7/3 |
Spazi normati, esempi. Operatori
limitati tra spazi normati, esempi.
(Esercizi.) |
8/3 |
Spazi metrici
completi e spazi di Banach, esempi.
(Esercizi.) |
14/3 |
B(X,Y) è di Banach per Y di Banach. Topologia
indotta da una metrica. Chiusura. Caratterizzazione dei chiusi metrici tramite
successioni. Estensione di operatori limitati densamente
definiti.
(Esercizi.) |
15/3 |
Completamento di spazi metrici e normati. Spazi topologici. Intorni. Spazi di
Hausdorff. Insiemi parzialmente ordinati diretti e nets.
(Esercizi.) |
21/3 |
Caratterizzazione della topologia tramite
convergenza di nets. Funzioni continue su uno spazio topologico. Norme equivalenti, esempi, equivalenza di
norme su spazi a dimensione finita.
(Esercizi.) |
22/3 |
Non compattezza della palla unitaria in spazi a
dimensione infinita. Teorema di Heine-Borel. Spazi
topologici compatti. Sottonet e punti limite. Teorema di Bolzano-Weierstrass generalizzato.
(Esercizi.) |
28/3 |
Anelli, algebre, σ-algebre e
misure su di essi. Insiemi elementari in
Rn e loro misura. Misura esterna di
Lebesgue. |
29/3 |
Prolungamento di Lebesgue di una misura sugli
insiemi elementari.
Misure di Lebesgue e Lebesgue-Stieltjes. Boreliani.
Regolarità del prolungamento. (Esercizi.) |
4/4 |
Spazi di misura, esempi. Funzioni misurabili e loro
proprietà. (Esercizi.) |
5/4 |
Approssimazione di funzioni
misurabili tramite
funzioni semplici. Integrale di funzioni positive e sue
proprietà. Teorema di convergenza monotona.
Lemma di Fatou.
Integrale di funzioni complesse. (Esercizi.) |
11/4 |
Proprietà dell'integrale di funzioni
complesse. Teorema di convergenza dominata. Teorema di
Vitali-Lebesgue. (Esercizi.) |
12/4 |
Teorema fondamentale
del calcolo (s.d.). Spazi Lp (p=1,2,+∞) e loro
completezza. Densità delle funzioni continue in
Lp. (Esercizi.) |
18/4 |
Forme sesquilineari e prodotti scalari.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Spazi di
Hilbert. Identità di polarizzazione e del
parallelogramma. Esempi. Completamento di uno spazio
prehilbertiano. (Esercizi.) |
19/4 |
Ortogonali. Teorema della proiezione;
proiettore su un sottospazio chiuso. Teorema di
rappresentazione di
Riesz. (Esercizi.) |
26/4 |
Sistemi e basi ortonormali.
Caratterizzazioni delle basi ortonormali e loro
esistenza. (Esercizi.) |
2/5 |
Procedimento di
Gram-Schmidt e spazi di Hilbert separabili. Forme
sesquilineari limitate e operatori. Aggiunto di un
operatore. Algebre di Banach e C*-algebre. Esempi. (Esercizi.) |
3/5 |
Spettro di un
elemento in un'algebra di Banach. Esempi. Funzioni
analitiche a valori in uno spazio di Banach. Proprietà dello spettro. (Esercizi.) |
9/5 |
Teorema del
raggio spettrale. Spettri di elementi di una
C*-algebra. (Esercizi.) |
10/5 |
Spettro e trasformata di Gelfand di
un'algebra di Banach commutativa. Ideali propri. Quozienti di spazi normati rispetto a
sottospazi chiusi e di algebre di Banach
rispetto a ideali chiusi. (Esercizi.) |
16/5 |
Corrispondenza tra caratteri e ideali propri
massimali di un'algebra di Banach. Continuità dei
caratteri. Spettro di un
elemento di un'algebra di Banach commutativa e
caratteri. Teorema di Stone-Weierstrass: lemma
preliminare. (Esercizi.) |
17/5 |
Teorema di Stone-Weierstrass (fine della dim.). Teorema di
Gelfand-Naimark commutativo. Funtorialità
dell'isomorfismo di Gelfand. (Esercizi.) |
23/5 |
Permanenza spettrale per
C*-sottoalgebre. Calcolo funzionale continuo.
Cono degli elementi positivi di una C*-algebra. (Esercizi.) |
24/5 |
Operatori positivi su uno spazio di Hilbert.
Calcolo funzionale boreliano. Misure spettrali. (Esercizi.) |
6/6 |
Teorema spettrale per operatori autoaggiunti
limitati. Caratterizzazione degli
elementi dello spettro tramite la misura
spettrale. (Esercizi.) |
7/6 |
Versione del teorema spettrale con
operatori di moltiplicazione (senza dim.). Stati e rappresentazioni di C*-algebre; teorema di
Gelfand-Naimark-Segal. Rappresentazione universale
e teorema di Gelfand-Naimark. (senza dim.) Stati
puri e rappresentazioni irriducibili. (senza dim.) (Esercizi.) |
8/6 |
Cenni alla formulazione assiomatica della Meccanica
Quantistica. Ensembles e procedure, stati e
osservabili e loro struttura matematica. Postulato C*. Commutatività dell'algebra delle osservabili
in Meccanica Classica. Principio di Heisenberg
generalizzato. Relazioni di commutazione di
Heisenberg.
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9/6 |
Relazioni di
Weyl. Realizzazione di Schroedinger e C*-algebra
di Weyl. Rappresentazioni
regolari. Regolarità e irriducibilità della rappresentazione
di Schroedinger. Teorema di
unicità di Weyl-von Neumann.
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