Fondamenti di Matematica a.a. 2018-19
(LM 85 bis - Facolta' di Scienze della formazione - LUMSA)

Obiettivi formativi: Conoscenza e capacita' di comprensione: La teoria assiomatica e l'attenzione rivolta alle definizioni costringe ad una riflessione e una piena padronanza del linguaggio, e a un attento ascolto.
Capacita' di applicare conoscenza e comprensione Lo studente sapra' utilizzare alcuni aspetti della matematica per modellizzare, affrontare e risolvere varie situazioni problematiche.
Autonomia di giudizio: lo studente sara' in grado di analizzare criticamente una dimostrazione; di capire e valutare le difficolta' del processo insegnamento/apprendimento in base all'argomento trattato e alla situazione dei discenti.
Abilita' comunicative: lo studente sara' in grado di elaborare o applicare idee, e di sostenerle con chiarezza e rigore; sollecitare, stimolare, favorire e guidare all'interesse per il pensiero matematico. Lo studio di alcuni elementi fondanti dell'aritmetica e della geometria permette e induce una riflessione sulla matematica e il suo ruolo educativo, nonche' sulle modalita' di insegnamento. Contenuti del corso Elementi di logica. Introduzione alla geometria piana, attraverso il libro I degli Elementi di Euclide e risultati correlati. Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N, Z, Q, R. Algebra geometrica e proprieta' delle operazioni. Numeri primi. Elementi di probabilita' e statistica.
Prerequisiti: competenze matematiche acquisite nella formazione scolastica primaria e secondaria.
Testi di riferimento: L.Russo, G.Pirro, E.Salciccia, Euclide: il I libro degli Elementi, Carocci Editore, collana Frecce (vedi anche il sito sito su Euclide). Per una traduzione italiana commentata, e' possibile consultare anche 'Gli elementi' di Euclide, curato da Frajese A., Maccioni M. Editore: UTET Collana: Classici della scienza (1996).
Dispense messe a disposizione su questo sito
Descrizione della verifica di profitto Prova scritta propedeutica e prova orale. Nella prova scritta, si verificheranno, in particolare, le competenze preliminari sulle operazioni e le espressioni con frazioni e numeri decimali. Le due prove saranno convocate nello stesso giorno. Per ogni argomento e quesito trattato, viene richiesto un utilizzo consapevole e corretto del linguaggio tecnico correlato, la comprensione delle motivazioni e l'individuazione sintetica degli aspetti principali, la capacita' esporre con chiarezza e di argomentare anche tramite dimostrazioni.
Puo' accedere alla prova orale solo chi ha superato la prova scitta, cioe' ha riportato in essa una valutazione maggiore o uguale a 15. La prova orale va superata all'interno della stessa sessione di esami in cui e' stata superata la prova scritta. Chi non ha superato la prova scritta, o non ha superato la prova orale nei tempi prescritti, ripete la prova scritta.
Nella prova orale, il candidato espone un argomento a scelta di logica matematica, uno di geometria, uno di aritmetica e uno di statistica e probabilita', selezionati seguendo le indicazioni generali fornite dal docente.
E' necessaria la registrazione per poter sostenere l'esame. Qualora il candidato sostenga la prova orale in un appello differente dalla prova scritta, e' tenuto ad iscriversi nuovamente all'esame. In base al numero di candidati iscritti, e' possibile che l'esame si prolunghi su piu' giorni.

Esito della prova parziale svolta nella Sessione Valutazione Autovalutazione Approfondimento [file].
Orario di ricevimento mentre si svolgono le lezioni: giovedi, ore 16:00-18:00, sala docenti in Piazza delle Vaschette
Nel periodo in cui non sono previste lezioni, il ricevimento e' su appuntamento.
Orario di lezione L'insegnamento e' annuale. Nel primo e nel secondo semestre, le lezioni si svolgono il lunedi (15:00-17:00, Aula 1)) e il giovedi (14:00-16:00, Aula 1, Vaschette). LE LEZIONI TERMINANO LUNEDI 13 MAGGIO 2019.
Nel mese di febbraio si svolgera' unicamente la lezione del 18 febbraio. Nel mese di marzo NON si svolgeranno le lezioni del 14 marzo, 25 marzo. NON si svolge la lezione del 2 maggio.

Dettaglio sul programma svolto
(aggiornato con il proseguire delle lezioni) Alcuni argomenti sono noti agli studenti dai precedenti cicli di studio e non viene per essi fornito materiale specifico per il ripasso.

Introduzione alla logica matematica: dispense di logica matematicaElementi di logica delle proposizioni: proposizioni semplici e composte, tavole della verita'. Connettivi logici e negazione.
Quantificatori. Proposizioni universali o particolari, affermative o negative. Rappresentazione insiemistica.
Sillogismi categorici e loro classificazione per modo e figura. Sillogismi condizionali.
Introduzione alle tecniche di dimostrazione dispense Sistemi assiomatici. Divisori e multipli di numeri naturali o interi. Esempi di dimostrazioni dirette. Dimostrazioni indirette per contrapposizione e per assurdo.
Insiemi numerici dispense Insieme numerici. Numeri naturali, interi, razionali e reali. Rapporto tra lato e diagonale di un quadrato. Irrazionalita' di radice di 2. Rappresentazione grafica delle frazioni; archi di una circonferenza e angolo al centro. Operazioni tra numeri razionali.
Scrittura posizionale decimale. Rappresentazione di un numero in forma polinomiale in base 10. Operazioni tra interi e algoritmi di calcolo. Estensione degli algoritmi di calcolo a numeri decimali con numero finito di cifre decimali. Rappresentazione decimale e suo significato. Esempio geometrico di quantita' finita che e' somma di infiniti addendi. Procedure per il calcolo della forma decimale di un numero razionale. Un numero e' razionale se e solo la forma decimale e' limitata e periodica. Numeri decimali periodici. [cf. Note della Prof.ssa Anna Gilio vedi]
Scrittura dei numeri naturali in base a [file]. Metodo di Euclide per il calcolo del MCD. Relazione di Euclide-Bezout. [file].
Numeri primi e teorema fondamentale dell'aritmetica [file]
Principio di induzione [file].
Materiali didattici e attivita' di laboratorio Utilizzo di materiali didattici. Dimostrazione del Teorema di Pitagora nel caso di un triangolo rettangolo isoscele. Duplicazione di un quadrato.
Introduzione, attraverso il disegno, alle figure geometriche piane e alla terminologia correlata. Rappresentazione della moltiplicazione tramite un rettangolo. Altezza di una figura geometrica piana, rispetto a un lato. Formula dell'area del rettangolo e del parallelogramma, in funzione di base e altezza.

Elementi di geometria piana dal primo libro degli elementi di Euclide: [il testo di riferimento viene affiancato ma non sostituito, in alcune parti, da brevi note] il sistema assiomatico della geometria piana Concetti primitivi, definizioni, 5 assiomi o postulati e proposizioni (o teoremi), nozioni comuni e nozioni di logica. [file ] Punto, linea, linea retta, angolo, angolo retto, circonferenza, triangolo, triangolo equilatero. Le proposizioni 4 e 8 vengono considerati assiomi.
Proposizioni di cui e' richiesta la conoscenza dell'enunciato (ma non e' stata illustrata la dimostrazione euclidea): 4, 8, 13, 18, 23, 30, 31, 33, 36, 38, 39, 40, 41, 44, 45
Proposizioni di cui sono richiesti enunciato e dimostrazione: 1, 2,3,5,6 file, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 27, 28, 29, 32, 34, 35, 37, 42, 43, 47, 48.
Formule di area e perimetro di triangoli, parallelogrammi, trapezi.
Esercizi sui prerequisiti [file ]
Esercizi di ripasso [file 1, file 2 ].
Ogni rettangolo e' equivalente a un quadrato; comunque assegnata la lunghezza (positiva) dei due cateti, e' possibile costruire un triangolo rettangolo con tali cateti.
Teorema dell'angolo al centro e alla circonferenza [link]. Costruzione dei triangoli rettangoli aventi per ipotenusa il diametro di una circonferenza.
Teorema di Talete e sue applicazioni al disegno di moltiplicazione e divisione [file].
Il cerchio; formula di perimetro e area delle circonferenza in funzione del raggio.
Elementi di probabilita' discreta. Elementi di statistica descrittiva. Definizione di probabilita' discreta e applicazioni. Moda, media, mediana. Rappresentazione tramite istogrammi e areogrammi. [nota]
Esercizi di ripasso [file]