Fondamenti di Matematica a.a. 2017-18
(LM 85 bis - Facolta' di Scienze della formazione - LUMSA)

Obiettivi formativi: Conoscenza e capacita' di comprensione: La teoria assiomatica e l'attenzione rivolta alle definizioni costringe ad una riflessione e una piena padronanza del linguaggio, e a un attento ascolto.
Capacita' di applicare conoscenza e comprensione Lo studente sapra' utilizzare alcuni aspetti della matematica per modellizzare, affrontare e risolvere varie situazioni problematiche.
Autonomia di giudizio: lo studente sara' in grado di analizzare criticamente una dimostrazione; di capire e valutare le difficolta' del processo insegnamento/apprendimento in base all'argomento trattato e alla situazione dei discenti.
Abilita' comunicative: lo studente sara' in grado di elaborare o applicare idee, e di sostenerle con chiarezza e rigore; sollecitare, stimolare, favorire e guidare all'interesse per il pensiero matematico. Lo studio di alcuni elementi fondanti dell'aritmetica e della geometria permette e induce una riflessione sulla matematica e il suo ruolo educativo, nonche' sulle modalita' di insegnamento. Contenuti del corso Elementi di logica. Introduzione alla geometria piana, attraverso il libro I degli Elementi di Euclide e risultati correlati. Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N, Z, Q, R. Algebra geometrica e proprieta' delle operazioni. Numeri primi. Elementi di probabilita' e statistica.
Prerequisiti: competenze matematiche acquisite nella formazione scolastica primaria e secondaria.
Testi di riferimento: L.Russo, G.Pirro, E.Salciccia, Euclide: il I libro degli Elementi, Carocci Editore, collana Frecce (vedi anche il sito sito su Euclide). Per una traduzione italiana commentata, e' possibile consultare anche 'Gli elementi' di Euclide, curato da Frajese A., Maccioni M. Editore: UTET Collana: Classici della scienza (1996).
Dispense messe a disposizione su questo sito
Descrizione della verifica di profitto Prova scritta propedeutica e prova orale. Nella prova scritta, si verificheranno, in particolare, le competenze preliminari sulle operazioni e le espressioni con frazioni e numeri decimali. Le due prove saranno convocate nello stesso giorno. Chi ha superato la prova scritta deve sostenere la prova orale all'interno della stessa sessione. Nella prova orale, il candidato espone un argomento a scelta di logica matematica, uno di geometria, uno di aritmetica e uno di statistica e probabilita', selezionati seguendo le indicazioni generali fornite dal docente. E' necessaria la registrazione per poter sostenere l'esame. Qualora il candidato sostenga la prova orale in un appello differente dalla prova scritta, e' tenuto ad iscriversi nuovamente all'esame. In base al numero di candidati iscritti, e' possibile che l'esame si prolunghi su piu' giorni.
Il giorno 23 febbraio verranno completati gli esami orali dei candidati con numero di prenotazione fino a 10 compreso. I rimanenti orali verranno svolti il 25 maggio, a partire dalle ore 15.

Elenco dei candidati esonerati dalla prova orale (purche' sia verificata la sussistenza dei prerequisiti e l'orale venga svolto entrp luglio 2018) [file].
Orario di ricevimento su appuntamento, presso la sala docenti di Piazza delle Vaschette

Orario di lezione L'insegnamento e' annuale. Nel primo e nel secondo semestre, le lezioni si svolgono il martedi (16:00-18:00, Aula 4 nel primo semestre e Aula 5 nel secondo semestre, Vaschette) e il giovedi (14:00-16:00, Aula 4, Vaschette). Le lezioni sono concluse.


Dettaglio sul programma svolto
Alcuni argomenti sono noti agli studenti dai precedenti cicli di studio e non viene per essi fornito materiale specifico per il ripasso.

[ dispense di introduzione alla logica matematica] Introduzione alla logica matematica. Proposizioni e valore di verita'. Proposizioni elementari (o semplici) e composte. Congiunzione e disgiunzione: loro tavola della verita' e rappresentazione insiemistica. Negazione di una proposizione. Implicazione e coimplicazione; proposizioni codizionali. Equivalenza.
[ dispense su affermazioni aperte e sillogismi] Affermazioni aperte con quantificatori: classificazione, rappresentazione insiemistica, negazione, equivalenza.
Sillogismi ipotetici e categorici. Conclusioni logicamente valide.
[ sistemi assiomatici e dimostrazioni] Sistemi assiomatici. Divisori e multipli di numeri naturali o interi. Esempi di dimostrazioni dirette. Dimostrazioni indirette per contrapposizione e per assurdo.
Numeri interi: Proprieta' delle operazioni e algoritmi di calcolo. [brevi note su proprieta' e divisione] Divisori e multipli di numeri naturali o interi. Massimo comune divisore di due numeri naturali non nulli. Metodo di Euclide per il calcolo del massimo comune divisore (detto metodo delle divisioni successive) e identita' di Euclide-Bezout [file]. Numeri primi e loro proprieta' [file]. Se un numero primo divede un prodotto divide almeno uno dei fattori. Ogni numero diverso da 1 e' divisibile per un numero primo. I numeri primi sono infiniti.
Numeri razionali: definizione, operazioni, proprieta', rappresentazioni grafiche, inserimento nella linea dei numeri.
Numeri reali e numeri irrazionali. Teorema di Pitagora per triangoli rettangoli isosceli. Duplicazione e dimezzamento di un quadrato. La radice quadrata di 2 e' un numero irrazionale [file]. Rappresentazione grafica della radice di un numero naturale. Rappresentazione in forma decimale di un numero reale [note della Prof.ssa Anna Gillio]. Caratterizzazione dei numeri che ammettono forma decimale finita come numeri razionali rappresentabili da una frazione decimale; modalita' di passaggio tra queste due forme. Numeri razionali e rappresentazione in forma decimale periodica.
Scrittura posizionale e basi di numerazione, somma e sottrazione in base [ file].
Esercizi di ripasso relativi al programma sopra elencato [file 1, file 2].
Il sistema assiomatico della geometria piana nel primo libro degli elementi di Euclide. Concetti primitivi, definizioni, 5 assiomi o postulati e proposizioni (o teoremi), nozioni comuni e nozioni di logica. [file] Punto, linea, linea retta, angolo, angolo retto, circonferenza, triangolo, triangolo equilatero. Le proposizioni 4 e 8 vengono considerati assiomi.
Proposizioni di cui conoscere l'enunciato: 23
Proposizioni di cui sono richiesti l'enunciato e la dimostrazione: Prop. 1, 2, 3, 5, 6 [file], 9, 10 [file], 11, 12, 15, 16, 17, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 47, 48.
Principali proprieta' di triangoli e quadrilateri. Classificazione di triangoli e quadrilateri. Area e perimetro di triangoli, parallelogrammi, trapezi (vedi, in particolare prop. 38, 39, 40). Teorema dell'angolo al centro e l'angolo alla circonferenza. Teorema di Talete (file), similitudine tra triangoli e similitudine tra rettangoli.
Elementi di probabilita' (definizione di probabilita' discreta classica) e di statistica (moda, media, mediana). [breve riassunto]
Alcuni esercizi di ripasso.