La retta tangente il grafico di una funzione sufficientemente regolare è la posizione limite di rette secanti il grafico. Ci si aspetterebbe che il piano tangente il grafico di una funzione a due variabili sufficientemente regolare sia la posizione limite di piani secanti il grafico in tre punti non collineari (a,f(a)), (b,f(b)) e (c,f(c)), ma così non è. Questo fenomeno paradossale è una versione locale del paradosso dell'area di una superficie curva (detto anche paradosso di Schwarz). In questo seminario visualizzerò il fenomeno paradossale, e mostrerò come il "coefficiente angolare vettoriale" di un piano secante possa esprimersi sia come combinazione vettoriale delle normali esterne al triangolo di vertici a, b e c, sia come rapporto vettoriale incrementale, quando il prodotto vettoriale è quello geometrico di Clifford. Se rimarrà tempo, accennerò anche a come modificare tale rapporto incrementale vettoriale per renderlo sempre convergente al gradiente di f.

In this talk, we will discuss the isoperimetric inequality and its high order version -- Alexandrov Fenchel inequality, which dates back to the Queen Dido in ancient Carthage era. We introduce the quermass integrals for compact hypersurfaces with capillary boundary. Then by using a constrained mean curvature type flow, one can obtain the Alexandrov-Fenchel inequality for compact hypersurfaces with capillary boundary.