1. Elementi di analisi funzionale:spazi vettoriali reali e complessi,
spazi normati, spazi di Banach, spazi C^k e spazi L^p, spazi di
Hilbert, teorema della proiezione,
sistemi ortonormali in L^2
2. Serie di Fourier : convergenza in L^2, puntuale ed uniforme,
fenomeno
di Gibbs.
3. Funzioni di variabile complessa: funzioni olomorfe, integrazione in
campo complesso, teorema e formula integrale di Cauchy e relative
conseguenze, funzioni analitiche
e principali proprietà,
singolarità isolate e serie di Laurent, residui, teorema dei
residui e applicazione al calcolo di integrali impropri, cenni su
trasformazioni conformi
4. Trasformata di Laplace e principali proprietà, formula di
inversione, convoluzione e principali proprietà
5. Trasformata di Fourier di funzioni sommabili, di funzioni di L^2 e
proprietà principali, formula di inversione. Teorema di Shannon
sul campionamento dei segnali
6. Cenni sulla teoria delle distribuzioni: funzioni test, distribuzioni
indotte da funzioni localmente sommabili, limiti nel senso delle
distribuzioni, delta di Dirac e sua
trasformata di Fourier e di
Laplace, derivate distribuzionali
7. Applicazione delle trasformate di Laplace e Fourier alla soluzione
di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali,
proprietà del nucleo del
calore.
Testo consigliato: G.C. Barozzi. Matematica per l'Ingegneria
dell'Informazione. Zanichelli.
Dettaglio delle lezioni Nota:
contrassegno con (D) i teoremi di cui ritengo più importanti le
dimostrazioni.
1. Spazi vettoriali reali e complessi. Esempi: R^n, C^n, spazi
di funzioni continue a valori complessi.Sottospazi. Sottospazi generati
da un insieme. Esempi: polinomi di grado non superiore a n, polinomi
trigonometrici. Base e dimensione di uno spazio finitamente generato.
Spazi vettoriali normati. Esempi: spazi di funzioni
continue; norme su R^n.
2. Distanza in uno spazio
normato. Esempi in C^n. Equivalenza delle norme in uno spazio
finitamente generato. Norme integrali. Diseguaglianze tra norme
integrali. Esempi di successioni convergenti in una norma e non
convergenti in un'altra. Esempi di sottospazi non chiusi e di
successioni di Cauchy non convergenti in dimensione
infinita. Spazi di Banach.
3. La misura di Lebesgue:
misura esterna, insiemi misurabili, proprietà (in particolare la
sigma-additività sui misurabili- senza dimostrazioni). Proprietà
vere quasi ovunque. Funzioni misurabili. Integrale di
Lebesgue; funzioni integrabili seconso Lebesgue. Confronto con
l'integrale di Riemann e di Peano-Jordan. Teorema della convergenza
dominata o di Lebesgue (senza dimostrazioni).
Spazi L^p.
4. Prodotto scalare. Norma
derivante da un prodotto scalare. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Conseguenza: diseguaglianza tra la norma L^1 e la norma L^2. Norme
hilbertiane; identità del parallelogramma. Spazi di Hilbert.
Ortogonalità; teorema di Pitagora. Insiemi di vettori
ortogonali. Esempi: le funzioni e^{iht}in L^2(-pi,pi). Sottospazi
generati da un insieme finito di vettori ortogonali.
5. Lo spazio l^2 delle
successioni a quadrato sommabile. Il teorema delle proiezioni.
Diseguaglianza di Bessel. Esempi ed esercizi. I polinomi di Fourier
come proiezione su spazi polinomi trigonometrici. Diseguaglianza di
Bessel per i polinomi di Fourier.
6. Proiezioni su
sottospazi generati da elementi di un sistema ortonormale. Il metodo di
Gram-Schmidt.
7. Serie di Fourier in
L^2. Lemma di Riemann Lebesgue per i coefficienti di Fourier di una
funzione L^1. Nucleo di Dirichlet. Convergenza puntuale.
8. Convergenza uniforme di
serie di Fourier. Convergenza in L^2. Identità di Parseval.
9. Esempi di calcolo di serie
di Fourier, e di calcolo di serie numeriche usando la convergenza
puntuale o l'identità di Parseval. Serie di Fourier in forma
trigonometrica e loro coefficienti. Serie di Fourier in intervalli
qualunque.
10. Funzioni di variabile
complessa. Derivata complessa. Differenziabilità delle funzioni
derivabili e applicazioni conformi. Condizioni di Cauchy-Riemann in
forma complessa, in forma reale e in coordinate polari (D).
Differenziabilità di funzioni razionali e esponenziale.
Argomento principale, Logaritmo principale. Radice quadrata complessa.
11. Integrale di una funzione
complessa su una curva. Condizioni equivalenti per l'esistenza di
primitive per una funzione complessa. Integrale nullo di una funzione
su un circuito all'interno del quale è olomorfa (D). Formula di
Cauchy (D)
12. Derivabilità
infinite volte e analiticità delle funzioni olomorfe (D). Zeri
di una funzione olomorfa. Ordine di uno zero. Gli zeri di ordine n sono
isolati. Condizioni equivalenti perché una funzione analitica
sia nulla. Principio di identità. Prolungamento analitico di una
funzione analitica reale. Diseguaglianze di Cauchy (D), Teorema di
Liouville (D), Teorema fondamentale dell'algebra (D). Indice di una
curva.
13. Punti singolari isolati.
Poli e singolarità essenziali. Residuo. Formula di calcolo del
residuo. Serie di Laurent. Teorema dei residui (D). Lemma del grande
cerchio. Lemma di Jordan.
14. Esempi di esercizi di
calcolo tramite il teorema dei residui. Calcolo di integrali impropri
tramite il teorema dei residui.
15. La trasformata di Laplace,
dominio e ascissa di convergenza. Trasformata dell'impulso unitario, di
esponenziali, funzioni trigonometriche e polinomi. Analiticità
della trasformata di Laplace e formula della derivata.
16. Trasformata di
Laplace della derivata. Trasformata di Laplace di derivate
di ordine qualsiasi (per ricorrenza). Soluzioni di problemi di Cauchy
per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.
Convoluzione. Trasformata di Laplace di una convoluzione. Soluzioni di
problemi integro-differenziali. Soluzione impulsiva. Soluzione di
equazioni con dati omogenei tramite convoluzione con una soluzione
impulsiva.
17. Proprietà delle
trasformate di Laplace di segnali. Trasformata di un segnale periodico.
Esempio dell'onda quadra. Funzioni Gamma e Beta di Eulero e loro
proprietà.
18. Trasformata di Fourier per
una funzione L^1 (vista come `limite' di serie di Fourier).
Definizione. Limitatezza e continuità della trasformata e suo
andamento all'infinito. Esempi. Traformate di funzioni reali, pari e
dispari. Teorema di inversione della trasformata di Fourier.
19. Antitrasformata di
Laplace. Proprietà della trasformata di Fourier e loro
applicazioni al calcolo. Trasformate di Gaussiane. Trasformata di
funzioni in L^2. Identità di Plancherel. Calcolo di integrali
tramite l'identità di Plancherel.
20. Applicazioni della
trasformata di Fourier: teorema di Shannon, soluzione dell'equazione
del calore; soluzione dell'equazione delle onde.
21. L'insieme D delle funzioni
C^infinito a supporto compatto. Esempi. Convergenza su D. Lo spazio D'
delle distribuzioni definite come operatori lineari e continui su D.
Esempi (operatori integrali). Identificazione di funzioni integrabili
sui compatti con distribuzioni. La delta di Dirac. Integrazione per
parti in D. Convergenza nel senso delle distribuzioni. Esempi di
convergenza alla delta di Dirac. Esempi che usano il lemma di
Riemann-Lebesgue.
22. Derivata nel senso delle
distribuzioni. Esempi: derivate di funzioni C^1 a tratti (anche
discontinue). Derivate successive della delta. Operazioni su
distribuzioni: traslazione, cambio di variabile lineare,
moltiplicazione per una funzione C^infinito.
23. Soluzioni di equazioni
differenziali nel senso delle distribuzioni. Lo spazio S delle funzioni
a decrescenza rapida. Lo spazio S' delle distribuzioni temperate.
Esempi: funzioni a crescenza lenta. Definizione di trasformata di
Fourier di una distribuzione temperata. Esempi: trasformata di una
costante, della delta, di x, del seno.
MODALITÀ
D'ESAME
Esame scritto (6 domande in cui si deve motivare la risposta) + esame
orale (obbligatorio). Allo scritto si può usare il testo ma non
gli appunti, ne' calcolatrici o altro. Portate fogli per la brutta.
