E utile iscriversi via Delphi al corso (Iscrizioni aperte dal 16/09/2025) e al TEAMS del corso: 2025/26 Analisi Matematica II (Tanimoto)

(prerequisiti: Analisi Matematica 1)

(il corso tenuto dal Prof. V. Morinelli nell'anno 2023-24, 2024-25,.

Testi Consultabili:

• TEORIA: M. Bertsch, A. Dall’Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 2, McGraw-Hill 2024
• (Textbook in english: C.Canuto, A.Tabacco, Mathematical Analysis II (and I), Springer, 2010.)

(Testi per gli esercizi):

• P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di analisi matematica 2 (parte 1 e 2), Zanichelli 2022.
• S. Salsa, A. Squellati. Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli 2011.
• Giusti.Esercizi e complementi di analisi matematica (volume 2), Bollati-Boringhieri 1992.
• B.P. Demidovic, Esercizi e problemi di analisi matematica, Editori Riuniti 2010.

(Bibliografia di riferimento):

• M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli. Analisi Matematica, McGraw-Hill 2007.
• M. Bramanti C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 2, Zanichelli 2009.
• E. Giusti. Analisi Matematica Vol. 2, Bollati-Boringhieri 2003.

Programma di massima:

• SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI (serie numeriche, serie di potenze)
• FUNZIONI DI PIU' VARIABILI REALI (continuità, derivate parziali, differenziabilità, massimi e minimi locali e globali, funzioni definite implicitamente massimi e minimi vincolati)
• INTEGRALI MULTIPLI (formule di riduzione, cambiamento di coordinate: polari, ellittiche, cilindriche, sferiche, integrali impropri)
• CURVE E INTEGRALI CURVILINEI (curve parametriche, integrali curvilinei di campi vettoriali o forme differenziali, formule di Gauss-Green)
• SUPERFICI E INTEGRALI SUPERFICIALI (superfici parametriche, integrali superficiali di campi vettoriali o forme differenziali, formule di Stokes e Gauss)

• 09/22 Presentazione del corso. Serie numeriche: definizione, carattere di una serie. Serie geometriche, serie di Mengoli e serie telescopiche. La somma di serie, multiplo di serie (con dimostrazioni).
• 09/23 Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, criterio del rapporto, criterio della radice (con dimostrazioni). Esempi.
• 09/25 Criterio integrale, le serie armoniche armoniche. La somma parziale delle serie geometriche. Esercizi sulle serie a termini non negativi.
• 09/29 Serie a termini generali, convergenza assoluta, convergenza assoluta implica convergenza. Serie a termini di segno alterno, il criterio di Leibniz, esempi.
• 09/30 Serie delle potenze, esempi, il raggio di converenza. Successioni di funzioni, convergenza puntuale, convergenza uniforme, esempi.
• 10/02 Convergenza uniforme di una successione di funzioni continue e la continuità del limite, scambio del limite e integrale. Serie di funzioni. Esercizi su serie.
• 10/06 Convergenza uniforme di serie di potenze, scambio di integrale e somma, scambio di derivata e somma. Serie di Taylor, esempi.
• 10/07 Introduzione a funzioni di più variabili, esempi, grafici (palaboloidi). Gli insiemi di livello. Notazioni per Rⁿ, prodotto scalare, norma. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, la disuguaglianza triangolare.
• 10/09 Intorni aperti e insiemi aperti in Rⁿ, esempi. Convergenza di succesioni in Rⁿ, convergenza per componenti.
Insiemi chiusi, caratterizzazione degli insiemi aperti, esempi. Punti di accumulazione, limiti di funzioni in Rⁿ, continuità, esempi.
• 10/13 Limiti di somma, prodotto e quotiente. Carattelizzazione di continuità con ε e δ. Continuità di funzione composta di funzioni continue. Esempi e esercizi su continuità.
• 10/14 Insiemi compatti, insiemi limitati, (non)esempi. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. I punti di massimo e minimo globale, il teorema di Weierstrass. Curve, insiemi connessi, connesione dell'immagine di un insieme connesso da una funzione continua, esempi di curve e funzioni composte.
• 10/16 Il teorema degli zeri, l'immagine di un insieme connesso rispetto ad una funzione continua è un intervallo (o un punto), il preimmagine di un insieme rispetto ad una funzione è e aperto. Esercizi su insiemi aperti, chiusi, limitati e connessi, curve e funzioni composte.
• 10/20 Derivata direzionale, derivata parziale, esempi. Funzioni da R^m in Rⁿ, campi vettoriali. Gradiente, regole di derivate parziali e gradiente, esempi.
• 10/21 Derivabilità e differenziabilità di funzioni su Rⁿ, esempio di funzioni derivabile ma non continua, differenziabilità implica continuità e un'approssimazione lineare, il piano tangente, il gradiente va nella direzione di massima crescita, esempi, differenziabilità di somma, prodotto, moltiplicazione con uno scalare e composizione.
• 10/23 Continuità di tutte le derivate parziali implica differenziabilità. Regola di catena nel caso della composizione di una funzione da Rⁿ in R e una da R in R. Regola di catena nel caso della composizione di una funzione da R in Rⁿ e una daRⁿ in R. Esempi.
• 10/27 Punti critici, esempi. Punti di massimo e minimo locali (relativi), il teorema di Fermat, i punti di massimo e minimo che non sono punti critici, esempi.
• 10/28 Derivate del secondo ordine, esempi. Il teorema di Schwarz, controesempio per il teorema di Schwarz. La matrice Hessiana, esempi.
• 10/31 Il teorema di Lagrange, lo sviluppo di Taylor del secondo ordine, richiamo di matrici e trasformazioni lineari, esercizi di derivate parziali e sviluppo di Taylor.
• 11/03 Richiamo di algebra lineare: matrici simmetriche, forme quadratiche, autovalori e autovettori. Matrici definite positive, definite negative, indefinite, esempi. Caratterizzazione con gli autovalori, il caso particolare di dimensione 2, esempi.
• 11/04 Classificazione dei punti critici in punti di massimo e minimo locale e punti di sella usando la matrice Hessiana, esempi e esercizi.
• 11/06 Insiemi convessi. Funzioni convesse e concave, le loro caratterizzazioni con la matrice Hessiama, esempi e esercizi di convessità (e concavità).
• 11/10 Funzioni implicite, il teorema di Dini in R². L'ortogonalità del gradiente e la retta tangente dell'insieme di livello. Esempi.
• 11/11 Punti di massimo e minimo di una funzione vincolati in R², il moltiplicatore di Lagrange per trovare candidati per punti di massimo e minimo, esempi. Osservazioni sul caso non C¹ e irregolare, dominio che è l'unione della parte interna e una curva, determinazione dei punti di minimo e massimo.
• 11/13 Il teorema di Dini in R³ (solo l'enunciato), il moltiplicatore di Lagrange per un solo vincolo in R³ (solo l'enunciato), esempi.
• 11/13 Il teorema di Dini in R³ con due vincoli (solo l'enunciato), il moltiplicatore di Lagrange per due vincoli in R³ (solo l'enunciato), esempi.