I semestre - A.A. 2020-2021
*Docente: Prof. Flaminio
Flamini e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
*Co-docente: Prof.ssa Francesca Tovena e-mail: tovena@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
*Orario Lezioni ed Esercitazioni: (vedere specifiche nella tabella sottostante)
LEGENDA=Giorno / Tipologia (Docenza) /Luogo e Modalità / ore:
Lunedì / Lezione (Prof. Flamini) / Aula 2 PP1 – Modalità Presenza + Online TEAMS / 11:00-13:00
Martedì / Lezione (Prof. Flamini) / Solo modalità Online TEAMS / 10:00-11:00
Mercoledì / Lezione (Prof. Flamini) / Aula 2 PP1 – Modalità Presenza + Online TEAMS / 14:00-17:00
Venerdì / Esercitazione (Prof.ssa Tovena) / Aula 2 PP1 – Modalità Presenza + Online TEAMS / 09:00-11:00
*Svolgimento argomenti didattici: Per gli argomenti svolti nelle ore di lezione e di esercitazione, vedere la tabella sottostante
*Ricevimento studenti Prof. Flaminio Flamini-SEMESTRE I: Martedì 14:00-16:00 via TEAMS (richiesta da parte degli studenti da pervenire entro il lunedì sera precedente mediante richiesta su post di TEAMS)
*Legenda
materiale didattico:
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SEMESTRE |
SETTIMANA |
LEZIONE |
ARGOMENTI |
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I |
Settimana 1 |
(2 ore)-28/09/2020 |
*Presentazione del corso, del materiale didattico, dei metodi di valutazione (Esoneri, Appelli, Tesina di Elementi di Storia) [AL Cap. 1 Paragrafi 4 e 7] * Insiemi ed operazioni insiemistiche elementari (unione, intersezione, inclusione, inclusione stretta o propria, eguaglianza, complementare) * Ordine o cardinalità di un insieme * Prodotto cartesiano di insiemi, n-uple ordinate * Insiemi numerici *Addizione tra numeri reali e moltiplicazione per un numero reale: proprietà * IR^2 addizione tra coppie ordinate e moltiplicazione per uno scalare: proprietà * IR^n addizione tra coppie ordinate e moltiplicazione per uno scalare: proprietà |
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(1 ora) -29/09/2020 |
* Applicazioni (o funzioni): f:A ----> B; A= dominio di f, B=codominio di f, Im(f) = insieme immagine di f * Grafico di un’applicazione come sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB * Applicazioni iniettive, suriettive, e biiettive (o biunivoche). * Inversa di una applicazione biiettiva * Esempi e controesempi |
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(3 ore) -30/09/2020 |
[AL Cap. 1, par. 7, 8] *Composizione di
applicazioni. Condizioni di componibilità. * La composizione di applicazioni non è commutativa. * Operazioni e strutture
algebriche su un insieme. * Assiomi di campo. * IR e Q sono campi. Z non è un campo * Il campo dei numeri complessi C *IK-spazi vettoriali: assiomi [AL Cap. 2 par.1] *Spazi vettoriali numerici [AL Esempio 3.4 pag. 30] |
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(2 ore)-02/10/2020 |
Esercizi
svolti dal Prof. Flamini su: * applicazioni iniettive, suriettive e
biiettive; *
composizione di applicazioni; *
applicazione inversa di un’applicazione biiettiva; * numeri
complessi; * il campo
Z_2 * lo
spazio vettoriale numerico Z_2^2 *
trasformazioni di R^2: traslazioni; omotetie di rapporto costante non
nullo. Le traslazioni (rispettivamente, le omotetie di rapporto costante non
nullo) in R^2 sono trasformazioni biiettive di R^2 in sè. * insieme dei multipli scalari di una coppia fissata in R^2: rappresentazione grafica di una retta per l’origine, equazioni parametriche ed equazioni cartesiane |
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I |
Settimana 2 |
(2 ore)- 05/10/2020 |
* Spazio della geometria euclidea E: verso di percorrenza su segmenti. Segmenti orientati [DISP, Spazi Affini 1.1] * Vettori applicati in un punto P di E [DISP, Spazi Affini 1.1] *Relazione su un insieme. Relazione di equivalenza su un insieme. Classi di equivalenza e rappresentante di una classe di equivalenza. Esempi: uguaglianza, parallelismo [AL Cap. 1, Appendice 3] * Relazione di EQUIPOLLENZA tra vettori applicati: è una relazione di equivalenza [DISP, Spazi Affini 1.1] * Direzione e verso di un vettore applicato. [DISP, Spazi Affini 1.1] * Vettori geometrici o liberi [DISP, Spazi Affini 1.1] |
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(1 ora)- 06/10/2020 |
* Operazioni tra vettori geometrici e loro proprietà [DISP, Spazi Affini 1.2] * Vettori liberi come spazio vettoriale. [DISP, Spazi Affini 1.2] |
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(3 ore)- 07/10/2020 |
*Spazio affine
della geometria euclidea [DISP,
Spazi Affini 1.2] [AL Cap. 3] ALTRI ESEMPI DI SPAZI VETTORIALI * Matrici (3.5) * Applicazioni e successioni (3.6) * Prodotto di spazi vettoriali (3.7) * Combinazioni lineari di vettori in uno spazio vettoriale V [AL Cap. 2 par.3] *Esercizi
svolti dal Prof. Flamini su: *spazi
vettoriali numerici; *combinazioni
lineari di vettori numerici; *spazi
vettoriali di matrici; *prodotto di spazi vettoriali |
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(2 ore)- 09/10/2020 |
[AL Cap.
4, Par.1] * La nozione di sottospazio
vettoriale di uno spazio vettoriale V. * Sottospazi vettoriali banali
di V * Sottospazio improprio
di uno spazio vettoriale V. Sottospazi propri di V *Intersezione di
sottospazi di V: è un sottospazio. *CNES per avere struttura
di sottospazio per mezzo di combinazioni lineari ALCUNI ESEMPI DI SOTTOSPAZI VETTORIALI [AL Cap. 4, Par.2] * Asse reale ed asse degli immaginari puri di C come IR-sottospazi di C (ma non C-sottospazi di C) [AL (4.6)] * Sottocampi (e Sovracampi) di un campo e struttura di sottospazi vettoriali: se IK’’ < IK’ < IK è un’inclusione di campi, allora IK’ è IK’’-sottospazio vettoriale del IK’’-spazio vettoriale IK [AL (4.7)] |
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I |
Settimana 3 |
(2 ore)-12/10/2020 |
ALTRI ESEMPI DI
SOTTOSPAZI VETTORIALI [AL Cap.
4, Par. 2, (4.9)] * Sottospazi
fondamentali in un prodotto di spazi vettoriali V_1xV_2x…..xV_n. * Proiezione
canonica sui fattori *Assi coordinati in IK^n [AL Cap.
4, Par. 2, (4.10)] * Trasposta di una matrice mxn. La trasposizione è involutoria * Matrici quadrate simmetriche
ed antisimmetriche. Sottospazi M(n,n;IK)^s e
M(n,n;IK)^a di M(n,n;
IK) *Matrici diagonali e matrici scalari. Sottospazi M(n,n;IK)^d e M(n,n;IK)^{sc} di M(n x n; IK) * La matrice
(quadrata) identità (od identica) I_n * Matrici triangolari
superiori (od alte) ed inferiori (o basse).
Sottospazi M(n,n;IK)^{ta} e M(n,n;IK)^{tb} di M(n,n; IK) * Intersezioni fra i sottospazi M(n,n;IK)^s , M(n,n;IK)^a, M(n,n;IK)^d, M(n,n;IK)^{sc}, M(n,n;IK)^{ta} e M(n,n;IK)^{tb} di M(n,n;IK) |
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(1 ora)-13/10/2020 |
ALTRI ESEMPI DI SOTTOSPAZI VETTORIALI [AL Cap. 4, Par.2, (4.11)] *Spazio vettoriale IK[x]
dei polinomi a coefficienti nel campo IK, nell’indeterminata x. *Sottospazi IK[x]_{<= n} dei polinomi di grado al più n. |
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(3 ore)-14/10/2020 |
ALTRI ESEMPI DI SOTTOSPAZI VETTORIALI [AL Cap. 4, Par.3] * Sistemi lineari SL(m,n; IK) e sottospazi dello spazio dei vettori numerici * matrice dei coefficienti (od incompleta) e matrice completa di un sistema lineare SL(m,n; IK) * Vettore numerico soluzione di un SL(m,n;IK) * Sistemi lineari omogenei SLO(m,n;K) e non omogenei. Sistema lineare omogeneo associato ad un SL(m,n;IK) non omogeneo. * SL(m,n;IK) compatibili ed incompatibili. * Ogni SLO(m,n;IK) è compatibile. Inoltre M(A)={insieme delle soluzioni del SLO(m,n;IK)} è un sottospazio vettoriale di IK^n. * Trovare una soluzione non-banale di un SLO(m,n;IK) equivale a scrivere il vettore nullo di IK^m come combinazione lineare delle n colonne di lunghezza m della matrice dei coefficienti del SLO(m,n;IK) *Un SL(m,n;IK) è compatibile se e solo se la colonna dei termini noti di lunghezza m è combinazione lineare delle colonne di lunghezza m della matrice dei coefficienti. * Teorema di struttura dell’insieme
delle soluzioni di un SL(m,n;IK)
compatibile ([AL Prop.
4.13]) * Traslazione di
vettore v in uno spazio vettoriale V * v+ H = sottoinsieme
traslato del sottoinsieme H tramite il vettore v in V * Interpretazione del
teorema di struttura (AL
Prop. 4.13) per mezzo della traslazione del
sottoinsieme M(A^{om}) * Se M(A) <= M(B)
allora anche M(A^{om}) <= M(B^{om}) [AL, Corollario 4.14]. NON E’ VERO
IL VICEVERSA: esempi e controesempi *Esercizi
svolti dal Prof. Flamini su sitemi lineari Foglio Esercizi Homeworks 1 da riconsegnare al docente il prossimo Mercoledi' (valutati e considerati in sede di esame finale) |
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(2 ore)- 16/10/2020 |
Esercitazioni Prof.ssa Tovena-vedere alla pagina web https://www.mat.uniroma2.it/~tovena/ |
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I |
Settimana 4 |
(2 ore)-19/10/2020 |
* Sistemi di vettori e dipendenza lineare [AL Cap. 5, Par.1] ALCUNI ESEMPI [AL Cap. 5, Par.1] * Sistemi di ordine uno [AL (5.1)] * Sistemi di vettori numerici unitari [AL (5.2)] * Sistemi di matrici su IR [AL (5.3)] * Sistemi di vettori in C [AL (5.4)] * Sistemi di polinomi in IK[x] [AL (5.5)] |
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(1 ora)-20/10/2020 |
[AL Cap.
5, Par.2] * <S> = Sottospazio generato
dal sistema di vettori S di ordine n * <H > = Sottospazio
generato dal sottoinsieme H di V spazio vettoriale * <S> (o <H>)
è il minimo sottospazio di V che contiene S (risp. H) * <S> (oppure <H>) coincide con il sottoinsieme di V costituito da tutti i vettori di V che dipendono linearmente da S (rispettivamente H) |
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(3 ore)-21/10/2020 |
* Sistemi di generatori di uno spazio vettoriale. [AL Cap. 5, Par.2] * Spazi vettoriali finitamente generati. [AL Cap. 5, Par.2] * Prodotto di spazi finitamente generati [AL (5.12)] * Esempi di spazi non
finitamente generati: IK[x] [AL (5.13)] * Dipendenza lineare tra vettori numerici ed un criterio di compatibilità per i sistemi lineari [AL Cap. 5, Par.3] *Un SL(m,n;IK) è compatibile se e solo se la colonna dei termini noti dipende linearmente dalle colonne della matrice dei coefficienti. ([AL Cap. 5, Teorema 5.15]) * Un SL(m,n;K) è compatibile se e solo Col(A) = Col(B) ([AL Cap. 5, Cor. 5.16]) [AL Cap. 6, Par.1] * Sistema linearmente indipendente di vettori * Dipendenza ed indipendenza lineare di sistemi di ordine uno e due [AL (6.2)] * Sistemi contenenti sottosistemi indipendenti [AL (6.3)] *{1,x,x^2,….,x^n} in K[x]_{<=n} [AL (6.4)] * Sistemi di vettori numerici unitari e sistemi di matrici [AL (6.5)] * Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori
numerici e sistemi omogenei [AL (6.6)] Consegna facoltativa svolgimento Homeworks 1 al Docente |
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(2 ore)-23/10/2020 |
Esercitazioni Prof.ssa Tovena-vedere alla pagina web https://www.mat.uniroma2.it/~tovena/ |
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I |
Settimana 5 |
(2 ore)-26/10/2020 |
*Alcune proposizioni sulla
dipendenza ed indipendenza lineare [AL Cap.
6, Par.2] *Teorema di Steinitz e conseguenze[AL Cap. 6, Par. 3] |
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(1 ora)-27/10/2020 |
[AL Cap.
6, Par. 4] * Sistemi massimi (o
massimali) di vettori linearmente indipendenti. * Proprietà dei sistemi massimali di vettori linearmente indipendenti. |
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(3 ore)-28/10/2020 |
[AL Cap. 6, Par. 5] * Basi di
uno spazio vettoriale. * Dimensione di uno spazio vettoriale. * Spazi vettoriali di
dimensione finita. Spazi vettoriali di dimensione infinita. *Base canonica o naturale di IK^n [AL (6.22)] *Basi canoniche o naturali di (sotto)spazi vettoriali di matrici [AL (6.22)] *{1,x,x^2,….,x^n} come base canonica o naturale
per IK[x]_{<=n} [AL Cap. 6, Par. 6] * Riferimenti R_V in uno spazio vettoriale V. * Componenti di
un vettore v di V rispetto ad un riferimento vettoriale R_V. * Vettore numerico delle
componenti del vettore
v rispetto al riferimento vettoriale R_V ([DISP, Spazi affini, par. 1.3]) * La nozione di SPAZIO
AFFINE :
assiomi * dimensione
di uno spazio affine * lo spazio affine
canonicamente associato ad uno spazio vettoriale V * A^n_IK = Spazio affine numerico di dimensione n su un campo K. ([DISP, Spazi affini, par. 1.4]) * Proprietà elementari
degli spazi affini * O = punto origine in uno spazio affine * Traslazioni in
uno spazio affine. Spazio vettoriale dei vettori applicati in O di
A spazio affine ([DISP, Spazi affini, par. 1.5]) * Riferimenti cartesiani affini di uno spazio affine. Punto ORIGINE del riferimento * Coordinate
cartesiane affini di un punto in un riferimento cartesiano affine
degli spazi affini * Esempio: coordinate del
punto Q = P + v in un dato riferimento affine (O, R_V) in uno spazio affine A * Esempio: coordinate del
punto punto medio M del segmento PQ in un dato
riferimento affine (O, R_V) in uno spazio affine A Foglio Esercizi Homeworks 2 da riconsegnare al docente il prossimo Mercoledi' (valutati e considerati in sede di esame finale) |
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(2 ore)-30/10/2020 |
Esercitazioni Prof.ssa Tovena-vedere alla pagina web https://www.mat.uniroma2.it/~tovena/ |
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I |
Settimana 6 |
(2 ore)-02/11/2020 |
[DISP, Sottospazi affini, par. 2.1] * La nozione di SOTTOSPAZIO AFFINE in A spazio affine * Giacitura di un sottospazio affine * Dimensione e codimensione di un sottospazio affine * Iperpiani di uno spazio affine * Rette in uno spazio affine: vettore direttore di una retta [DISP, Sottospazi affini, Esempio 2.1.9] * Sottospazi affini di A^2_K: le rette sono iperpiani. Equazioni cartesiane e parametriche di una retta in A^2_K [DISP, Sottospazi affini, Esempio 2.1.11] * Traslazioni nello spazio affine A^n_K = IK^n e reinterpretazione geometrica del Teorema di struttura per il luogo delle soluzioni in A^n_K = IK^n di un SL(m,n;IK). [DISP, Sottospazi affini, Esempio 2.1.12] * Sottospazi coordinati, assi coordinati ed iperpiani coordinati di un riferimento affine [DISP, Sottospazi affini, Esempio 2.1.12] |
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(1 ore)-03/11/2020 |
[AL Cap. 10, Par.1] * Prodotto di un vettore riga per un vettore colonna dello stesso ordine. Proprietà * Prodotto righe per colonne tra matrici: condizioni di definibilità del prodotto e proprietà. * Il prodotto righe per colonne, anche quando definito da entrambi i versi, NON E’ COMMUTATIVO *Prodotto per matrici diagonali [AL (10.2)] * La matrice identica I_n è l’elemento
neutro per il prodotto: identità destra e sinistra. |
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(3 ore)-04/11/2020 |
* La nozione di rango
di una matrice. Teorema di esistenza del rango ([AL Teorema 7.1]) * Matrici subordinate ad una data matrice e loro rango [AL Cap. 7, Par.2] [AL Cap.
7, Par.3] *
Sistemi lineari SL(m,n;
IK) e Teorema di Rouchè-Capelli ([AL Teorema 7.4]) *
Primo e secondo teorema di unicità per i sistemi
lineari compatibili. *
Risoluzione di una singola equazione lineare su un campo IK [AL (7.9)] * Il caso dei sistemi
omogenei [AL Cap. 7, Par.4] * Sistemi lineari equivalenti
[AL Cap. 7, Par.5] Consegna facoltativa svolgimento Homeworks 2 al Docente |
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(2 ore)-06/11/2020 |
Esercitazioni Prof.ssa Tovena-vedere alla pagina web https://www.mat.uniroma2.it/~tovena/ |
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I |
Settimana 7 |
(2 ore)-09/11/2020 |
*La
formula di Grassmann [AL Cap. 7, Par.6] *Somme dirette di sottospazi ed unicità delle
scritture: sottospazi vettoriali supplementari [AL cap. 7 par. 7] |
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(1 ora)–10/11/2020 |
*Sistemi
lineari: il caso omogeneo [AL
cap. 7 par. 4] |
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(3 ore)–11/11/2020 |
[G1] pagine 37-43 à questa ne e’ una Scansione *Sistemi lineari e
matrici ridotte a gradini * Pivots di
una matrice ridotta a gradini. Il numero dei pivots coincide con il rango
della matrice * Riduzione a gradini
di una qualsiasi matrice rettangolare: Algoritmo di eliminazione di
Gauss-Jordan *
Risoluzione di sistemi lineari per mezzo dell’eliminazione di Gauss-Jordan Foglio Esercizi Homeworks 3 da riconsegnare al docente il prossimo Mercoledi' (valutati e considerati in sede di esame finale) |
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(2 ore)-13/11/2020 |
*Esercizi
svolti dal Prof. Flamini su: *
Formula di Grassmann * Somme
dirette di sottospazi: unicità e non unicità delle scritture * Rouchè-Capelli. Risoluzioni di sistemi lineari e metodo
dell’eliminazione di Gauss-Jordan |
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I |
Settimana 8 |
(2 ore)-16/11/2020 |
([DISP, Ssp. Affini par. 2.2]) * Intersezione
di sottospazi affini * Sottospazio affine generato
da un sottoinsieme non vuoto X, denotato <X>_a * Sottospazio
congiungente un numero finito di sottospazi affini * Sottospazio congiungente
un numero finito di punti. Punti indipendenti in uno spazio
affine * Punti allineati
in uno spazio affine, punti complanari in uno spazio affine * Rette complanari
in uno spazio affine * Dati S e S’ due
sottospazi affini: giacitura del sottospazio affine congiungente S v S’ * Formula di Grassmann negli spazi affini |
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(1 ora)-17/11/2020 |
([DISP, Ssp. Affini par. 2.2]) * Sottospazi affini
(propriamente ed impropriamente) paralleli * Sottospazi affini incidenti e
sghembi * Sottospazi affini totalmente sghembi e
non ([DISP, Ssp. Affini par. 2.3]) *Equazioni
parametriche e cartesiane di sottospazi affini
qualsiasi |
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(3 ore)-18/11/2020 |
* Equazioni di una
retta sotto forma di rapporti uguali ed equazioni
cartesiane della retta ([DISP,
Ssp. Affini Es. 2.3.5]) * Equazione
matriciale di un sottospazio affine di dimensione m ([DISP, Ssp. Affini Es. 2.3.7]) * Cenni a determinanti 2x2
e 3x3 ([DISP, Ssp. Affini par. 2.3]) * Sottospazi dello spazio
affine numerico A^3: passaggio da equazioni parametriche a
cartesiane con l’utilizzo delle equazioni matriciali e dei determinanti ([DISP, Ssp. Affini Esercizi svolti]) * Formule di Geometria
Affine: (i) condizioni di
dipendenza ed indipendenza di punti in uno spazio affine, (ii) caratterizzazione di
rette sghembe (iii) mutue posizioni di
rette in A^3 con equazioni cartesiane (iv) condizione matriciale
di parallelismo fra due piani (fra due rette) (iv) piani (rette)
passanti per un punto e paralleli (parallele) ad un sottospazio affine dato *Fasci di iperpiani:
fasci impropri e fasci propri. * Utilizzo di fasci di
iperpiani per risoluzione di alcuni problemi di Geometria Affine Consegna facoltativa svolgimento Homeworks 3 al Docente |
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(2 ore)-20/11/2020 |
Esercitazioni Prof.ssa Tovena-vedere alla pagina web https://www.mat.uniroma2.it/~tovena/ |
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I |
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23-27 NOVEMBRE - SETTIMANA
DI INTERRUZIONE ATTIVITA’ DIDATTICA PER SVOLGIMENTO I ESONERO: ARGOMENTI DEL I ESONERO = TUTTI GLI ARGOMENTI
AFFRONTATI NELLE LEZIONI E NELLE ESERCITAZIONI FINO A SETTIMANA 7 COMPRESA
Salvo
eventuali nuovi DPCM che impongano Lockdown a Roma
e salvo comunicazioni da parte degli studenti che vorranno fare l’esonero
on-line, la suddivisione aule nel giorno 25/11/2020 sarà la seguente Da Acciari a Martuscelli in aula 2 PP1 (Prof. Flamini) Mauri on-line via Teams (Prof. Flamini) Da Menicucci a Vinci in aula L3 (Proff.ssa
Tovena) |
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I |
Settimana 9 |
(2 ore)-30/11/2020 |
([AL, Cap. 9, par. 1]) * Applicazioni lineari od
omomorfismi tra spazi vettoriali * La composizione di
omomorfismi è omomorfismo * epimorfismi,
monomorfismi, isomorfismi, endomorfismi, automorfismi * Spazi vettoriali isomorfi * L’inversa insiemistica f^{-1} di un isomorfismo è anch’essa un’applicazione
lineare dunque anche f^{-1} è isomorfismo *
Esempi: (1)
Omomorfismo nullo: l’unica applicazione costante che ha
struttura di omomorfismo (2)
Identità di uno spazio vettoriale come automorfismo banale (3)
Immersione (o inclusione) di un sottospazio
proprio come monomorfismo
non epimorfismo (4)
restrizione di un omomorfismo ad un sottospazio proprio è un
omomorfismo (2)
Omotetie di modulo k in V come endomorfismi di V (automorfismi,
quando k non nullo) (3)
Involuzioni od endomorfismi involutori (4) Trasposizione di
matrici T_{m,n}:M(m,n;IK)àM(n,m;IK) come isomorfismo.
Se in particolare m=n, allora T_{n,n}
è automorfismo involutorio (5)
Omomorfismo Traccia Tr: M(n,n;IK) à IK (6)
IK àIK, x àx^n è omomorfismo (in particolare automorfismo) se e
solo se n=1; grafico nel prodotto cartesiano (7)
IKàIK, x à ax + b è omomorfismo se e
solo se b=0. Inoltre se a=0 è endomorfismo nullo, se a invece non nullo,
allora è automorfismo di IK; grafico nel prodotto cartesiano. (8)
Coniugio in V=C (oppure in V=M(m,n;C)): è un automorfismo di V solo quando
V lo si vede come IR-spazio vettoriale.
([AL, Cap. 9, par. 2]) *[AL
Prop. 9.8] Sistemi
(od insiemi) di vettori ed omomorfismi V---fà W: (a)
indipendenza lineare sotto l’azione di f; (b)
immagini f(V’) di sottospazi V’ di V; (c ) dimensioni di immagini di sottospazi * [AL
Cor. 9.10]
Se V---f à W è isomorfismo di spazi vettoriali, allora: (a) dim(V)
= dim(W); (b) S base di V se e solo
se f(S) base di W (c )
V’ sottospazio di dimensione k di V se e solo se f(V’) sottospazio di
dimensione k di W * Isomorfismo
coordinate quando su V si fissa un riferimento R: l’isomorfismo con IK^n, ove n = dim (V), non è
canonico ma dipende dalla scelta del riferimento R *La nozione di isomorfismo
di spazi vettoriali è una relazione di equivalenza * Identificazione di spazi vettoriali tramite isomorfismi e rappresentante
di una classe di spazi vettoriali a meno di isomorfismo |
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(1 ora)-01/12/2020 |
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Data f: Và W applicazione lineare si hanno: (i) Nucleo
di f :=
Ker(f) <= V e (ii) Immagine di f := Im(f)
<= W. *
Ker(f) (risp., Im(f)) è sottospazio di V (risp. di
W) [AL Prop. 9.14] *
Rango di un omomorfismo := rg(f) = dim(Im(f)) *
Teorema del rango [AL
Teorema 9.16] *Caratterizzazioni
di monomorfismi e di epimorfismi in termini di rg(f),
dim (Ker(f)) [AL
Corollario 9.18] |
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(3 ore)-02/12/2020 |
LEZIONE
SVOLTA DA Prof.ssa Tovena ([AL, Cap. 9, par. 3]) *
Applicazioni lineari determinate dai valori sui vettori di una base: prolungamenti
per linearità *Applicazioni
lineari e somme dirette * Automorfismi determinati
da permutazioni * Reinterpretazione di
alcuni risultati sui sistemi lineari ([AL, Cap. 10, par. 9]) * Identificazione
di spazi vettoriali tramite isomorfismi: applicazione ai sistemi lineari ed
al secondo teorema di unicità. Proiezione sullo spazio
vettoriale dei parametri liberi [AL (9.12)
e (9.13)] *
Omomorfismi tra spazi di vettori numerici ([AL, Cap. 10, par. 2]) |
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(2 ore)-04/12/2020 |
Esercitazioni Prof.ssa Tovena-vedere alla pagina web https://www.mat.uniroma2.it/~tovena/ |
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Settimana 10 |
(2 ore)-07/12/2020 |
NOLEZIONE-DISPOSIZIONE RETTORALE DEL
2/12/2019 Lunedì 7 Dicembre 2020 l’Ateneo è chiuso
(disposizione del 2/12/19 per le chiusure programmate di Ateneo nell’a.a. 2019-20) pertanto non potranno essere svolte
lezioni, nemmeno in modalità telematica. |
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(1 ora)-08/12/2020 |
Festività Immacolata |
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(3 ore)-09/12/2020 |
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Matrice M_{S,R} (f) di un’applicazione
lineare f: V---à W rispetto a riferimenti dati R in dominio e
S in codominio. ([AL, Cap. 10, par. 4]) *Cambiamenti
di riferimento in uno spazio vettoriale V: matrice cambiamento di base
e formula di cambiamento di coordinate ([AL, Cap. 10, par. 5]) *
Matrice quadrata invertibile; matrici singolari [Disp_M,
par. 4] Matrici quadrate e sistemi lineari *
Se A matrice quadrata invertibile, l’inversa destra coincide con l’inversa
sinistra e la matrice inversa è univocamente determinata: A^{-1}
([AL, Cap. 10,
Corollario 10.8]) *
Invertibilità di una matrice A in termini di unicità di soluzioni di un SL(n,n:IK) avente A come matrice
dei coefficienti[Disp_M, par. 4] Matrici quadrate e sistemi lineari |
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(2 ore)-11/12/2020 |
Esercitazioni Prof.ssa Tovena-vedere alla pagina web https://www.mat.uniroma2.it/~tovena/ |
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I |
Settimana 11 |
(2 ore)-14/12/2020 |
[Disp_M,
par. 5] Determinate di matrici quadrate *
Determinante di una matrice quadrata: regola di Sarrus per le matrici 3x3 e Teorema di
Laplace *
Il determinante è una funzione antisimmetrica nelle righe e
nelle colonne di A *
Il determinante è una funzione multilineare nelle righe e nelle
colonne di A *
Ulteriori proprietà del determinante *
Teorema di Binet (solo enunciato) |
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(1 ora)- 15/12/2020 |
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La nozione generale di GRUPPO: esempi ([AL, Cap. 10, par. 10]) *
Il gruppo lineare GL(n, IK). ([AL, Cap. 10, par. 2]) *
Teorema di Kronecker o degli orlati: calcolo
del rango di una matrice M rettangolare utilizzando determinanti di
sottomatrici (o matrici subordinate) A di M che siano quadrate [Disp_M,
p.56] *Generalizzazione
di concetti già discussi per sottospazi affini in A^2 e A^3:
utilizzo del teorema di Kronecker per
determinare rapidamente equazioni cartesiane di sottospazi affini dalle
relative equazioni parametriche. Foglio Esercizi Homeworks 4 da
riconsegnare facoltativamente al docente Lunedi’
11/01/2021 (valutati e considerati in sede di esame finale) |
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(3 ore)-16/12/2020 |
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Matrice inversa di una matrice invertibile: calcolo esplicito attraverso
l’utilizzo dei complementi
algebrici (o cofattori) [Disp_M, par. 6] Calcolo
della matrice inversa di una matrice invertibile *
Ancora sull’utilizzo di matrici invertibili: risoluzione di un SL(n,n; IK) con matrice dei
coefficienti A invertibile, per mezzo della regola di Cramer [Disp_M,
par. 7] Teorema di Cramer *
Orientazioni di uno spazio vettoriale reale ([AL, Cap. 14, par. 7]) [Disp, Cap. 3, Paragrafo 1] *
Affinità. * Punti fissi, luoghi fissi e luoghi di punti fissi di un’affinità. *Esempi
di affinità: (i)
affinità di rango zero = applicazioni costanti (ii)
affinità identica (iii)
traslazioni di passo v, (iv)
omotetia di centro P e modulo (o rapporto) k (v)
simmetria rispetto a P |
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(2 ore)-18/12/2020 |
Esercitazioni Prof.ssa Tovena-vedere alla pagina web https://www.mat.uniroma2.it/~tovena/ |
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I |
Settimana 12 |
(2 ore)-21/12/2020 |
[Disp, Cap. 3, Paragrafo 2] *
Affinità biettive come isomorfismi di spazi affini.
Spazi affini isomorfi *Immagine
di un sottospazio affini mediante un’affinità è sottospazio affine; controimmagine di un sottospazio affine mediante un’affinità
è sottospazio affine *Figure
AFFINEMENTE EQUIVALENTI. *Geometria affine e proprietà
affini *
Ogni spazio affine di dimensione n sul campo IK è isomorfo allo spazio affine
numerico n-dimensionale su IK *
Riferimenti cartesiani affini e sistema di coordinate
affini associate al riferimento affine [Disp, Cap. 3, Paragrafo 3] *
Composizione di affinità *
Gruppo Affine *
Il gruppo affine è generato da GL(V) e da T(V) |
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(1 ora)-22/12/2020 |
[Disp, Cap. 3, Paragrafo 4] *Affinità
tra spazi affini numerici: equazione matriciale di un’affinità *Equazioni
cartesiane di un’affinità *Affinità
inversa di un’affinità invertibile *Equazioni
cartesiane e parametriche di sottospazi affini immagine (controimmagine)
mediante un’affinità [Disp, Cap. 3, Paragrafo 5] *Affinità
e riferimenti *
y = A x + c: formule di cambiamento di coordinate
cartesiane affini nel passaggio da un riferimento affine R ad
un riferimento affine R’ |
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23/12/2020-07/01/2021 |
FESTIVITA’
NATALIZIE |
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(2 ore)-08/01/2021 |
Esercitazioni
Prof.ssa Tovena-vedere alla pagina web https://www.mat.uniroma2.it/~tovena/ |
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I |
Settimana 13 |
(2 ore)- 11/01/2021 |
[Disp_F, Paragrafo
1.1] *
Prodotti scalari su uno spazio vettoriale reale *
Vari esempi di prodotti scalari su vari spazi vettoriali *
Prodotto scalare standard x su IR^n [Disp_F,
Paragrafo 1.2] *
B_u ( < ,
> ) matrice di un prodotto scalare in una base u data *
Calcolo del prodotto scalare con B_u ( < ,
>) *
Matrici cambiamento di base e matrici di prodotto scalare: relazione di
congruenza Consegna
facoltativa svolgimento Homeworks 4 al Docente |
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(1 ora)-12/01/2020 |
[Disp_F, Paragrafo
1.3] *
Spazi vettoriali euclidei *
Norma di un vettore. Lunghezza di un vettore. *
Versori. Versorizzazione di
un vettore *
Diseguaglianza di Cauchy-Schwartz *
Coseno di angolo convesso tra due vettori. *
Vettori ortogonali (o perpendicolari). *
Sistemi di vettori ortogonali: sono sistemi linearmente indipendenti |
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(3 ore)-13/01/2020 |
[Disp_F,
Paragrafo 1.4] * Basi ortogonali. *
Procedimento di ortogonalizzazione di
Gram- Schmidt
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Basi ortonormali di uno spazio vettoriale euclideo *
v è una base ortonormale rispetto ad un prodotto scalare < , >
se, e solo se, la matrice B_v (< , > ) del prodotto scalare è la matrice
identità. [Disp_F,
Paragrafo 1.5] *
Matrici ortogonali: matrici ortogonali speciali e
matrici ortogonali non speciali. *
O(n, IR) = gruppo ortogonale,
*
SO(n,IR) sottogruppo speciale ortogonale *
In basi ortonormali u e v, le matrici cambiamento di base M:= M_{u,v} sono matrici
ortogonali *
Se si usano matrici ortogonali, e dunque cambiamenti di base tra basi
ortonormali, la relazione di congruenza M^t
A M coincide con quella di similitudine o coniugio M^{-1} A M [Disp_F,
Paragrafo 1.6] *
S^{perp} = sottospazio ortogonale ad un
sottoinsieme S di vettori di uno spazio vettoriale euclideo V *
U^{perp} = Supplemento ortogonale di
un sottospazio U di V. *
Se dim(V) = n e dim(U) =
k, allora dim(U^{perp}) =
n-k e V si decompone in somma diretta ortogonale con U e U^{perp} *
P_v = Proiettore sulla retta vettoriale Span(v) *
P_v è
un endomorfismo di V tale che Im (P_v) = Span (v) e Ker(P_v) = iperpiano supplemento ortogonale alla retta
vettoriale Span(v) * P_v(u) = vettore
proiezione di u parallela al vettore v *
u - P_v(u) = vettore proiezione di u
ortogonale al vettore v *
P_U = Proiettore sul sottospazio U. *
P_U è un endomorfismo di V tale che Im(P_U) = U e Ker(P_U) =
U^{perp} |
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(2 ore)- 15/01/2021 |
[Disp_F,
Cap. 4 Spazi Euclidei, par. 4.1, 4.2 e 4.3] *
Spazi euclidei IE *
Distanza fra due punti in uno spazio euclideo IE *
Diseguaglianza triangolare (vettoriale e per la distanza fra punti) *
Misura principale dell’angolo formato tra due vettori, misura dell’angolo fra
due vettori *
Perpendicolarità in uno spazio euclideo IE *
Riferimenti cartesiani monometrici ortonormali in uno spazio euclideo
IE *
Perpendicolarità di sottospazi affini di uno spazio euclideo IE *
Sottospazi S’ ortogonali ad uno spazio affine S di dimensione S: ne esistono per
ogni dimensione da 0 a n-m. *
Per un punto P in IE passa uno ed uno solo sottospazio affine S’ di
dimensione massimale n-m che sia ortogonale ad un sottospazio affine S di
dimensione m. |
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I |
Settimana 14 |
(2 ore)- 18/01/2021 |
Esercitazioni Prof.ssa Tovena-vedere alla pagina web https://www.mat.uniroma2.it/~tovena/ |
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(1 ora)-19/01/2020 |
[Disp_F,
Cap. 4 Spazi Euclidei, par. 4.4] *
Vettore normale ad un iperpiano *
Vettore direttore di una retta perpendicolare ad un iperpiano *
Retta per un punto e perpendicolare ad un iperpiano dato:
equazioni parametriche vettoriali, equazioni parametriche scalari, equazioni
cartesiane (in forma normale) *
Iperpiano per un punto e perpendicolare ad una retta data: equazioni
parametriche vettoriali, equazioni parametriche scalari, equazione cartesiana *
Caso delle rette nel piano euclideo IE^2 *
Rette perpendicolari in IE^n |
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(3 ore)-20/01/2020 |
[Disp_F,
Cap. 4 Spazi Euclidei, par. 4.5, 4.6] *
Orientazione in uno spazio euclideo IE. Rette orientate. * Coseni direttori di
una retta. *
Angolo fra due rette orientate * Angolo tra iperpiani.
Iperpiani ortogonali * Angolo retta-iperpiano.
* Proiezione parallela
di un vettore su una retta e proiezione ortogonale *
Proiezione ortogonale di un punto su un sottospazio affine;
distanza di un punto da un sottospazio affine. *
Casi particolari: distanza di un punto da un iperpiano; distanza di un punto
da una retta. * Distanza fra
sottospazi affini *
Prodotto esterno o vettoriale in uno spazio
euclideo IE di dimensione tre. * Aree di triangoli * Prodotto misto in uno
spazio euclideo IE di dimensione tre. *
Volumi di parallelepipedi *
distanza punto-retta, distanza fra due rette parallele, distanza fra due
rette sghembe. [Disp_F, Cap. 4 Spazi Euclidei, problemi 4.9, 4.11 e 4.13] |
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(2 ore)- 22/01/2021 |
SVOLGIMENTO II ESONERO ore 8:20-10:50 ARGOMENTI DEL II ESONERO = TUTTI GLI ARGOMENTI AFFRONTATI NELLE LEZIONI
E NELLE ESERCITAZIONI FINO A SETTIMANA 13 COMPRESA-Salvo eventuali nuovi DPCM che impongano Lockdown
a Roma e salvo comunicazioni da parte degli studenti che vorranno fare
l’esonero on-line, l’esonero si svolge in
aula 2 PP1 nelle ore
sopra scritte |
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I |
A cominciare dal
27/01/2021 |
SVOLGIMENTO APPELLI ARGOMENTI DEGLI APPELLI SCRITTI = TUTTI
GLI ARGOMENTI AFFRONTATI NELLE LEZIONI E NELLE ESERCITAZIONI DA SETTIMANA 1
FINO A SETTIMANA 14 COMPRESA |