1. Funzioni di variabile complessa: funzioni olomorfe, serie di
potenze, integrazione in campo complesso, teorema e formula
integrale di Cauchy e relative conseguenze, funzioni analitiche e
principali proprietà, singolarità isolate e serie di Laurent,
residui, teorema dei residui e applicazione al calcolo di
integrali impropri, cenni su trasformazioni conformi. Funzioni
meromorfe. Principio del massimo.
2. Integrale di Lebesgue. Elementi di analisi funzionale:spazi
vettoriali reali e complessi, spazi normati, spazi di Banach,
spazi C^k e spazi L^p, spazi di Hilbert, teorema della proiezione,
sistemi ortonormali in L^2
3. Serie di Fourier : convergenza in L^2, puntuale ed uniforme,
fenomeno di Gibbs.
4. Trasformata di Fourier di funzioni sommabili, di funzioni di
L^2 e proprietà principali, formula di inversione. Teorema di
Shannon sul campionamento dei segnali
5. Trasformata di Laplace e principali proprietà, formula di
inversione, convoluzione e principali proprietà
6. Applicazione delle trasformate di Laplace e Fourier alla
soluzione di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate
parziali, proprietà del nucleo del calore.
7. Cenni sulla teoria delle distribuzioni: funzioni test,
distribuzioni indotte da funzioni localmente sommabili, limiti nel
senso delle distribuzioni, delta di Dirac e sua trasformata di
Fourier, derivate distribuzionali.
Testo consigliato: G.C. Barozzi. Matematica per l'Ingegneria
dell'Informazione. Zanichelli.
Distinta delle lezioni
1 . Ripasso
sui numeri complessi. Somma e prodotto. Forma esponenziale,
trigonometrica e cartesiana. Identificazione dei reali come
sottoinsieme del piano complesso. Radici n-ime di un numero
complesso e loro rappresentazione geometrica. Funzioni affini e
loro rappresentazione. Argomento principale. Radice quadrata
principale. Funzione esponenziale complessa. Logaritmo principale.
2. Derivata in senso complesso. Differenziabilità. Condizioni di
Cauchy-Riemann in forma complessa, come sistema reale e in
coordinate polari. Condizioni di ortogonalità. Proprietà conformi
delle funzioni derivabili. Derivabilità delle funzioni polinomiali
e razionali. Derivabilità di esponenziale, radice e logaritmo.
Funzioni olomorfe e intere.
3. Serie di potenze complesse. Definizione di limite superiore e
inferiore di una successione di numeri reali. Teorema di
Cauchy-Hadamard sul raggio di convergenza. Esempi di serie
convergenti o meno sul bordo del disco di convergenza. Criterio di
convergenza uniforme di una serie di funzioni (D). Convergenza
uniforme all'interno del disco di convergenza (D). Esempi di serie
di Taylor. Serie esponenziale e suoi legami con le serie di seno e
coseno.
4. Teorema di derivazione per serie (D). Esempi. Funzioni
analitiche. Analiticità delle serie di potenze.
5. Esempi ed esercizi sul calcolo di serie di potenze e dei loro
dominii.
6. Integrazione di una funzione complessa su una curva.
Interpretazione come integrale di seconda specie della forma
differenziale (u dx - v dy)+ i(v dx + u dy). Proprietà
dell'integrale analoghe a quelle degli integrali di seconda
specie. Primitiva di una funzione complessa. Esistenza di
primitive per le funzioni olomorfe in un aperto semplicemente
connesso (D). Integrale di 1/z su un cerchio. Formula di Cauchy
(D). Corollari: analiticità delle funzioni olomorfe (D), teorema
di Liouville (D), teorema fondamentale dell'algebra (D).
7-18 (prof. Berretti)
Formule integrali di Cauchy. Serie di Taylor. Stime dimensionali.
Teorema di Liouville e corollari. Zeri di funzioni analitiche e
principio di identita'.
Serie di Laurent, singolarita' di funzioni analitiche ad un solo
valore.
Funzioni "a piú valori" e concetto intuitivo di superficie di
Riemann. Punti di diramazione.
Teorema dei residui. Utilizzo del teorema dei residui per il
calcolo di integrali.
Funzioni meromorfe. Poli e zeri di funzioni meromorfe, teorema di
Rouche'.
Il principio del massimo per funzioni analitiche e per funzioni
armoniche.
Trasformazioni conformi. Trasformazioni lineari-frazionarie.
Semplici applicazioni.
Esercizi.
19. Misura di Lebesgue e insiemi misurabili. Proprietà. Esempio di
un insieme non misurabile. Funzioni misurabili. Funzioni semplici.
Funzioni sommabili. Confronto con l'integrale di Riemann.
20. Proprietà vere quasi ovunque. Insiemi nulli quasi ovunque.
Convergenza quasi ovunque. Teoremi di convergenza di integrali:
Teorema di Lebesgue o della Convergenza Dominata (con
controesempio (D)), Teorema di Beppo Levi. Teorema di Fubini.
21. Relazione di equivalenza di uguaglianza quasi ovunque di
funzioni. Spazi di Lebesgue L^p. Struttura di spazio vettoriale.
Sottospazi finiti dimensionali e loro basi.
22. Struttura di spazio normato di L^p. Distanza e convergenza in
L^p. Esempi. Diseguaglianze tra norme. Completezza di L^p. Spazi
di Banach. Prodotto scalare in L^2. Spazi di Hilbert.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza triangolare.
23. Vettori ortogonali. Teorema di Pitagora. Insiemi e basi
ortogonali/ortonormali. Lineare indipendenza di insiemi
ortogonali. Esempio: polinomi trigonometrici di ordine n.
Esempio di spazio di Hilbert: l^2 (ellepiccolodue). Teorema delle
proiezioni. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Punto di
minima distanza. Diseguaglianza di Bessel
24. Metodo di Gram-Schmidt per determinare una base ortogonale.
Esempi in spazi L^2. Polinomi di Fourier in forma complessa
(esponenziale) e in forma reale (trigonometrica).
25. Serie di Fourier. Proprietà l^2 dei coefficienti di Fourier.
Identità di Parseval
26. Lemma di Riemann-Lebesgue (in forma generale, con una funzione
periodica generica, non solo seno o coseno)(D). Nucleo di
Dirichlet e sue proprietà. Convergenza puntale della serie di
Fourier per una funzione continua a tratti.
27. Coefficienti di Fourier della derivata. Convergenza uniforme
per una funzione C^1, o più in generale per una funzione con
derivata L^2 (D). Convergenza in norma L^2 della serie di Fourier
di una funzione L^2 (D). Teorema di Fejer. Fenomeno di Gibbs.
28. Principio di localizzazione. Esempi.
29. Serie di Fourier per funzioni per funzioni T-periodiche.
Giustificazione della definizione di trasformata di Fourier per
una funzione in L^1 della retta reale. Esempi. Proprietà della
trasformata di Fourier rispetto a trasformazioni della funzione di
partenza.
30. Teorema di inversione. Proprietà della trasformata di Fourier
rispetto alla derivazione. Trasformate di Fourier di Gaussiane.
31. Trasformate di Fourier di funzioni in L^2(IR). Prodotti
scalari di trasformate di Fourier. La formula di Plancherel.
Esempi e applicazioni.
32. Esempi di applicazioni alla soluzione di equazioni alle
derivate parziali. Equazione del calore. Equazione delle onde.
33. Esercizi. Regole di calcolo delle trasformate di Fourier
tramite il teorema dei residui e i lemmi di Jordan.
34-39 (prof. Tarantello)
La trasformata di Laplace, dominio e ascissa di convergenza.
Trasformata dell'impulso unitario, di esponenziali, funzioni
trigonometriche e polinomi. Analiticità della trasformata di
Laplace e formula della derivata. Trasformata di Laplace della
derivata. Trasformata di Laplace di derivate di ordine qualsiasi
(per ricorrenza). Soluzioni di problemi di Cauchy per equazioni
differenziali lineari a coefficienti costanti. Convoluzione.
Trasformata di Laplace di una convoluzione. Soluzioni di problemi
integro-differenziali. Soluzione impulsiva. Soluzione di equazioni
con dati omogenei tramite convoluzione con una soluzione
impulsiva. Proprietà delle trasformate di Laplace di segnali.
Trasformata di un segnale periodico. Esempio dell'onda quadra.
Formula di Riemann-Fourier dell’antitrasformata di Laplace (cenni
sulla dimostrazione) Esercizi
sulla trasformata di Laplace (Tarantello)
40. Distribuzioni. Motivazioni;
generalizzazione del concetto di limite e di derivata di
funzione. Lo spazio delle funzioni C^infinito a supporto
compatto. Definizione di distribuzione. Esempi. Identificazione
di funzioni L^1_loc come distribuzioni. La delta di Dirac.
Convergenza di distribuzioni.
41. Derivata nel senso delle distribuzioni. Esempi di calcolo
di derivate e di limiti di distribuzioni.
42. Soluzioni di equazioni differenziali nel senso delle
distribuzioni. Operazioni sulle distribuzioni. Spazio delle
funzioni a decrescenza rapida. Distribuzioni temperate.
Trasformate di Fourier di distribuzioni temperate.
Orario delle lezioni
Inizio del corso: 5 marzo 2012
Fine del corso: 30 giugno 2012
Orario di ricevimento (Braides): mercoledì
ore 9:30-11:30
(per l'orario di ricevimento dei Prof. Berretti
e Tarantello, contattare direttamente i docenti) MODALITÀ D'ESAME
Esame scritto + esame orale (obbligatorio). Allo scritto si può usare il
testo ma non gli appunti, ne' calcolatrici o altro. Portate
fogli per la brutta. Esame
da 5 crediti: chi deve sostenere l'esame da 5
crediti parteciperà alla stessa prova
dell'esame da 10 crediti, ma dovrà svolgere un
esame scritto ridotto, scegliendo 1 esercizio
tra due di analisi complessa e 2 tra i
restanti quattro.
