Dai sistemi discreti ai problemi variazionali continui

Roberto Alicandro, Andrea Braides, Marco Cicalese

Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici, via Scarpa, Roma

Aula 1 Palazzina E - gennaio-aprile 2008

File delle lezioni (versione del 29 aprile 2008)
Il testo sarà contenuto in un unico file che verrà aggiornato periodicamente

Descrizione del corso: scopo del corso è illustrare alcune problematiche legate ad una varietà di questioni che vanno dallo studio di sistemi a molte particelle, a problemi legati all'analisi numerica dovuti alla discretizzazione di energie possibilmente non convesse, all'analisi delle ipotesi atomistiche della meccanica dei continui, all'omogeneizzazione di strutture discrete, ecc., e il loro studio tramite metodi legati alla Gamma-convergenza. Questi problemi hanno in comune un'analisi di sistemi discreti con un numero crescente di variabili, e hanno attirato molta attenzione, da un punto di vista variazionale specialmente negli ultimi dieci anni, tanto da diventare un tema centrale della ricerca in matematica applicata.

Programma effettuato:
Lezione 1 - giovedi 31 gennaio 2008 - Introduzione. Alcune motivazioni dall'Analisi Numerica, dalla Fisica Statistica e dalla Meccanica dei Continui. Problemi variazionali su reticoli. Criteri di compattezza. Definizione e teorema fondamentale della Gamma-convergenza.
Lezione 2 - giovedi 7 febbraio 2008 - Proprietà della Gamma-convergenza. Semicontinuità e rilassamento. Alcuni semplici esempi di calcolo di Gamma-limiti di energie discrete. Oscillazioni "mesoscopiche" e oscillazioni "microscopiche".
Lezione 3 - giovedì 21 febbraio 2008 - Sistemi di spin. Energie di perimetro. Interfaccia di fase e anti-fase.
Lezione 4 - giovedì 28 febbraio 2008 - Moto di interfaccia discrete via discretizzazione temporale. Interpretazione del moto limite come un moto secondo curvatura. Differenze con il caso continuo. "Pinning".
Lezione 5 - giovedì 6 marzo 2008 - Sistemi alle differenze finite. Esempi di limiti "multi-fase" e non-locali. Un teorema di compattezza e rappresentazione sotto condizioni di crescita e di decadimento delle interazioni a lunga distanza. Formule di omogeneizzazione. Esempi di funzionali limite non convessi.
Lezione 6 - giovedì 13 marzo 2008 - Teorie variazionali di pellicole sottili. Il teorema di LeDret e Raoult. Pellicole sottili discrete. Un teorema di compattezza. Confronto con la teoria continua: competizione di effetti di bordo e di volume.
Lezione 7 - giovedì 27 marzo 2008 - `Optimal design' di sistemi discreti. `Bounds' per l'omogeneizzazione di sistemi discreti di due conduttori lineari. Confronto con il caso continuo.
Lezione 8 - lunedì 31 marzo 2008 - Il funzionale di Blake-Zisserman in Computer Vision e il funzionale di Mumford-Shah come suo limite continuo. Problemi a discontinuità libera e funzioni SBV
Lezione 9 - lunedì 7 aprile 2008 - problemi variazionali con percolazione. Un caso modello: la ``membrana con difetti distribuiti casualmente''
Lezione 10 - giovedì 10 aprile 2008 - analisi del comportamento asintotico dello schema discreto di Perona-Malik. Analisi multiscala di sistemi atomici (unidimensionali) legati da potenziali di Lennard-Jones


Bibliografia.
I temi di questo corso sono stati trattati (più in breve) in una scuola in Utah (Salt Lake City, 2005). Qui trovate le Lecture Notes.
Per una breve introduzione alla Gamma-convergenza e ai sistemi discreti (unidimensionali) si vedano le note di una scuola a Torino 2001.
Per un "Manuale di Gamma-convergenza" (con uno spettro molto più ampio del corso) si può consultare il relativo capitolo dell'Handbook of Differential Equations. Stationary Partial Differential Equations (curatori: Chipot, Quittner), Elsevier, 2006.
Per un'introduzione alla Gamma-convergenza, si può vedere il relativo "corso per principianti".