E utile iscriversi via Delphi al corso (Iscrizioni aperte dal 16/09/2025) e al TEAMS del corso: 2025/26 Analisi Matematica II (Tanimoto)

(prerequisiti: Analisi Matematica 1)

(il corso tenuto dal Prof. V. Morinelli nell'anno 2023-24, 2024-25,.

Testi Consultabili:

• TEORIA: M. Bertsch, A. Dall’Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 2, McGraw-Hill 2024
• (Textbook in english: C.Canuto, A.Tabacco, Mathematical Analysis II (and I), Springer, 2010.)

(Testi per gli esercizi):

• P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di analisi matematica 2 (parte 1 e 2), Zanichelli 2022.
• S. Salsa, A. Squellati. Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli 2011.
• Giusti.Esercizi e complementi di analisi matematica (volume 2), Bollati-Boringhieri 1992.
• B.P. Demidovic, Esercizi e problemi di analisi matematica, Editori Riuniti 2010.

(Bibliografia di riferimento):

• M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli. Analisi Matematica, McGraw-Hill 2007.
• M. Bramanti C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 2, Zanichelli 2009.
• E. Giusti. Analisi Matematica Vol. 2, Bollati-Boringhieri 2003.

Programma di massima:

• SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI (serie numeriche, serie di potenze)
• FUNZIONI DI PIU' VARIABILI REALI (continuità, derivate parziali, differenziabilità, massimi e minimi locali e globali, funzioni definite implicitamente massimi e minimi vincolati)
• INTEGRALI MULTIPLI (formule di riduzione, cambiamento di coordinate: polari, ellittiche, cilindriche, sferiche, integrali impropri)
• CURVE E INTEGRALI CURVILINEI (curve parametriche, integrali curvilinei di campi vettoriali o forme differenziali, formule di Gauss-Green)
• SUPERFICI E INTEGRALI SUPERFICIALI (superfici parametriche, integrali superficiali di campi vettoriali o forme differenziali, formule di Stokes e Gauss)

Regolamento esami:

• L'esame finale (appello) prevede una prova scritta in cui vengono proposti esercizi sugli argomenti più significativi del programma ed elementi di teoria. Con una votazione sufficiente (di 18/30) lo studente accede alla prova scritta di teoria in cui verranno richieste, oltre ad alcune spiegazioni dello svolgimento della prova scritta, Definizioni, enunciati e dimostrazioni (o idee di dimostrazione) di Teoremi, Esempi/controesempi, esercizi teorici sul programma svolto nel corso. Alcuni punti importanti per la prova orale sono indicati in questo file.
• Quest'ultima può influenzare positivamente o negativamente il voto dello scritto. Per passare l’esame occorre ottenere una votazione finale maggiore o uguale a 18/30 (sufficienza). Se ci si ritira o non si è presenti, occorre rifare lo scritto.
• La prova orale è facoltativa per i voti compresi fra 18 (incluso) e 23 (incluso), tuttavia, in alcuni casi, lo studente può essere convocato a sostenere la prova orale.
• Per i voti maggiori o uguali a 24 la prova orale è obbligatoria.
• La prova orale va svolta nello stesso appello dello scritto.
• Pena l'esclusione, durante lo scritto non è consentito l'uso di telefoni cellulari, di dispositivi elettronici in grado di connettersi ad Internet, di calcolatrici elettroniche programmabili, di libri di testo e di appunti.
• Per partecipare agli appelli è obbligatorio iscriversi tramite la piattaforma Delphi. Fare attenzione ai periodi in cui è possibile prenotarsi.
• Inoltre, per poter partecipare agli appelli, il giorno della prova gli studenti devono obbligatoriamente essere muniti di un documento d'identità in corso di validità (carta d'identità o patente o passaporto) da presentare per l'identificazione.

• 09/22 Presentazione del corso. Serie numeriche: definizione, carattere di una serie. Serie geometriche, serie di Mengoli e serie telescopiche. La somma di serie, multiplo di serie (con dimostrazioni).
• 09/23 Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, criterio del rapporto, criterio della radice (con dimostrazioni). Esempi.
• 09/25 Criterio integrale, le serie armoniche armoniche. La somma parziale delle serie geometriche. Esercizi sulle serie a termini non negativi.
• 09/29 Serie a termini generali, convergenza assoluta, convergenza assoluta implica convergenza. Serie a termini di segno alterno, il criterio di Leibniz, esempi.
• 09/30 Serie delle potenze, esempi, il raggio di converenza. Successioni di funzioni, convergenza puntuale, convergenza uniforme, esempi.
• 10/02 Convergenza uniforme di una successione di funzioni continue e la continuità del limite, scambio del limite e integrale. Serie di funzioni. Esercizi su serie.
• 10/06 Convergenza uniforme di serie di potenze, scambio di integrale e somma, scambio di derivata e somma. Serie di Taylor, esempi.
• 10/07 Introduzione a funzioni di più variabili, esempi, grafici (palaboloidi). Gli insiemi di livello. Notazioni per Rⁿ, prodotto scalare, norma. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, la disuguaglianza triangolare.
• 10/09 Intorni aperti e insiemi aperti in Rⁿ, esempi. Convergenza di succesioni in Rⁿ, convergenza per componenti.
Insiemi chiusi, caratterizzazione degli insiemi aperti, esempi. Punti di accumulazione, limiti di funzioni in Rⁿ, continuità, esempi.
• 10/13 Limiti di somma, prodotto e quoziente. Carattelizzazione di continuità con ε e δ. Continuità di funzione composta di funzioni continue. Esempi e esercizi su continuità.
• 10/14 Insiemi compatti, insiemi limitati, (non)esempi. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. I punti di massimo e minimo globale, il teorema di Weierstrass. Curve, insiemi connessi, connesione dell'immagine di un insieme connesso da una funzione continua, esempi di curve e funzioni composte.
• 10/16 Il teorema degli zeri, l'immagine di un insieme connesso rispetto ad una funzione continua è un intervallo (o un punto), il preimmagine di un insieme rispetto ad una funzione è aperto. Esercizi su insiemi aperti, chiusi, limitati e connessi, curve e funzioni composte.
• 10/20 Derivata direzionale, derivata parziale, esempi. Funzioni da R^m in Rⁿ, campi vettoriali. Gradiente, regole di derivate parziali e gradiente, esempi.
• 10/21 Derivabilità e differenziabilità di funzioni su Rⁿ, esempio di funzioni derivabile ma non continua, differenziabilità implica continuità e un'approssimazione lineare, il piano tangente, il gradiente va nella direzione di massima crescita, esempi, differenziabilità di somma, prodotto, moltiplicazione con uno scalare e composizione.
• 10/23 Continuità di tutte le derivate parziali implica differenziabilità. Regola di catena nel caso della composizione di una funzione da Rⁿ in R e una da R in R. Regola di catena nel caso della composizione di una funzione da R in Rⁿ e una daRⁿ in R. Esempi.
• 10/27 Punti critici, esempi. Punti di massimo e minimo locali (relativi), il teorema di Fermat, i punti di massimo e minimo che non sono punti critici, esempi.
• 10/28 Derivate del secondo ordine, esempi. Il teorema di Schwarz, controesempio per il teorema di Schwarz. La matrice Hessiana, esempi.
• 10/31 Il teorema di Lagrange, lo sviluppo di Taylor del secondo ordine, richiamo di matrici e trasformazioni lineari, esercizi di derivate parziali e sviluppo di Taylor.
• 11/03 Richiamo di algebra lineare: matrici simmetriche, forme quadratiche, autovalori e autovettori. Matrici definite positive, definite negative, indefinite, esempi. Caratterizzazione con gli autovalori, il caso particolare di dimensione 2, esempi.
• 11/04 Classificazione dei punti critici in punti di massimo e minimo locale e punti di sella usando la matrice Hessiana, esempi e esercizi.
• 11/06 Insiemi convessi. Funzioni convesse e concave, le loro caratterizzazioni con la matrice Hessiama, esempi e esercizi di convessità (e concavità).
• 11/10 Funzioni implicite, il teorema di Dini in R². L'ortogonalità del gradiente e la retta tangente dell'insieme di livello. Esempi.
• 11/11 Punti di massimo e minimo di una funzione vincolati in R², il moltiplicatore di Lagrange per trovare candidati per punti di massimo e minimo, esempi. Osservazioni sul caso non C¹ e irregolare, dominio che è l'unione della parte interna e una curva, determinazione dei punti di minimo e massimo.
• 11/13 Il teorema di Dini in R³ (solo l'enunciato), il moltiplicatore di Lagrange per un solo vincolo in R³ (solo l'enunciato), esempi.
• 11/17 Il teorema di Dini in R³ con due vincoli (solo l'enunciato), il moltiplicatore di Lagrange per due vincoli in R³ (solo l'enunciato), esempi.
• 11/18 Lunghezza di una curva e la sua espressione integrale, curve equivalenti, l'independenza della lunghezza rispetto alla parametrizzazione, esempi. Integrali curvilinei di funzioni, e la sua indipendenza della parametrizzazione, esempi.
• 11/20 Richiamo di campi vettoriali, integrali di linea, l'independenza del'integrale di linea rispetto alla parametrizzazione, esempi.
• 11/24 Esistenza di curva di classe C¹ in un insieme aperto e connesso (solo enunciato), campi vettoriali conservativi, il teorema fondamentale del calcolo per campi vettoriali, una caratterizzazione di campi vettoriali conservativi, esempi e un esempio di campo vettoriale non conservativo.
• 11/24 Il rotore di un campo vettoriale, campi vettoriali irrotazionali, esempi. Campi vettoriali conservativi sono irrotazionali, una condizione sufficiente per campo vettoriale per essere conservativo in una regione convessa (con dimostrazione) e una regione semplicemente connessa (solo enunciato), esempi.
• 11/26 Il teorema di Heine-Cantor, continuità e derivabilità sotto integrale, esempi. Funzioni a valore vettoriale, la matrice Jacobiana, esempi, in particolare le coordinate polari.
• 12/01 Partizioni di rettangoli, somme superiore e inferiore, integrabilità di una funzione. Funzioni continue su rettangoli chiusi sono integrabili, formula di riduzione all'integrale consecutivo, esempi.
• 12/02 Integrabilità di una funzione su domini generali, misurabilità di un dominio. Domini normali rispetto all'asse x o y, integrabilità di una funzione continua su domini normali, esempi.
• 12/04 Teorema di Green, esercizi di integrali multipli, baricentro, esempi.
• 12/05 Cambiamento di variabile per integrali multipli, le coordinate polari, trasformazioni lineari, l'integrale della Gaussiana, esempi.
• 12/09 Integrali multipli in R³, integrabilità di funzioni continue (senza dimostrazione), formula di riduzione (senza dimostrazione), cambiamento di variabili (senza dimostrazione). Coordinate cilindriche, coordinate sferiche, esempi.
• 12/11 Esercizi su integrali multipli, scelta di coordinate, coordinate sferiche. Osservazioni sul teorema di Green e integrali impropri in dimensione alta.
• 12/15 Superficie parametrica, parametrizzazione cartesiana, esempi. Piano tangente, versori normali su una superficie, esempi.
• 12/16 Integrale di superficie, area di una superficie, esempi. Punti interni e il bordo di una superficie, esempi. Orientabilità di una superficie, esempi. Una superficie regolare a tratti, esempi.