Metodi Matematici per l'Ingegneria

Lezione 1 (7 marzo): Breve ripasso sulle proprietà algebriche e geometriche dei numeri complessi. Funzioni affini in campo complesso. Convergenza e topologia nel piano complesso. Definizione di derivata complessa e sua equivalenza con la differenziabilità. Condizioni di Cauchy-Riemann*
Lezione 2 (8 marzo): Esempi di funzioni complesse. Esponenziale, seno e coseno complessi. Logaritmo complesso. Condizioni di Cauchy-Riemann in forma polare. Sufficienza delle condizioni di Cauchy-Riemann per funzioni di classe C¹. Funzioni olomorfe. Proprietà delle parti reale e complessa di una funzione olomorfa. Funzioni armoniche.
Lezione 3 (10 marzo): Serie di potenze in campo complesso. Caratterizzazione del cerchio di convergenza. Raggio di convergenza e suo calcolo. Esempi. Derivabilità (di ogni ordine) delle serie di potenze all'interno del cerchio di convergenza. Serie esponenziali e trigonometriche. Integrazione di funzioni su curve in campo complesso. Interpretazione come integrali di forme differenziali e relative proprietà. Integrazione di 1/z e z^k (k intero) su una circonferenza centrata nell'origine. Primitiva di una funzione complessa. Teorema fondamentale del calcolo per funzioni complesse. Integrale nullo su un circuito di una funzione cha ammette primitiva.
Lezione 4 (14 marzo): Esempi di integrazione in campo complesso. Esistenza di primitive di una funzione olomorfa in un aperto semplicemente connesso. Teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy*. Indice di una curva. Esempi.
Lezione 5 (15 marzo): Esempi di calcolo di integrali tramite la formula di Cauchy. Formula di Cauchy per le derivate di ordine superiore. Analiticità delle funzioni olomorfe. Zeri di una funzione olomorfa. Caratterizzazione degli zeri di ordine n.
Lezione 6 (17 marzo): L'insieme degli zeri di una funzione olomorfa non nulla non ha punti di accumulazione (nel dominio di definizione). Conseguenze. Funzioni intere. Teorema di Liouville*. Teorema fondamentale dell'Algebra*. Punti singolari e punti singolari isolati. Classificazione delle singolarità: eliminabili, poli di ordine n, essenziali. Esempi.
Lezione 7 (21 marzo): Esercizi sui punti singolari. Serie di Laurent per funzioni olomorfe in un anello*. Esempi di calcolo di serie di Laurent
Lezione 8 (22 marzo): Residuo. Teorema dei residui*. Caratterizzazione del residuo come coefficiente della serie di Laurent. Formula di calcolo per poli di ordine minore o uguale ad n. Calcolo tramite residui: integrali di funzioni razionali di funzioni trigonometriche sul periodo.
Lezione 9 (24 marzo): Lemmi di Jordan. Calcolo di integrali tramite il teorema dei residui: integrali impropri di funzioni razionali, integrali impropri con funzioni oscillanti. Calcolo dell'integrale improprio di sin x/x sulla retta.
Lezione 10 (28 marzo): Esercizi di calcolo tramite il teorema dei residui. Segnali. Funzione di Heaviside. Funzione caratteristica di un insieme. Funzioni trasformabili secondo Laplace. Ascissa di convergenza. Esempi. Trasformata di Laplace. Esempi.
Lezione 11 (29 marzo): Trasformata di esponenziali. Funzione impulso e sua trasformata. Linearità. Trasformata di seno e coseno. Trasformata di tn. Analiticità della trasformata di Laplace. Formula per la derivata. Proprietà della trasformata di Laplace. Limitatezza, andamento all'infinito. Altre proprietà: cambi di variabile lineari, traslazioni, moltiplicazione per una funzione esponenziale.
Lezione 12 (31 marzo): Formula della trasformata di una funzione periodica. Trasformata della derivata. Trasformata delle derivate di ordine successivo. Soluzione di equazioni differenziali ordinarie lineari tramite la trasformata di Laplace. Antitrasformata. Formula per l'antitrasformata. Antitrasformate di funzioni razionali.
Lezione 13 (4 aprile): esercizi di ripasso su trasformata di Laplace e applicazioni
Lezione 14 (5 aprile): esercizi di ripasso su funzioni di variabile complessa e applicazioni
Lezione 15 (7 aprile): ore 9: primo test intermedio - I
Lezione 16 (7 aprile): ore 11: primo test intermedio - II

Lezione 17 (11 aprile): Prodotto di convoluzione e sua trasformata di Laplace. Esempi, esercizi. Soluzioni di equazioni integrali e integro-differenziali.
Lezione 18 (12 aprile): Funzione Gamma di Eulero e trasformata delle potenze. Esercizi ed esempi.
Lezione 19 (21 aprile): Cenni sulla misura di Lebesgue. Misura esterna Insiemi misurabili e misura di Lebesgue. Misurabilità degli insiemi di misura esterna nulla e in particolare dell'insieme dei razionali. Funzioni semplici e funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue. Relazione con misura e integrale secondo Riemann e secondo Peano-Jordan. Integrabilità della funzione di Dirichlet e non integrabilità di sinx/x. Integrabilità delle funzioni positive integrabili in senso improprio. Proprietà valide quasi ovunque (in particolare, definizione di convergenza q.o.). Teorema di Beppo Levi. Teorema di Lebesgue o della convergenza dominata. Teorema di Fubini.
Lezione 20 (26 aprile): Spazi di funzioni sommabili. La relazione di equivalenza "uguaglianza q.o.". Gli spazi L¹, L² e L^infinito. Norma e distanza. Esempi di successioni convergenti e non convergenti in L¹. Successioni limitate in L¹ che non convergono: concentrazione e oscillazione.
Lezione 21 (28 aprile): Teoria delle distribuzioni. Motivazioni. Definizione di funzioni test e loro convergenza. Definizione di distribuzione. Identificazione di funzioni localmente sommabili come distribuzioni. Delta di Dirac. Altri esempi. Derivata nel senso delle distribuzioni. Derivata della funzione di Heaviside. Derivata di una funzione C¹ a tratti, con eventualmente punti di salto.
Lezione 22 (2 maggio): Soluzioni di equazioni differenziali nel senso delle distribuzioni mediante la trasformata di Laplace. Esempi
Lezione 23 (3 maggio): Convergenza nel senso delle distribuzioni. Convergenza in L¹_loc. Lemma di Riemann-Lebesgue. Esempi di oscillazioni e concentrazione. Esercizi.
Lezione 24 (5 maggio): Esercizi. La funzione valore principale di 1/x come derivata di log|x|. Successioni di funzioni che convergono a una delta di Dirac (delta-approssimanti).
Lezione 25 (10 maggio): Definizione di prodotto scalare. Norma hilbertiana. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Regola del parallelogramma. Esempi di norme non-hilbertiane. Vettori ortogonali. Teorema di Pitagora. Lo spazio l² ("elle-piccolo-due"). Insiemi ortogonali. Insiemi ortonormali. Esempi in L²: insiemi ortogonali di funzioni esponenziali complesse.
Lezione 26 (12 maggio): Lineare indipendenza di insiemi di vettori ortogonali. Spazi generati da un insieme ortogonale. Base ortogonale. Il metodo di Gram Schmidt. Esempi. I polinomi di Legendre.
Lezione 27 (16 maggio): Esercizi sul metodo di Gram Schmidt. Esercizi su derivate e convergenza nel senso delle distribuzioni.
Lezione 28 (17 maggio): Esercizi su equazioni differenzali nel senso delle distribuzioni, equazioni integrodifferenziali e loro soluzioni tramite trasformate di Laplace.
Lezione 29 (19 maggio): ore 9: secondo test intermedio - I
Lezione 30 (19 maggio): ore 11: secondo test intermedio - II
Lezione 31 (23 maggio): Spazi di Hilbert. Teorema delle proiezioni. Esempi. Diseguaglianza di Bessel. Spazi di Hilbert separabili e loro isomorfismo con l².
Lezione 32 (24 maggio): Polinomi trigonometrici (con base esponenziali e trigonometriche). Coefficienti di Fourier. Serie di Fourier di una funzione L¹.
Diseguaglianza di Bessel per funzioni L². Identità di Parseval e sue equivalenza con la convergenza L² della serie di Fourier. Esempi: serie di Fourier della funzione segno e applicazioni a calcolo di serie numeriche.
Lezione 33 (26 maggio): Esempi. Teorema della convergenza puntuale delle serie di Fourier*. Nucleo di Dirichlet e sue proprietà. Condizioni per la convergenza puntuale alla semisomma dei limiti destro e sinistro.
Lezione 34 (30 maggio): Teorema della convergenza uniforme della serie di Fourier*. Teorema della convergenza L². Esempi. Cenni al fenomeno di Gibbs.
Lezione 35 (31 maggio): Esempi. Uso della decomposizione in parte pari e parte dispari di una funzione. Cenni sulla soluzione di equazioni differenziali in spazi di funzioni periodiche mediante serie di Fourier. Il principio di localizzazione. Spettro di ampiezza e spettro di fase.
Lezione 36 (6 giugno): Serie di Fourier su intervalli arbitrari. Definizione di trasformata di Fourier per una funzione L¹ e sua motivazione. Limitatezza della trasformata. Continuità e comportamento all'infinito. Esempi. Trasformata di una funzione reale pari o dispari.
Lezione 37 (7 giugno): Linearità. Esempi con decomposizioni in parte pari e dispari di parti reali e immaginarie. Teorema della convergenza puntuale*. Proprietà della trasformata: cambiamenti lineari e affini di variabili.
Lezione 38 (9 giugno): Altre proprietà della trasformata: moltiplicazione per un'esponenziale, trasformata della derivata e derivata della trasformata. Trasformata della Gaussiana. La classe di Schwartz S. Le trasformate di funzioni in S sono in S. Trasformata di funzioni in L2 e sue proprietà. Identità di Plancherel. Esempi. Trasformata della convoluzione.
Lezione 39 (13 giugno): Esempio: il prodotto di convoluzione di due funzioni gaussiane è una funzione gaussiana. Esempi di applicazione della trasformata di Fourier alla soluzione di equazioni alle derivate parziali. Equazione dei calore. Proprietà del nucleo del calore. Equazione delle onde. Formula di d'Alambert.
Lezione 40 (14 giugno): La classe di Schwartz e la sua inclusione negli spazi di Lebesgue. La classe di Schwartz è stabile per trasformata di Fourier. Distribuzioni temperate. Funzioni a crescita lenta. Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate. Esempi e proprietà.
Lezione 41 (16 giugno): Altri esempi di trasformate di Fourier di polinomi, delta, funzioni trigonometriche, ecc. Spazi metrici completi. Il Lemma delle contrazioni.* Applicazione del lemma delle contrazioni al problema di Cauchy di esistenza di soluzioni di equazioni differenziali ordinarie.
Lezione 42 (20 giugno): Esercizi di ripasso su teorema delle proiezioni e su serie di Fourier.
Lezione 43 (21 giugno): Esercizi di ripasso su trasformate di Fourier e distribuzioni temperate.
Lezione 44 (23 giugno): ore 9: terzo test intermedio - I
Lezione 45 (23 giugno): ore 11: terzo test intermedio - II