Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale, Elettronica e Internet
Secondo semestre, a.a. 2021-2022

Diario delle lezioni del corso di Geometria/Geometria e Algebra

QUINDICESIMA SETTIMANA, 6-10 giugno 2022. Il luogo degli zeri Z di una funzione f di Rn e il suo trasformato F(Z) tramite una biezione F:Rn -> Rn; l'insieme F(Z) e' il luogo degli zeri di f∘F-1. Le coniche euclidee, la forma canonica del polinomio di secondo grado che le definisce si ottiene (sintetizzando) diagonalizzando la parte quadratica ed eliminando quanti piu' termini lineari possibili (nel caso delle coniche o uno o entrambi), classificazione euclidea di tutte le coniche euclidee (senza ripetizioni).
Classificazione delle coniche euclidee:
Coniche: matrice completa della conica e determinazione del tipo di conica tramite gli invarianti. Ellissi, parabole e iperboli come luoghi geometrici del piano euclideo, fuochi, direttrici, eccentricita', simmetrie e parametrizzazioni. Coniche a centro e determinazione del centro. Se siete interessati alle quadriche (non discusse a lezione): Appunti 10, quadriche
Esercizi 14, 15: 1, 2, 3a,b,c,d,g, 4, 5

QUATTORDICESIMA SETTIMANA, 30 maggio - 1 giugno: Il prodotto hermitiano standard: norma e distanza indotta, ortogonalita' e basi ortonormali. Le isometrie che fissano l'origine sono lineari e conservano il prodotto hermitiano (senza dimostrazione). Sono isometrie lineari se e solo se rispetto ad una base ortonormale sono rappresentate da una matrice unitaria. Proprieta' delle matrici unitarie, loro caratterizzazione in termini delle righe/colonne, gli autovalori sono numeri complessi di modulo 1. Il teorema spettrale per operatori unitari (senza dimostrazione). Gli operatori autoaggiunti/hermitiani sono tali se e solo se sono rappresentati rispetto ad una base ortonormale da una matrice hermitiana, il teorema spettrale per operatori hermitiani e matrici hermitiane: un operatore/matrice e' hermitiano/a se e solo i suoi autovalori sono reali e si diagonalizza su base ortonormale/tramite matrice unitaria. Si usa che le matrici del cambiamento di base tra due basi ortonormali risultano essere proprio quelle unitarie. La versione piu' generale del teorema spettrale vale anche per operatori anti-hermitiani, Greco-Valabrega Vol I: capitolo VIII.8.5
Appunti 8 p. 1-2, 9

TREDICESIMA SETTIMANA (23-27 maggio): Tutte le isometrie lineari in R^2 con det = 1 sono rotazioni, tutte le isometrie lineari a det = -1 di R^2 sono ribaltamenti rispetto ad una retta per l'origine. I sottospazi ortogonali agli autovettori, o piu' in generale a sottospazi vettoriali invarianti per l'isometria, sono anch'essi invarianti. Molto utile per scomporre in sottospazi invarianti rispetto all'isometria lo spazio euclideo (V,< , >). Le isometrie di R3 con det 1 (dirette o movimenti rigidi) sono rotazioni intorno ad un asse,le isometrie di R3 con det -1 (non dirette) sono rotazioni intorno ad un asse composte con una riflessione ortogonale rispetto al piano ortogonale a tale asse. Dunque esiste una particolare base rispetto alla quale si rappresentano con matrici appastanza semplici. Per trovarla si parte da un autovettore (che esiste perche' 3 e' dispari). Rispetto ad altre basi, inclusa quella canonica, non e' detto che le matrici rappresentative abbiano un aspetto accattivante. Le riflessioni ortogonali rispetto ad un sottospazio sono isometrie, cosi' come le permutazioni segnate delle coordinate (che non sono in generale diagonalizzabili). Le proiezioni su un sottospazio W finito dimensionale di V di dimensione non necessariamente finita: definizione e proprieta'. La proiezione di v e' il vettore di W "piu' vicino" a v. Gli operatori autoaggiunti/simmetrici sono tali se e solo se sono rappresentati rispetto ad una base ortonormale da una matrice simmetrica, il teorema spettrale per operatori simmetrici (dimostrazione per n=2 e n=3) e sua conseguenza: una matrice e' simmetrica se e solo se si diagonalizza tramite una matrice ortogonale: si usa che le matrici del cambiamento di base tra due basi ortonormali risultano essere proprio quelle ortogonali.

Greco-Valabrega Vol I: capitolo VIII.1-VIII.5.7.
Appunti 7
Esercizi 13
Esercizi svolti 14

DODICESIMA SETTIMANA (16-20 maggio): Diagonalizzabilita`: Autospazi distinti sono in somma diretta. Un endomorfismo su V (una matrice quadrata) e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base di autovettori se e solo se la somma (diretta) degli autospazi coincide con V. Una matrice diagonalizzante si ottiene mettendo gli autovettori che formano una base in colonna. Il caso delle riflessioni e delle rotazioni. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico e sono al piu' n=dim V. Se ci sono n radici distinte, allora f e' diagonalizzabile. Radici di polinomi a coefficienti in un campo: i casi di C, R e Q. Teorema fondamentale dell'algebra, lemma di divisione, regola di Ruffini, teorema delle radici razionali (tutti senza dimostrazione), fattori irriducibili in R e C, per K=R caso di n dispari. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore, autovalori semplici e semisemplici, un endomorfismo (una matrice quadrata) e' diagonalizzabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico sono nel campo K e le molteplicita' algebriche coincidono con quelle geometriche. Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico, lo stesso determinante, la stessa traccia, ma non viceversa. I coefficienti del polinimo caratteristico: la traccia e il determinante di T sono ben definite e coincidono, rispettivamente, con la somma e il prodotto di tutte le radici, c/_0 /= det(f) e c/_n-1 /=(-1)/^n-1 /tr(f), ad esempio per n = 2 il polinomio coaratteristico e' dato da x^2 -tr(f)x+ det(f). La traccia di una matrice e sue proprieta`. Isometrie, ad esempio le traslazioni; le isometrie che fissano l'origine sono lineari e definite, rispetto ad una base ortonormale, da matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale O(n, R) e il gruppo ortogonale speciale SO(n,R), le isometrie che fissano l'origine sono lineari e rappresentate, rispetto ad una base ortonormale, da una matrice ortogonale, proprieta' delle matrici ortogonali, caratterizzazione in termini delle righe/colonne. I possibili valori reali (vedremo poi quelli complessi) degli eventuali autovalori di una matrice ortogonale (di un isometria lineare) sono +1 oppure -1. Le rotazioni attorno all'origine sono isometrie di R/^2 / con det = 1, il ribaltamento rispetto all asse x e' un isometria con det = -1.

Greco-Valabrega Vol I: VI.6-VI.9
Esercizi 9-12
Esercizi svolti 11, 12, 13


PROVE SCRITTE DI ANNI PASSATI

I appello pdf. II appello pdf. III appello pdf. IV appello pdf. V appello pdf. VI appello pdf



UNDICESIMA SETTIMANA (9-13 maggio): La restrizione di un'applicazione lineare ad un sottospazio vettoriale definisce un'applicazione lineare, esistenza ed unicita' di un'applicazione lineare di cui si sono scelte arbitrarie immagini degli elementi di una fissata base del dominio. Estensioni lineari di applicazioni lineari, la matrice che rappresenta un'applicazione lineare rispetto a due basi fis$ una nel dominio, l'altra nel condominio, esempi. Iniettivita' e suriettivita' di un'applicazione lineare f: V --> W in termini di una matrice A che la rappresenta: f e' iniettiva se e solo se il rango di A coincide con la dimensione di V, f e' suriettiva se e solo se il rango di A coincide con la dimensione di W. La proiezione su W lungo un sottospazio complementare U, la proiezione ortogonale. La riflessione rispetto ad un sottospazio W lungo un sottospazio complementare U, la riflessione ortogonale. L'isomorfismo di spazi vettoriali tra Hom(V,W) e /M^m,n /(K). La matrice associata alla composizione di applicazioni lineari, il caso degli isomorfismi lineari, endomorfismi di uno spazio vettoriale, l'inverso di un' isomorfismo f e' determinato dall'inversa della matrice che rappresenta f. La matrice del cambio di coordinate. Esempi.La similitudine fra matrici come relazione di equivalenza, cambiando coordinate le matrici che rappresentano un endomorfismo variano per similitudine, due matrici qudrate sono simili se e solo se rappresentano uno stesso endomorfismo, matrici diagonali, diagonalizzabili, diagonalizzanti. Autovalori, autovettori, autospazi ed esempi. Autovettori associati ad autovalori distinti sono l.i.

Greco-Valabrega Vol I: capitolo VII.
Esercizi 12
Esercizi svolti 13


DECIMA SETTIMANA (2-6 maggio): Basi ortogonali e basi ortonormali, un insieme di vettori ortogonali e` libero se e solo se non contiene il vettore nullo (con dimostrazione), formula per le coordinate di un vettore rispetto ad una base ortogonale tramite proiezioni, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (con dimostrazione). Teorema del complemento/supplementare ortogonale e la sua dimensione (con dimostrazione). Le soluzioni di un sistema omogeneo come compelemento ortogonale dello spazio generato dalle righe della matrice dei coefficienti. Equazioni omogenee del sottospazio ortogonale ad uno spazio vettoriale W, determinazione di una sua base ortogonale tramite Gram-Schmidt. Determinazione di equazioni omogenee che definiscono un sottospazio vettoriale assegnato: W coincide con lo spazio ortogonale allo spazio ortogonale a W e fissando una base dello spazio ortogonale a W si ricavano n-k equazioni omogenee che definiscono W. Sistema lineare omogeneo per un sottospazio vettoriale: metodo del complemento/supplementare ortogonale, metodo dei minori orlati. Base del complemento/supplementare ortogonale ortogonalizzando il completamento della base di W. Applicazioni lineari: definizione ed esempi, prime proprieta'. Matrice rappresentativa rispetto ad una base di partenza e una di arrivo. Nucleo ed immagine come sottospazi, f lineare trasforma  generatori in generatori. f iniettiva se e solo se il nucleo e' banale, f iniettiva trasforma insiemi di vettori l.i. in vettori l.i. Caso dell'applicazione lineare tra spazi di vettori numerici definita da una matrice A, teorema della dimensione e sue conseguenze, isomorfismi L:V->W e condizioni equivalenti nel caso di V e W dimensione finita uguale.

Greco-Valabrega Vol I: VI.1-VI.5 (occhio alla differente notazione della matrice che rappresenta un'applicazione lineare rispetto a basi fissate)
Appunti 6
Esercizi 6, 7, 8
Esercizi svolti 9, 10


NONA SETTIMANA (26-29 aprile 2022): Dimostrazione della formula dello sviluppo di Laplace per calcolare determinanti, risoluzione di sistemi lineari quadrati di rango massimo: teorema di Cramer. (con dimostrazione), dimostrazione della formula di Laplace per l'inversa di una matrice , determinante dell'inversa di una matrice, determinante della matrice dei cofattori, risoluzione di sistemi lineari arbitrari compatibili con il metodo dell'inversa. Calcolo del rango in termini dei minori non nulli (dimostrato). Il principio dei minori orlati (senza dimostrazione). Spazi vettoriali euclidei (spazi metrici). Prodotto scalare, norma e loro proprieta`; angoli, ortogonalita`, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare, teorema di Pitagora. Esempio dello spazio metrico delle funzioni continue e prodotto scalare su esso.

Greco-Valabrega Vol I: VIII 1, VIII 2
Appunti 1, appunti 6

OTTAVA SETTIMANA (19-22 aprile 2022): Inversa di una matrice invertibile. Regole di calcolo per trasposte, inverse, prodotti di matrici quadrate. Determinazione e unicita' dell'inversa di una matrice quadrata invertibile: il metodo di Gauss-Jordan. Il determinante come unica funzione multilineare alternante sulle righe normalizzata da |I_n|=1. |A| e' non nullo se e solo se il rango di A e' massimo, determinanti di matrici triangolari, il gruppo simmetrico Sn: formula per il calcolo del determinante usando le permutazioni. Analoga formula per l'unica funzione multilineare alternante sulle COLONNE normalizzata da |I_n|=1, le due formule danno lo stesso risultato, dunque il determinante e’ multilineare alternante sia sulle righe che sulle colonne. Sviluppo di Laplace per righe e per colonne. Regola di Sarrus per matrici 3x3. Teorema di Binet (senza dimostrazione). Lo sviluppo di Laplace nullo di una matrice quadrata con due righe/colonne uguali. Formula di Cramer per l'inversa di una matrice invertibile.

Greco-Valabrega Vol I: V.5, V.6, V.8
Appunti 6
Esercizi svolti 11


SETTIMA SETTIMANA (11-15 aprile): Sistemi equivalenti e operazioni elementari. Risoluzione di sistemi ridotti e metodo di riduzione di Gauss. Matrici a scala e fortemente ridotte. Risoluzione di un sistema con Gauss-Jordan. Basi di sottospazi vettoriali (somma, intersezione) tramite il metodo di riduzione di Gauss. Prodotto tra matrici, proprieta' (non-commutativita`, associativita`, distributivita`) ed esempi, il caso delle matrici quadrate. Compatibilita` fra prodotto e trasposizione. Matrice identica, definizione di inversa di una matrice. Sistemi di equazioni lineari, in notazione compatta AX = B, teorema di Rouche'-Capelli. Sistemi lineari omogenei: l'insieme delle soluzioni e' un sottospazio vettoriale. Sistemi lineari compatibili AX=B: soluzioni = soluzione particolare + soluzioni di AX=O, ovvero sottospazio affine. Sistemi lineari omogenei: determinazione di una base dello spazio delle soluzioni. Discussione delle posizioni reciproche di due piani, un piano e una retta, due rette, studiando il sistema delle equazioni cartesiane tramite Rouche'-Capelli.

Greco-Valabrega Vol I: V.1-V.3, V.3.5, V.4.5
Appunti 6
Esercizi 5bis
Esercizi svolti Esercizi svolti 1, 7, 8 e 11, Greco-Valabrega Vol I: V.9


SESTA SETTIMANA (4-8 aprile): Somma diretta di sottospazi vettoriali e loro dimensione, l'ortogonale W ad un sottospazio vettoriale U e' un supplementare di U, caso di U sottospazio vettoriale di R3: U e' l'ortogonale al suo ortogonale W. Vale l'analogo risultato in dimensione maggiore. Formula di Grassmann vettoriale: conseguenze ed esempi, somma diretta: nel caso di due sottospazi vettoriali equivale ad essere l'intersezione banale. Distanza di un piano da: un punto, una retta a lui parallela, un piano a lui parallelo: formula in termini delle coordinate del punto e dell'equazione del piano. Distanza di una retta da: un punto, una retta a lei parallela. Distanza tra due rette sghembe. Circonferenze di R2 e rette a loro tangenti. Sfere di R3 e piani a loro tangenti. Le circonferenze di R3 come intersezione di una sfera con un piano: calcolo del raggio. Lo spazio vettoriale delle matrici, la trasposta di una matrice, matrici quadrate; diagonali, triangolari superiori, triangolari inferiori, simmetriche e anti-simmetriche. Il rango per righe e' uguale a quello per colonne (per ora senza dimostrazione) rango delle matrici ridotte, trasformazioni elementari. Metodo di riduzione di Gauss.

Appunti 6
Greco-Valabrega Vol I: II.1.4, II.1.5, II.5, II.6, IV.1-IV.3, V.1-V.3, V.3.5, V.4.5, V.9 esercizi di fine capitolo IV.5.1-IV.5.2
Esercizi svolti 6
Esercizi svolti 7

QUINTA SETTIMANA (dal 28 marzo al 1 aprile): Piani e rette ortogonali tra di loro. Parallelismo tra piani e rette, lo spazio delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea non nulla in tre incognite, prodotto vettoriale in R3 e le sue proprieta': area di parallelogrammi, regola della mano destra/sinistra in riferimenti destrorsi/sinistrorsi. Dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane di un piano in R3 e viceversa, fascio di piani improprio. Lo spazio delle soluzioni di due equazioni lineari omogenee linearmente indipendenti in tre incognite ha dimensione uno, determinazione di un generatore tramite il prodotto vettoriale. Dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane di una retta in R3 e viceversa. Il determinante di una matrice 3x3 come prodotto misto dei vettori riga, volume dei parallelepipedi in R3. Fascio di piani proprio. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali.

Greco-Valabrega Vol I: II.4.1-II.4.3, II.7.1-7.3, III.6.1-6.3, III.8.2
Appunti 5, Esercizi di fine capitolo


QUARTA SETTIMANA (21-25 marzo 2022): Metodo degli scarti successivi. Metodo del completamento della base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Lemma di Steinitz e sue conseguenze. Proprieta' delle basi e dimensione di sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale finitamente generato. Piano per un punto con giacitura fissata, equazioni parametriche, piano per tre punti non allineati, piano contente una retta ed un punto che non le appartiene, Piano contenente due rette parallele distinte, Parallelismo tra piani e rette.

Greco-Valabrega Vol I: II.3, II.4
Apostol Sez. 2.6, 2.7, 2.9, 2.10, 2.12
Apostol esercizi sez. 2.8, sez. 2.11 1-5, sez. 2.14 1-3
Appunti 5, pag. 1-6: Esercizi di fine capitolo (da 5.A a 5.D)
Esercizi 4
Esercizi 5


TERZA SETTIMANA (14-18 marzo): Retta per due punti. Il caso di R2: equazioni cartesiane della retta: vettori normali alla giacitura, determinante di una matrice 2x2. Dalle equazioni cartesiane alle parametriche. Distanza di un punto da una retta. Spazi e sottospazi vettoriali, sottospazio generato da un numero finito di vettori. Insiemi di vettori linearmente indipendenti e insiemi di vettori linearmente dipendenti. Esempi ed esercizi. Un numero finito di vettori non nulli a due a due ortogonali sono indipendenti. Basi di uno spazio vettoriale finitamente generato.

Esercizi 2: 1-5 Appunti 3, pag. 1-6: Esercizi di fine capitolo (da 2.B a 2.J)
Appunti 4., pag. 1-6; Esercizi di fine capitolo
Greco-Valabrega Vol I: III.2, III.3, III.4, III.5, Prop. 6.1, esercizi di fine capitolo
Esercizi 3
Esercizi 4

SECONDA SETTIMANA (7-11 marzo): Norma di un vettore. Distanza tra due punti. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Ortogonalita' e identita' pitagorica. Angolo fra due vettori: determinazione dell'arccos. Proiezione di un vettore lungo una direzione e sua lunghezza, ortogonalizzazione di un vettore rispetto ad un'altro non parallelo. Aree di triangoli e di parallelogrammi: il caso di R2 e il determinante di una matrice 2x2. Il sottospazio vettoriale generato da un vettore non nullo di Rn. Retta per un punto parallela ad un vettore direttore, la sua giacitura, equazioni parametriche. Indipendenza dal punto base e dal vettore direttore scelto.

Appunti 1, pag. 1-5;
Appunti 2, pag. 1-10; Esercizi di fine capitolo
Greco-Valabrega Vol I: II.1-II.3, III.1, III.2 (escluso Thm. 2.4)

PRIMA SETTIMANA (28 febbraio- 4 marzo) La nozione di gruppo. Classici esempi di gruppi abeliani. I gruppi di permutazioni: scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, prodotto di cicli. La nozione di campo: il campo dei razionali, dei reali e dei numeri complessi, il campo finito di ordine 7. Lo spazio delle ennuple reali Rn. Vettori applicati nello spazio, vettori geometrici, direzione, verso e lunghezza, somma e differenza di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare: proprieta' e interpretazione geometrica, la regola del parallelogramma. Il prodotto scalare standard in Rn.



LINEE GUIDA PER GLI SCRITTI

L'esame consiste di un compito scritto e di una prova orale, alla quale si e' ammessi solo se il compito e' sufficiente (almeno 18/30).
Il compito scritto verte sul programma svolto a lezione durante le settimane di corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sopra.
Gli esercizi assegnati settimanalmente e gli esercizi svolti a lezione fanno parte integrante del programma.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi.
Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni brevi ma complete.
Presentarsi con un documento di riconoscimento.
Non e' consentito uscire durante gli scritti.
Non sono consentiti libri, appunti.
Non sono consentiti strumenti di tipo on/off (calcolatrici, cellulari, tablets, orologi spaziali . . .).