| 8/10 |
Numeri complessi, definizione algebrica. C
è un campo, ma non è ordinabile.
Modulo, coniugato e loro proprietà. Esercizi. |
| 10/10 |
Piano di Argand-Gauss. Forma trigonometrica e
prodotto di numeri complessi. Potenze e radici n-esime di un numero complesso.
Formula di Eulero e forma esponenziale dei numeri
complessi. Teorema fondamentale dell'algebra (senza
dim.). Esercizi. |
| 23/10 |
Successioni numeriche. Definizione di limite.
Algebra dei limiti e forme indeterminate. Teoremi di permanenza del segno,
del confronto e dei carabinieri. Confronto tra infiniti. Esercizi. |
| 24/10 |
Formula di Stirling (s.d.). Criterio di Cesaro
(s.d.). Teorema ponte (s.d.). Sottosuccessioni.
Successioni limitate. Teorema di Bolzano-Weierstrass
per successioni (s.d.). Insiemi compatti. Criterio di
Cauchy. Esercizi. |
| 28/10 |
Successioni monotòne. Successioni definite per
ricorrenza. Esercizi (tra cui: algoritmo di Erone, applicazione
logistica). |
| 7/11 |
Funzioni iperboliche: definizione, grafici, identità
fondamentale, inverse, derivate, sviluppi di MacLaurin.
Esercizi. |
| 19/11 |
Serie numeriche. Definizioni. Esempi (serie
geometrica, serie telescopiche, il numero e e
sua irrazionalità). Criterio necessario di
convergenza. Serie a termini positivi. Criteri del
confronto, del confronto asintotico e del confronto
integrale. Serie armonica generalizzata. |
| 20/11 |
Criterio del confronto
integrale (dim.). Criteri della radice e del rapporto.
Serie assolutamente convergenti. Convergenza assoluta
implica convergenza. Serie a segni alterni. Criterio di
Leibniz (s.d.). Esercizi. |
| 15/12 |
Differenziale di una funzione come applicazione
lineare. Forme differenziali. Forme esatte e primitive.
Corrispondenza tra forme differenziali e campi
vettoriali. Integrale di una forma differenziale su una
curva regolare (a tratti) e sua indipendenza dalla parametrizzazione. Una
forma è esatta sse l'integrale su un circuito
è nullo sse l'integrale su una curva dipende
solo dagli estremi. |
| 16/12 |
Forme chiuse e campi irrotazionali. Una forma
esatta è chiusa. Insiemi stellati. Una forma
chiusa su un insieme stellato è esatta (s.d.).
Esempi ed esercizi. |
| 17/12 |
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e
uniforme. Continuità del limite uniforme,
passaggio al limite sotto il segno di integrale e
derivata. Esempi e controesempi. |
| 19/12 |
Esercizi su successioni di funzioni. Integrali
dipendenti da parametri: continuità e
derivabilità. |
| 7/1 |
Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme e
totale. Convergenza totale implica uniforme. Criterio
di Cauchy per la convergenza uniforme (s.d.).
Convergenza uniforme di una serie di funzioni continue
in un intervallo aperto implica convergenza
uniforme nella chiusura. Esercizi. |
| 8/1 |
Condizione necessaria di convergenza uniforme per
serie di funzioni. Serie di potenze. Raggio di
convergenza. Teoremi di Cauchy-Hadamard e D'Alembert.
Regolarità della somma. Funzioni sviluppabili.
Condizione sufficiente. Sviluppi delle funzioni
elementari. |
| 9/1 |
Serie di potenze: teorema di Abel. Esercizi. |
