Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale, Elettronica e Internet
Secondo semestre, a.a. 2020-2021

Diario delle lezioni del corso di Geometria

(7-10 giugno): Le coniche euclidee, la forma canonica del polinomio di secondo grado che le definisce si ottiene (sintetizzando) diagonalizzando la parte quadratica ed eliminando quanti piu' termini lineari possibili (nel caso delle coniche o uno o entrambi), classificazione euclidea di tutte le coniche euclidee (senza ripetizioni).
Classificazione delle coniche euclidee:
Coniche: matrice completa della conica e determinazione del tipo di conica tramite gli invarianti. Ellissi, parabole e iperboli come luoghi geometrici del piano euclideo, fuochi, direttrici, eccentricita', simmetrie e parametrizzazioni. Coniche a centro e determinazione del centro. Accenni sulle quadriche. Appunti quadriche
Esercizi 14, 15: 1, 2, 3a,b,c,d,g, 4, 5

(31 maggio - 4 giugno): Gli operatori autoaggiunti/simmetrici sono tali se e solo se sono rappresentati rispetto ad una base ortonormale da una matrice simmetrica, il teorema spettrale per operatori simmetrici (dimostrazione per n=2 e n=3) e sua conseguenza: una matrice e' simmetrica se e solo se si diagonalizza tramite una matrice ortogonale: si usa che le matrici del cambiamento di base tra due basi ortonormali risultano essere proprio quelle ortogonali. Il prodotto hermitiano standard: norma e distanza indotta, ortogonalita' e basi ortonormali. Le isometrie che fissano l'origine sono lineari e conservano il prodotto hermitiano (senza dimostrazione). Sono isometrie lineari se e solo se rispetto ad una base ortonormale sono rappresentate da una matrice unitaria. Proprieta' delle matrici unitarie, loro caratterizzazione in termini delle righe/colonne, gli autovalori sono numeri complessi di modulo 1. Il teorema spettrale per operatori unitari. Gli operatori autoaggiunti/hermitiani sono tali se e solo se sono rappresentati rispetto ad una base ortonormale da una matrice hermitiana, il teorema spettrale per operatori hermitiani e matrici hermitiane: un operatore/matrice e' hermitiano/a se e solo i suoi autovalori sono reali e si diagonalizza su base ortonormale/tramite matrice unitaria. Si usa che le matrici del cambiamento di base tra due basi ortonormali risultano essere proprio quelle unitarie. La versione piu' generale del teorema spettrale vale anche per operatori anti-hermitiani, Il luogo degli zeri Z di una funzione f di Rn e il suo trasformato F(Z) tramite una biezione F:Rn -> Rn; l'insieme F(Z) e' il luogo degli zeri di f∘F-1. Greco-Valabrega Vol I: capitolo VIII.8.5
Appunti 8 p. 1-2, 9, 10

TREDICESIMA SETTIMANA (24-28 maggio): I coefficienti del polinimo caratteristico: la traccia e il determinante di T sono ben definite e coincidono, rispettivamente, con la somma e il prodotto di tutte le radici, a0= det(T) e an-1=(-1)n-1tr(T), ad esempio per n = 2 il polinomio coaratteristico e' dato da x^2 -tr(T)x+ det(T). Le isometrie di Rn formano un gruppo, le traslazioni sono isometrie, le isometrie che fissano l'origine sono lineari e definite, rispetto ad una base ortonormale, da matrici ortogonali. Il gruppo delle isometrie di uno spazio euclideo, le traslazioni, le isometrie che fissano l'origine sono lineari e rappresentate, rispetto ad una base ortonormale, da una matrice ortogonale, proprieta' delle matrici ortogonali, caratterizzazione in termini delle righe/colonne. I possibili valori reali (vedremo poi quelli complessi) degli eventuali autovalori di una matrice ortogonale (di un isometria lineare) sono +1 oppure -1. Le rotazioni attorno all'origine sono isometrie di R2 con det = 1, il ribaltamento rispetto all asse x e' un isometria con det = -1. Tutte le isometrie lineari in R^2 con det = 1 sono rotazioni, tutte le isometrie lineari a det = -1 di R^2 sono ribaltamenti rispetto ad una retta per l'origine. I sottospazi ortogonali agli autovettori, o piu' in generale a sottospazi vettoriali invarianti per l'isometria, sono anch'essi invarianti. Molto utile per scomporre in sottospazi invarianti rispetto all'isometria lo spazio euclideo (V,< , >). Le isometrie di R3 con det 1 (dirette o movimenti rigidi) sono rotazioni intorno ad un asse,le isometrie di R3 con det -1 (non dirette) sono rotazioni intorno ad un asse composte con una riflessione ortogonale rispetto al piano ortogonale a tale asse. Dunque esiste una particolare base rispetto alla quale si rappresentano con matrici appastanza semplici. Per trovarla si parte da un autovettore (che esiste perche' 3 e' dispari). Rispetto ad altre basi, inclusa quella canonica, non e' detto che le matrici rappresentative abbiano un aspetto accattivante. Le riflessioni ortogonali rispetto ad un sottospazio sono isometrie, cosi' come le permutazioni segnate delle coordinate (che non sono in generale diagonalizzabili). Le proiezioni su un sottospazio W finito dimensionale di V di dimensione non necessariamente finita: definizione e proprieta'. La proiezione di v e' il vettore di W "piu' vicino" a v.

Greco-Valabrega Vol I: capitolo VIII.1-VIII.5.7.
Appunti 7
Esercizi 13
Esercizi svolti 14
DODICESIMA SETTIMANA (17-21 maggio): Cambiando coordiante le matrici che rappresentano un operatore lineare variano per similitudine, due matrici qudrate sono simili se e solo se rappresentano uno stesso operatore lineare, matrici/operatori diagonalizzabili, autovalori, autovettori, autospazi ed esempi, polinomio caratteristico, il caso delle riflessioni e delle rotazioni. Autospazi distinti sono in somma diretta. Un operatore T:V -> V (una matrice quadrata) e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base di autovettori se e solo se la somma (diretta) degli autospazi coincide con V. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico e sono al piu' n=dim V. Se ci sono n radici distinte, allora T e' diagonalizzabile. Radici di polinomi a coefficienti in un campo: i casi di C, R e Q. Teorema fondamentale dell'algebra, lemma di divisione, fattori irriducibili in R e C, per K=R caso di n dispari. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore, Un operatore T:V ->V (una matrice quadrata) e' diagonalizzabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico sono nel campo K e le molteplicita' algebriche coincidono con quelle geometriche.

Greco-Valabrega Vol I: VI.6-VI.9
Esercizi 9-12
Esercizi svolti 11, 12, 13


PROVE SCRITTE DI ANNI PASSATI

I appello pdf. II appello pdf. III appello pdf. IV appello pdf. V appello pdf. VI appello pdf



UNDICESIMA SETTIMANA (10-14 maggio): Estensioni lineari di applicazioni lineari, la matrice che reppresenta un'applicazione lineare rispetto a due basi fis$ una nel dominio, l'altra nel condominio, esempi. Iniettivita' e suriettivita' di un'applicazione lineare T:V -> W in termini di una matrice M che le rappresenta: T e' iniettiva se e solo se il rango di M coincide con la dimensione di V, T e' suriettiva se e solo se il rango di M coincide con la dimensione di W. La proiezione su W lungo un sottospazio supplementare U, la proiezione ortogonale. La riflessione rispetto ad un sottospazio W lungo un uso supplementare U, la riflessione ortogonale. L' isomorfismo di spazi vettoriali tra Hom(V,W) e Mm,n(K). La matrice associata alla composizione di applicazioni lineari, Il caso degli isomorfismi lineari, endomorfismi di uno spazio vettoriale, l'inverso di un' isomorfismo T e' determinato dall'inversa della matrice che rappresenta T. La matrice del cambio di coordinate.

Greco-Valabrega Vol I: capitolo VII. Esercizi 12
Esercizi svolti 13


DECIMA SETTIMANA (3-7 maggio): Sistema lineare omogeneo per un sottospazio vettoriale: metodo del supplementare ortogonale, metodo dei minori orlati (piu' elegante).Base del supplementare ortogonale ortogonalizzando il completamento della base di W. Applicazioni lineari: definizione ed esempi, prime proprieta', il nucleo e l'immagine, L lineare trasforma vettori l.d. in vettori l.d. E' iniettiva se e solo se il nucleo e' banale, E' iniettiva se e solo se trasforma insiemi di vettori l.i. in vettori l.i. Caso dell'applicazione lineare tra spazi di vettori numerici definita da una matrice A, teorema della dimensione, isomorfismi L:V->W e condizioni equivalenti nel caso di V e W dimensione finita uguale. La restrizione di un'applicazione lineare ad un sottospazio vettoriale definisce un'applicazione lineare, esistenza ed unicita' di un'applicazione lineare di cui si sono scelte arbitrarie immagini degli elementi di una fissata base del dominio.

Greco-Valabrega Vol I: VI.1-VI.5 (occhio alla differente notazione della matrice che rappresenta un'applicazione lineare rispetto a basi fissate)
Appunti 6
Esercizi 7, 8
Esercizi svolti 9, 10
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NONA SETTIMANA (26-30 aprile 2021): Applicazione alla risoluzione di sistemi lineari quadrati di rango massimo (regola di Cramer). Risoluzione di sistemi lineari arbitrari compatibili con il metodo dell'inversa. Calcolo del rango in termini dei minori non nulli (dimostrato). Il principio dei minori orlati (senza dimostrazione). Teorema di Binet (senza dimostrazione), determinante dell'inversa di una matrice quadrata invertibile. Spazi vettoriali euclidei. Prodotto scalare, norma, diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, angoli, ortogonalita', basi ortogonali e basi ortonormali, formula per le coordinate di un vettore rispetto ad una base ortogonale, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Dimensione ed equazioni omogenee del sottospazio ortogonale ad uno spazio vettoriale W, determinazione di una sua base ortogonale tramite il procedimento di Gram-Schmidt. Determinazione di equazioni omogenee che definiscono un sottospazio vettoriale assegnato: W coincide con lo spazio ortogonale allo spazio ortogonale a W e fissando una base dello spazio ortogonale a W si ricavano n-k equazioni omogenee che definiscono W.

Greco-Valabrega Vol I: VIII 1, VIII 2
Appunti 1, appunti 6
Esercizi 6


OTTAVA SETTIMANA (19-23 aprile 2021): Discussione delle posizioni reciproca retta/piano retta/retta in R3 studiando il sistema delle corrispondenti equazioni cartesiane. Conseguenze delle formula di Grassmann sull'intersezione di sottospazi affini incidenti. Regole di calcolo per trasposte e inverse di matrici e prodotti di matrici quadrate. Determinazione e unicita' dell'inversa di una matrice quadrata invertibile: il metodo di Gauss. Il determinante e le sue proprieta' caratterizzanti, |A| e' non nullo se e solo se il rango di A e' massimo, determinanti di matrici triangolari, il gruppo simmetrico Sn: permutazioni, il segno di una permutazione. Sviluppo di Laplace per righe e per colonne. Regola di Sarrus per matrici 3x3. Il prodotto misto visto come determinante. Applicazione al calcolo dell'inversa di una matrice.

Greco-Valabrega Vol I: V.5, V.6, V.8
Appunti 6
Esercizi svolti 11


SETTIMA SETTIMANA (12-16 aprile): Matrici a scala e fortemente ridotte. Basi di sottospazi vettoriali tramite il metodo di riduzione di Gauss: il caso di W sottospazio di Rn e il caso di W sottospazio di V spazio vettoriale finito dimensionale astratto. Prodotto tra matrici: prime proprieta'. Prodotto tra matrici, proprieta' ed esempi, il caso delle matrici quadrate. Sistemi di equazioni lineari, in notazione compatta AX = B, teorema di Rouche'-Capelli, risoluzione di sistemi ridotti e metodo di riduzione di Gauss. Sistemi lineari omogenei: l'insieme delle soluzioni e' un sottospazio vettoriale. Sistemi lineari compatibili AX=B: soluzioni = soluzione particolare + soluzioni di AX=O. Sistemi lineari omogenei: determinazione di una base dello spazio delle soluzioni. Discussione delle posizioni reciproche di due piani studiando il sistema delle equazioni cartesiane.

Greco-Valabrega Vol I: V.1-V.3, V.3.5, V.4.5
Appunti 6
Esercizi 5bis
Esercizi svolti Esercizi svolti 1, 7, 8 e 11, Greco-Valabrega Vol I: V.9


SESTA SETTIMANA (6-9 aprile): Distanza tra due rette sghembe. Circonferenze di R2 e rette a loro tangenti. Sfere di R3 e piani a loro tangenti. Le circonferenze di R3 come intersezione di una sfera con un piano: calcolo del raggio. Lo spazio vettoriale delle matrici, la trasposta di una matrice, matrici quadrate; diagonali, triangolari superiori, triangolari inferiori, simmetriche e anti-simmetriche. Il rango per righe e' uguale a quello per colonne (per ora senza dimostrazione) rango delle matrici ridotte, trasformazioni elementari. Metodo di riduzione di Gauss. Matrici ridotte, a scala.

Appunti 6
Greco-Valabrega Vol I: II.1.4, II.1.5, II.5, II.6, IV.1-IV.3, V.1-V.3, V.3.5, V.4.5, V.9 esercizi di fine capitolo IV.5.1-IV.5.2
Esercizi svolti 7

QUINTA SETTIMANA (dal 29 marzo al 2 aprile): Dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane di un piano in R3 e viceversa, fascio di piani improprio. Lo spazio delle soluzioni di due equazioni lineari omogenee linearmente indipendenti in tre incognite ha dimensione uno, determinazione di un generatore tramite il prodotto vettoriale. Dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane di una retta in R3 e viceversa. Il determinante di una matrice 3x3 come prodotto misto dei vettori riga, volume dei parallelepipedi in R3. Fascio di piani proprio. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Somma diretta di sottospazi vettoriali e loro dimensione, l'ortogonale W ad un sottospazio vettoriale U e' un supplementare di U, caso di U sottospazio vettoriale di R3: U e' l'ortogonale al suo ortogonale W. Vale l'analogo risultato in dimensione maggiore. Formula di Grassmann vettoriale: conseguenze ed esempi, somma diretta: nel caso di due sottospazi vettoriali equivale ad essere l'intersezione banale. Distanza di un piano da: un punto, una retta a lui parallela, un piano a lui parallelo: formula in termini delle coordinate del punto e dell'equazione del piano. Distanza di una retta da: un punto, una retta a lei parallela.

Greco-Valabrega Vol I: II.4.1-II.4.3, II.7.1-7.3, III.6.1-6.3, III.8.2
Appunti 5, Esercizi di fine capitolo
Esercizi svolti 6


QUARTA SETTIMANA (22-26 marzo 2021): Metodo degli scarti successivi. Metodo del completamento della base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Lemma di Steinitz e sue conseguenze. Proprieta' delle basi e dimensione di sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale finitamente generato. Piano per un punto con giacitura fissata, equazioni parametriche, piano per tre punti non allineati, piano contente una retta ed un punto che non le appartiene, Piano contenente due rette parallele distinte, piani e rette ortogonali tra di loro. Parallelismo tra piani e rette, lo spazio delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea non nulla in tre incognite, prodotto vettoriale in R3 e le sue proprieta': area di parallelogrammi, regola della mano destra/sinistra in riferimenti destrorsi/sinistrorsi.

Greco-Valabrega Vol I: II.3, II.4
Apostol Sez. 2.6, 2.7, 2.9, 2.10, 2.12
Apostol esercizi sez. 2.8, sez. 2.11 1-5, sez. 2.14 1-3
Appunti 5, pag. 1-6: Esercizi di fine capitolo (da 5.A a 5.D)
Esercizi 4
Esercizi 5


TERZA SETTIMANA (15-19 marzo): Il caso di R2: equazioni cartesiane della retta: vettori normali alla giacitura, determinante di una matrice 2x2. Dalle equazioni cartesiane alle parametriche. Distanza di un punto da una retta. Spazi e sottospazi vettoriali, sottospazio generato da un numero finito di vettori. Insiemi di vettori linearmente indipendenti e insiemi di vettori linearmente dipendenti. Esempi ed esercizi. Un numero finito di vettori non nulli a due a due ortogonali sono indipendenti. Basi di uno spazio vettoriale finitamente generato,

Appunti 3, pag. 1-6: Esercizi di fine capitolo (da 2.B a 2.J)
Appunti 4., pag. 1-6; Esercizi di fine capitolo
Greco-Valabrega Vol I: III.2, III.3, III.4, III.5, Prop. 6.1, esercizi di fine capitolo
Esercizi 3
Esercizi 4

SECONDA SETTIMANA (8-12 marzo): Norma di un vettore. Distanza tra due punti. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Ortogonalita' e identita' pitagorica. Angolo fra due vettori: determinazione dell'arccos. Proiezione di un vettore lungo una direzione e sua lunghezza, ortogonalizzazione di un vettore rispetto ad un'altro non parallelo. Aree di triangoli e di parallelogrammi: il caso di R2 e il determinante di una matrice 2x2. Il sottospazio vettoriale generato da un vettore non nullo di Rn. Retta per un punto parallela ad un vettore direttore, la sua giacitura, retta per due punti. Equazioni parametriche. Indipendenza dal punto base e dal vettore direttore scelto. Il caso di R2: equazioni cartesiane della giacitura.

Appunti 1, pag. 1-5;
Appunti 2, pag. 1-10; Esercizi di fine capitolo
Greco-Valabrega Vol I: II.1-II.3, III.1, III.2 (escluso Thm. 2.4)
Esercizi 2: 1-5

PRIMA SETTIMANA (dal 1 al 5 marzo) La nozione di gruppo. Classici esempio di gruppi abeliani. I gruppi di permutazioni: scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, prodotto di cicli. La nozione di campo: il campo dei razionali, dei reali e dei numeri complessi, il campo finito di ordine 7. Lo spazio delle ennuple reali Rn. Vettori applicati nello spazio, vettori geometrici, direzione, verso e lunghezza, somma e differenza di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare: proprieta' e interpretazione geometrica, la regola del parallelogramma. Il prodotto scalare standard in Rn.

Esercitazioni.

- Esempi di insieme/gruppi: insieme delle parti, prodotto cartesiano, R^2 come gruppo abeliano, il gruppo dei polinomi a una variabile a coefficienti reali
- Richiami sulle funzioni e esempi di funzioni iniettive/suriettive e non: qualche funzione analitica e primi esempi di funzioni da R^2 a R^2
- Funzioni inverse e biunivoche
- Richiami su S_3 e S_4: in particolare cicli e prodotto di cicli disgiunti



LINEE GUIDA PER GLI SCRITTI

L'esame consiste di un compito scritto e di una prova orale, alla quale si e' ammessi solo se il compito e' sufficiente (almeno 18/30).
Il compito scritto verte sul programma svolto a lezione durante le settimane di corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sopra.
Gli esercizi assegnati settimanalmente e gli esercizi svolti a lezione fanno parte integrante del programma.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi.
Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni brevi ma complete.
Presentarsi con un documento di riconoscimento.
Non e' consentito uscire durante gli scritti.
Non sono consentiti libri, appunti.
Non sono consentiti strumenti di tipo on/off (calcolatrici, cellulari, tablets, orologi spaziali . . .).