
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(2 ore)- 18/05/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)- 19/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 3. Par. 25. * Esempi 25.4-(2) e
(3): ulteriori modelli geometrici
di IP^n(IR). Punti antipodali sulla ipersfera S^n nello
spazio euclideo IE^{n+1} o sulla calotta nel semispazio superiore. Identificazione
antipodale * Esempio 25.4-(1): modello geometrico di IP^1(C): proiezione
stereografica della sfera euclidea S^2 in IE^3 privata del
polo-nord N su un piano. IP^1(C) come sfera di Riemann [G1] Cap.3 Paragrafo 26 *
IP:=Spazio proiettivo IP^n *
Spazio proiettivo IP^* = spazio proiettivo duale di IP * Insieme
degli iperpiani di IP: ha una struttura di spazio proiettivo data da IP* *
Iperpiani di IP linearmente indipendenti
* Riferimento
proiettivo duale in IP* e coordinate omogenee duali di
un iperpiano in IP* *
Coordinate omogenee di un iperpiano H di IP nel riferimento duale di IP* * Proposizione
26.1 Sistema lineare di iperpiani in IP di centro un
sottospazio proiettivo S di IP: equazioni e dimensione * Fasci
e stelle di iperpiani in IP * Teorema
26.2: Sia IP uno spazio proiettivo n-dimensionale. Allora: (i)
si ha una corrispondenza biunivoca tra IP* e
l’insieme degli iperpiani di IP, i.e. i sistemi lineari di iperpiani in IP si
identificano a sottospazi proiettivi di IP* (ii)
la corrispondenza biunivoca in (i) induce una
corrispondenza biunivoca tra sottospazi proiettivi S = IP(W) di IP di
dimensione k, ed i sottospazi proiettivi IP(Ann(W)) in IP* di dimensione
n-k-1 che, secondo la biiezione in (i), corrispondono a sistemi lineari di
iperpiani di IP centro il corrispondente sottospazio proiettivo S=IP(W) che è
il centro del sistema lineare di iperpiani (iii)
La biiezione in (ii) inverte le inclusioni Lezione Prof. Flamini DUE ORE DI LEZIONE AGGIUNTIVE ONLINE NEL FINE
SETTIMANA PER RECUPERO DI 4 ORE PERSE TRA 25 APRILE E 2 GIUGNO E PER 1 ORA
PERSA 16 MAGGIO PER EVENTO DI MACROAREA [G1] Cap. 3 Paragrafo 26 *
Esercizi svolti su: (a)
carte affini e punti impropri di sottospazi affini in A^n (b)
chiusure proiettive di sottospazi affini in A^n (c )
tracce di sottospazi proiettivi nelle varie carte affini di un IP^n (d)
Formule delle proiezioni da un punto P di IP^n e coni proiettanti su un
iperpiano sghembo al punto P (e)
Fasci e stelle di iperpiani di un IP^n e sottospazi proiettivi nello spazio
proiettivo duale. * Complementi
26.5: corrispondenza {punti P in IP} {iperpiani H_P in IP*}. Il passaggio
dalle coordinate omogenee di P in IP all’equazione cartesiana dell’iperpiano
H_P in IP* avviene grazie alla relazione di incidenza in IP x
IP* data da: a_0X_0 + a_1X_1 +…a_nX_n=0 *
Configurazione di punti e di sottospazi in uno spazio proiettivo. *
Dualità proiettiva: proposizione duale di una proposizione data. [G1] Cap. 3. Paragrafo 24. * Esempi
ed osservazioni 24.5-4 Riferimento proiettivo in IP = IP(V) individuato
da n+2 punti in posizione generale in IP * Esempio
27.2 Legge di cambiamento di coordinate su una retta proiettiva rispetto
al riferimento indotto da tre punti distinti P_0, P_1, N: calcolo esplicito
del cambiamento delle coordinate omogenee con metodi di Cramer di
modo che P_0 e P_1 siano ordinatamente i due nuovi punti fondamentali
mentre N diventi il punto unità del nuovo riferimento |
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I |
Settimana 12 |
(2 ore)-23/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Cap. 3. Paragrafo 27. * Formule
di cambiamento di coordinate omogenee in uno spazio proiettivo IP
rispetto a due riferimenti proiettivi distinti *
Formule inverse del cambiamento di coordinate omogenee e composizione di formule cambiamenti di
coordinate omogenee in tre riferimenti proiettivi distinti *
Formule del cambiamento di coordinate da un riferimento fissato su IP ad un
riferimento individuato da (n+2) punti in posizione generale di IP di cui si
conoscono le coordinate nel vecchio riferimento proiettivo di IP * Isomorfismi
tra due spazi proiettivi IP e IP’. * E’
una relazione di equivalenza tra spazi proiettivi * Proiettività
di uno spazio proiettivo IP * Gruppo
proiettivo PGL(IP) o PGL(n+1, IK) * Proposizione 27.4 = Teorema
fondamentale degli isomorfismi proiettivi e delle proiettività * Corollario di Proposizione 27.4: ritrovo
come conseguenza quanto osservato in Esempi ed osservazioni 24.5-4
cioè che dati n+2 punti in posizione generale in uno spazio proiettivo IP(V)
di dimensione n, esiste un unico riferimento proiettivo su IP(V) che
identifichi ordinatamente gli n+2 punti a punti fondamentali F_0,….,F_n e
punto unità U di IP^n (prende il nome di Teorema fondamentale dei
riferimenti proiettivi ) |
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(2 ore)-24/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Cap. 3. Paragrafo 27. *
Figure proiettivamente equivalenti in uno spazio proiettivo *
Proprietà proiettive di figure geometriche *
Geometria proiettiva *
Complementi 27.10-4: punti fissi, luoghi di punti fissi
e luoghi fissi (o stabili) di una proiettività f *
Complementi 27.10-1: relazioni di equivalenza tra le figure della
Geometria Affine, della Geometria Euclidea e della Geometria Proiettiva. Equivalenza
affine, equivalenza euclidea ed equivalenza proiettiva * Complementi 27.10-3:
le affinità di uno spazio affine A^n, considerato come la carta affine
A_0 di IP^n, si identificano alle proiettività di IP^n che hanno
l’iperpiano H_0: X_0=0 (improprio per la carta affine A_0) come
sottospazio proiettivo stabile * Grazie a questa
identificazione Aff(A^n) ha una struttura di sottogruppo di PGL(n+1;
IK) * La Geometria Affine (e
dunque anche la Geometria Euclidea) è una geometria subordinata
alla Geometria Proiettiva |
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(2 ore)- 25/05/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)- 26/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Cap. 3. Paragrafo 24. p. 293 * Esempi
24.5-5 (solo per n=2): Sistemi lineari di curve in
IP^2(IK), i.e. curve piane proiettive, di grado fissato d [G1] Cap. 3. Paragrafo 30. p. 355 * Coniche
(proiettive) in IP^2(IK) e matrice simmetrica A associata ad una
conica proiettiva * Supporto
di una conica proiettiva *
Equazione cartesiana omogenea matriciale della conica proiettiva C *
Classificazione delle coniche proiettive su un campo IK. Coniche proiettivamente
equivalenti. *
Invarianti proiettivi di una conica proiettiva: rango di una conica *
Conica proiettiva non degenere, semplicemente degenere
o doppiamente degenere * Teorema
30.2 forme canoniche proiettive di coniche su IK algebricamente chiuso *
Invarianti proiettivi di una conica proiettiva reale: rango e tipologia
di segnatura * Teorema
30.3 forme canoniche proiettive di coniche reali * Significato
geometrico del rango di una conica proiettiva: *
Molteplicità di intersezione tra una retta ed una conica in un punto P
appartenente ad entrambe. Punti singolari e non singolari di una conica (i)
Conica non degenere = irriducibile = non singolare (ii)
Conica semplicemente degenere = riducibile in una coppia
di rette incidenti = ha un solo punto come luogo singolare (iii)
Conica doppiamente degenere = conica non ridotta = retta
doppia cioè tutti i punti sono singolari * Se
una conica non degenere reale contiene un punto reale, allora ne contiene
infiniti * Esempi |
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I |
Settimana 13 |
(2 ore)- 30/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Cap. 3. Paragrafo 31. * Conica
affine (in A^2(IK)): classe di proporzionalità di polinomi di
secondo grado nelle indeterminate affini (x,y) *
Supporto in A^2(IK) di una conica affine C *
Identificando A^2(IK) con carta affine A_0 di IP^2(IK): chiusura
proiettiva di C, è la conica proiettiva la cui traccia
nella carta affine A_0 ridetermina la conica affine C da
cui siamo partiti *
Viceversa: una conica affine è traccia, nella carta affine A_0 di
IP^2(IK), di una conica proiettiva non avente H_0 (X_0=0) come retta componente *
Classificazione affine delle coniche (affini): coniche affinemente
equivalenti. *
Matrice simmetrica completa A associata ad una conica affine C
e matrice simmetrica A_0 associata alla forma quadratica della conica C * Invarianti
affini di una conica: (a) rango
della conica C (b) rango
della forma quadratica della conica C *
Conica affine non degenere, semplicemente degenere
o doppiamente degenere * Conica
affine a centro o Parabola * Nel
caso IK=IR (oppure nel piano affine complessificato in cui C aveva equazione
cartesiana reale in un riferimento reale e si usano solo trasformazioni
affini reali su A^2(C)) se si parte da una conica affine reale
allora anche il segno del determinante della forma quadratica di C
è un invariante affine. * Se
IK = IR (oppure se lavoriamo nel piano affine complessificato in cui C
aveva equazione cartesiana reale in un riferimento reale e se ci si limita ad
usare solo trasformazioni affini reali su A^2(C)) la
classificazione delle coniche affini a centro si stratifica ulteriormente con
le due tipologie (a) Iperbole
se det(A_0) <0 (b) Ellisse se det(A_0) > 0 * Osservazioni
31.2-2 Significati geometrici di caratterizzazione di ellisse,
iperbole e parabola in termini di punti impropri della
conica affine C |
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(2 ore)-31/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Cap. 3. Paragrafo 31. * Osservazioni
31.2-1 Una conica affine su un campo IK si dice conica a
centro perchè possiede un unico punto C rispetto a cui e’ simmetrica.
C viene detto centro di simmetria della conica affine a centro *
Determinazione delle coordinate del centro C dall’equazione della conica
affine a centro C * Diametri
di una conica affine a centro C * Asintoti
di una conica affine a centro C : sono i diametri le cui
chiusure proiettive forniscono le rette proiettive tangenti alla conica
chiusura proiettiva di C nei punti corrispondenti ai punti
impropri di C. * Se C
conica affine generale, gli asintoti sono diametri che non incontrano mai la
conica affine nel piano affine (gli unici diametri se IK campo complesso) * Se
IK=IR (oppure nel piano affine complessificato in cui C aveva
equazione cartesiana reale in un riferimento reale e si usano solo
trasformazioni affini reali su A^2(C)) un’ellisse ha asintoti
che sono rette complesse e coniugate la cui intersezione è nell’unico punto
reale che è il centro di simmetria dell’ellisse * Teorema
31.1 forme canoniche affini di coniche affini sia per IK algebricamente
chiuso che per IK= IR. *
Algoritmo di riduzione a forma canonica affine * Le
forme canoniche affini sono sempre in numero finito, ma molte di più delle
forme canoniche delle coniche proiettive: motivazioni geometriche |
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(2 ore)-01/06/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)- 02/06/2023 |
FESTIVITA’ 2 GIUGNO |
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Settimana 14 |
(2 ore)-06/06/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Cap. 3. Paragrafo 31. *
Coniche euclidee reali in E^2(IR) * Invarianti
metrici di una conica e classificazione metrica delle coniche
euclidee * Teorema
31.3 forme canoniche metriche di coniche euclidee. *
Algoritmo di riduzione a forma canonica metrica di una conica euclidea * Proprietà metriche dell’ellisse generale
a punti reali: vertici, semiassi, fuochi, direttrici, eccentricità,
diametri, caso della circonferenza * Proprietà metriche dell’iperbole generale:
vertici, semiasse trasverso e semiasse non-trasverso, asintoti, diametri,
fuochi, direttrici, rami dell’iperbole, eccentricità * Proprietà geometriche della parabola
generale: vertice, asse trasverso, fuoco, direttrice, eccentricità |
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(2 ore)-07/06/2023 |
[G1] * Svolgimento di esercizi di riepilogo su coniche
proiettive, affini ed euclidee: classificazione, rette tangenti, riduzione a
forma canonica proiettiva, riduzione a forma canonic affine e riduzione a
forma canonica euclidea |
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(2 ore)-08/06/2023 |
Esercitazioni Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-09/06/2023 |
SVOLGIMENTO II ESONERO SU ARGOMENTI
DA SETTIMA SETTIMANA FINO A TREDICESIMA SETTIMANA |