Didattica


Anno accademico 2018/19

Corso di Analisi Matematica 2, corsi di laurea triennale in Ingegneria Meccanica ed Energetica, I semestre
  • Orario del corso
    Lunedì ore 11.30 - 13.00 aula A4
    Mercoledì ore 11.30 - 13.00 aula A4
    Giovedì ore 11.30 - 13.00 aula A4
  • Programma di massima
    Funzioni di più variabili: limiti e continuità, calcolo differenziale ed estremi liberi, curve e campi vettoriali, funzioni implicite ed estremi vincolati, integrali multipli, superficie e integrali di superficie, teoremi della divergenza e del rotore.
    Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme, teoremi di passaggio al limite.
    Equazioni differenziali: teorema di esistenza e unicita' locale per il problema di Cauchy, proprieta' delle soluzioni delle equazioni lineari, matrice wronskiana, sistemi lineari a coefficienti costanti, matrice esponenziale.
  • Testi consigliati
    Teoria:
    • M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi matematica, McGraw-Hill
    • M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli
    • E. Giusti, Analisi matematica 2, Bollati Boringhieri
    • N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi matematica 2, Liguori
    Esercizi:
    • E. Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica, Vol. 2, Bollati Boringhieri
    • B. P. Demidovic, Esercizi e problemi di analisi matematica, Editori Riuniti
    • P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di matematica, vol. 2, tomi 1-4, Liguori
  • Calendario delle lezioni
    24/9 Richiami su Rn: operazioni di spazio vettoriale, prodotto scalare, norma, distanza, disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare. Punti interni, esterni, di frontiera e di accumulazione di un insieme in Rn. Insiemi aperti e chiusi e loro proprietà. Insiemi limitati e teorema di Bolzano-Weierstrass. Esempi.
    26/9 Punto all'infinito. Definizione di limite di funzioni scalari e vettoriali di più variabili. Operazioni con i limiti e forme indeterminate (s.d.). Successioni in Rn e loro limiti, teorema ponte (s.d.). Curve parametriche, sostegno di una curva, esempi. Applicazioni al calcolo dei limiti di funzioni di più variabili.
    27/9 Uso delle coordinate polari nel calcolo dei limiti. Esercizi sul calcolo dei limiti. Funzioni continue di più variabili. Insiemi connessi. Teoremi di esistenza degli zeri e dei valori intermedi.
    1/10 Insiemi compatti. Teorema di Bolzano-Weierstrass (s.d.). Proprietà delle funzioni continue definite su un compatto (s.d.). Derivate direzionali e derivate parziali. Esempi. Funzioni differenziabili. Differenziabilità implica continuità e derivabilità, ma non il viceversa. Esempi.
    3/10 Regola della catena. Teorema del differenziale totale. Esempi. Teorema del valor medio.
    4/10 Esercizi su continuità, derivabilità e differenziabilità di funzioni di più variabili.
    8/10 Funzioni di classe C1. Significato geometrico del gradiente. Piano tangente. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Funzioni di classe Ck. Teorema di Schwarz (s.d.). Matrice hessiana. Formula di Taylor al II ordine con resti di Peano e di Lagrange. Formula di Taylor generale (s.d.). Punti estremali e punti stazionari. Teorema di Fermat.
    10/10 Matrici simmetriche (semi-)definite positive, negative o indefinite. Caratterizzazione in termini degli autovalori. Condizione sufficiente al II ordine per l'estremalità. Esempi.
    11/10 Esercizi su piani tangenti, limiti tramite la formula di Taylor, e punti estremali.
    15/10 Esercizi su punti estremali. Derivabilità e differenziabilità di funzioni vettoriali. Vettore tangente a una curva. Matrice jacobiana. Regola della catena.
    17/10 Funzioni definite implicitamente. Teorema di Dini (caso di due variabili). Ortogonalità del gradiente alle curve di livello. Esempi.
    18/10 Esercizi su funzioni definite implicitamente. Teorema di Dini (caso generale, s.d.). Ortogonalità del gradiente alle superfici di livello.
    22/10 Spazio tangente al luogo degli zeri di una funzione vettoriale. Teorema di inversione locale. Diffeomorfismi. Esempi: coordinate polari e cilindriche.
    24/10 Coordinate sferiche. Estremi vincolati. Esempi: esplicitazione e parametrizzazione del vincolo. Punti stazionari vincolati. Teorema di Fermat per gli estremi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
    25/10 Dimostrazione del teorema dei moltiplicatori. Esercizi.
    31/10 Esercizi su massimi e minimi di funzioni su insiemi compatti. Suddivisioni di un rettangolo. Somme di Riemann superiori e inferiori. Funzioni integrabili su un rettangolo e loro proprietà (s.d.). Formule di riduzione.
    5/11 Dimostrazione delle formule di riduzione (per rettangoli). Funzioni integrabili su un insieme limitato. Insiemi misurabili. Un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Proprietà degli insiemi misurabili (s.d.)
    7/11 Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate su rettangoli e delle funzioni continue e limitate su insiemi misurabili. Insiemi normali rispetto agli assi e loro misurabilità. Formule di riduzione per insiemi normali. Esempi.
    8/11 Esercizi su integrali doppi e formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali doppi (s.d.). Esempi.
    12/11 Esercizi sul cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli: integrabilità su parallelepipedi e insiemi limitati, insiemi misurabili e loro proprietà (s.d.), integrabilità di funzioni continue e limitate su insiemi misurabili (s.d.). Insiemi normali rispetto ai piani coordinati e rispetto agli assi. Formule di riduzione (s.d.).
    14/11 Formula di cambiamento di variabili negli integrali tripli (s.d.). Baricentro di un insieme e volume di un solido di rotazione. Esempi ed esercizi.
    15/11 Esercizi su integrali tripli. Misurabilità di insiemi illimitati in Rn. Funzioni generalmente continue e sommabili su insiemi misurabili. Integrale di una funzione sommabile non negativa. Criterio del confronto. Integrale di una funzione sommabile di segno arbitario, e sua rappresentazione come limite di integrali su una successione invadente di insiemi misurabili limitati.
    19/11 Esempi di funzioni sommabili (integrale della gaussiana e di 1/|x|α in un intorno dell'origine e di infinito). Curve parametriche chiuse, semplici, regolari, cartesiane e polari. Orientazione di una curva e curve equivalenti. Esempi. Curve rettificabili.
    21/11 Invarianza della lunghezza per cambiamenti di parametro. Rettificabilità delle curve C1. Esempi. Lunghezza di curve cartesiane e polari. Ascissa curvilinea.
    22/11 Esercizi su integrali di funzioni sommabili e curve parametriche.
    26/11 (Tenuta dal prof. G. Ruzzi) Integrali di campi vettoriali su curve parametriche. Invarianza (a meno del segno) per cambiamenti di parametro. Campi conservativi e loro caratterizzazioni tramite integrali su curve. Unicità (a meno di costanti) del potenziale.
    29/11 (Tenuta dal prof. G. Ruzzi) Un campo conservativo è irrotazionale. Omotopia tra curve. Invarianza omotopica dell'integrale curvilineo di un campo conservativo. Insiemi semplicemente connessi. Un campo irrotazionale su un insieme semplicemente connesso è conservativo. Esempi.
    3/12 Campi vettoriali e forme differenziali. Derivazione sotto il segno di integrale. Teorema di Gauss-Green per domini regolari normali in R2. Domini regolari ed estensione del teorema di Gauss-Green. Area di un dominio regolare come integrale curvilineo.
    5/12 Esercizi su campi vettoriali e loro integrali curvilinei. Definizione di superficie elementare (o parametrica).
    6/12 Interno e bordo di una superficie parametrica. Superfici regolari, piano tangente e vettori normali. Superfici elementari orientabili. Superfici invertibili e loro orientabilità. Esempi.
    10/12 Orientazione del bordo di una superficie invertibile. Superfici composte e loro orientabilità. Area di una superficie elementare regolare. Parametrizzazioni equivalenti e invarianza dell'area. Integrale superficiale di una funzione scalare e flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie (composta) orientata. Invarianza (a meno del segno) del flusso per riparametrizzazioni.
    12/12 Domini regolari normali in R3. Parametrizzazioni e orientabilità della frontiera di un dominio regolare normale. Domini regolari. Divergenza di un campo vetteoriale. Teorema della divergenza. Rotore di un campo vettoriale. Teorema di Stokes (inizio della dimostrazione).
    13/12 Fine della dimostrazione del teorema di Stokes. Esercizi su aree di superfici.
    17/12 Esercizi su aree di superfici, flussi e circuitazioni di campi vettoriali.
    19/12 Definizione di serie numerica convergente, divergente, indeterminata. Esempi: serie telescopiche, serie geometrica, serie esponenziale e delle funzioni trigonometriche. Condizione necessaria di convergenza. Serie a termini positivi: criterio del confronto, del confronto asintotico e integrale. Serie armonica generalizzata.
    20/12 Criteri della radice e del rapporto. Serie assolutamente convergenti. Convergenza assoluta implica convergenza. Serie a segni alternati e criterio di Leibniz. Esercizi. (Soluzioni degli esercizi assegnati.)
    7/1 Sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in forma normale. Funzioni localmente e globalmente lypschitziane. Teoremi di esistenza e unicità di Cauchy-Lypschitz (s.d.). Condizioni sufficienti per la lypschitzianità. Esistenza di soluzioni massimali (s.d.). Sistemi lineari del primo ordine. Linearità dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo e sua dimensione.
    9/1 Caratterizzazioni dell'indipendenza lineare di soluzioni del sistema omogeneo. Matrice risolvente. Soluzioni del sistema non omogeneo. Metodo di variazione delle costanti. Sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti. Esponenziale di matrici e sue proprietà. Esponenziale come risolvente del sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti.
    10/1 Integrale generale del sistema lineare non omogeneo a coefficienti costanti. Esponenziale di una matrice diagonalizzabile. Forma canonica di Jordan (s.d.) e suo esponenziale. Esercizi. (Soluzioni degli esercizi assegnati.)
    14/1 Sistemi autonomi. Punti stazionari stabili, asintoticamente stabili e instabili. Stabilità/instabilità dell'origine di un sistema lineare. Stabilità/instabilità di un punto stazionario di un sistema non lineare in termini degli autovalori del sistema linearizzato (s.d.). Cenni di analisi qualitativa. Esempi (sistema predatore-preda di Volterra-Lotka).
    16/1 Equazioni differenziali lineari di ordine n. Equivalenza con sistemi lineari del I ordine. Linearità dello spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea e sua dimensione. Wronskiano di una famiglia di soluzioni e caratterizzazione dell'indipendenza lineare. Equazioni a coefficienti costanti. Radici del polinomio caratteristico e autovalori della matrice del sistema associato. Soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione omogenea. Soluzione particolare dell'equazione non omogenea tramite il metodo di variazione delle costanti.
    17/1 Soluzione particolare dell'equazione non omogenea a coefficienti costanti tramite il metodo di similarità (s.d.). Equazione di Eulero. Esercizi.
    23/1 Soluzione degli esercizi di preparazione alla prova scritta.
  • Esami
    • Regole
      • L'esame consiste di una prova scritta (con voto da 0 a 30) e di una prova orale (con voto da -5 a 5). La prova scritta si intende superata se si riporta un voto pari almeno a 18/30.
      • La prova scritta e quella orale vanno sostenute nella medesima sessione di esame.
      • La consegna di una prova scritta invalida le eventuali precedenti.
      • In caso di mancato superamento dell'orale (cioè se la somma dei voti dello scritto e dell'orale è inferiore a 18/30) è necessario ripetere la prova scritta.
      • Pena l'esclusione, durante lo scritto non è consentito l'uso di telefoni cellulari, di dispositivi elettronici in grado di connettersi ad Internet, di calcolatrici elettroniche programmabili, di libri di testo e di appunti, eccezion fatta per un foglio formato A4 (fronte/retro) contenente appunti.
      • Per prendere parte alla prova scritta è necessario esibire il libretto universitario o un documento d'identità.
    • Dimostrazioni richieste all'orale

      Oltre alle dimostrazioni dei teoremi elencate di seguito, è richiesta la conoscenza di tutte le definizioni e di tutti gli enunciati dei teoremi visti a lezione.

      • Differenziabilità implica continuità e derivabilità.
      • Regola della catena.
      • Teorema del valor medio.
      • Formula di Taylor al secondo ordine con resto di Peano.
      • Condizione necessaria per l'estremalità (teorema di Fermat).
      • Caratterizzazione spettrale di una matrice (semi-)definita positiva/negativa.
      • Condizione sufficiente del secondo ordine per l'estremalità.
      • Teorema di Dini (caso di due variabili).
      • Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
      • Formule di riduzione per integrali doppi su rettangoli.
      • Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate su rettangoli.
      • Misurabilità degli insiemi normali nel piano.
      • Rettificabilità delle curve C1.
      • Caratterizzazione dei campi conservativi tramite integrali.
      • Un campo conservativo è irrotazionale.
      • Invarianza omotopica dell'integrale curvilineo di un campo conservativo.
      • Un campo irrotazionale su un insieme semplicemente connesso è conservativo.
      • Teorema di Gauss-Green per domini regolari normali in R2.
      • Versore normale e piano tangente a una superficie cartesiana.
      • Invarianza (a meno del segno) del flusso per riparametrizzazioni.
      • Teorema della divergenza.
      • Teorema di Stokes.
      • Criterio del confronto integrale per serie numeriche.
      • Criterio della radice.
      • Criterio del rapporto.
      • Convergenza assoluta implica convergenza semplice.
      • Criterio di Leibniz.
      • Dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare del I ordine.
      • Convergenza assoluta dell'esponenziale di matrici.
      • L'esponenziale di matrici è risolvente del sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti.
      • Calcolo dell'esponenziale di matrici diagonalizzabili.
      • Radici del polinomio caratteristico di un'equazione lineare di ordine n a coefficienti costanti e autovalori della matrice del sistema associato.
      • Soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione lineare di ordine n a coefficienti costanti omogenea.
      • Soluzione particolare dell'equazione non omogenea tramite il metodo di variazione delle costanti.
    • Date
Co-teacher, with Y. Tanimoto, of the course Mathematical Analysis 2, bachelor course in Engineering Sciences, I semester
  • Timetable
    Monday 14.00 - 15.30 room 8
    Wednesday 9.30 - 11.00 room 8
    Friday 14.00 - 15.30 room 8
  • Course homepage
  • Lectures diary (for my part of the course)
    24/9 Sequences of functions: pointwise and uniform convergence. Examples. Continuity of the limit and passage to the limit under the integral.
    26/9 Series of functions: pointwise and uniform convergence. Continuity of the sum and term-by-term integration for uniformly convergent series. Weierstrass M-test. Power series. Examples. Existence of the radius of convergence.
    28/9 Exercises on sequences of functions and power series.
    1/10 Differentiability of power series. Taylor series. Unicity of the expansion in power series. Sufficient condition for the Taylor series expansion. Taylor series of sinx, cosx, ex, log(1+x), arctanx, (1+x)α.
    3/10 Solution of differential equations by power series. Scalar and vector fields. Interior, exterior, boundary and accumulation points of sets in Rn. Open and closed sets. Examples. Limit of a function of several variables. Operations with limits.
    5/10 Exercises on Taylor series, solutions of differential equations by power series and sets in Rn.
    8/10 Composition of continuous functions. Examples. Derivative of a scalar field w.r.t. a vector. Mean value theorem. Directional and partial derivatives. Examples. Existence of partial derivatives does not imply continuity.
    10/10 Differentiability of scalar fields. Differentiability implies continuity and existence of directional derivatives. Sufficient condition for differentiability. Chain rule for scalar fields.
    12/10 Exercises on limits, continuity, partial derivatives and differentiability of scalar fields.
    15/10 Directional derivatives and differentiability of vector fields. Jacobian matrix. Chain rule. Examples and applications. Derivatives in polar coordinates. Derivatives of higher order. Schwarz's theorem (without proof).
    17/10 Solution of linear, first order partial differential equations with constant coefficients and of the one-dimensional wave equation.
    19/10 Exercises on the chain rule and on partial differential equations.
    3/12 Multiple integrals: step functions on n-rectangles and their integrals, integrable functions on n-rectangles, sets of content zero, integrability of bounded functions with content zero discontinuities on n-rectangles, bounded integrable functions on bounded stes. Sets in R3 projectable on coordinate planes and reduction formulas for triple integrals. Change of variables in multiple integrals. Cylindrical and spherical coordinates.
    5/12 Implicit, explicit and parametric surfaces. Fundamental vector product and its geometrical interpretation. Tangent plane to a parametric surface. Area of a parametric surface. Examples.
    7/12 Exercises on triple integrals and parametric surfaces.
Corso di Fondamenti di Analisi Matematica, corso di laurea triennale in Fisica, codocente Y. Tanimoto, II semestre
  • Orario del corso
    Martedì ore 14.30 - 16.30 aula G2C
    Venerdì ore 14.30 - 16.30 aula 10
  • Programma di massima
    Spazi normati e operatori limitati. Spazi metrici e topologici. Nets, continuità, compattezza (locale). Cenni di teoria dell'integrazione alla Lebesgue. Spazi di Hilbert e operatori. C*-algebre commutative e teorema di Gelfand-Naimark. Teoria spettrale per operatori autoaggiunti (limitati) su spazi di Hilbert. Stati e rappresentazioni di C*-algebre. Formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Rappresentazioni delle relazioni di commutazione canoniche e algebra di Weyl. Teorema di Stone e operatore hamiltoniano. Particella libera e oscillatore armonico.

    Il corso è rivolto a studenti del terzo (o del secondo) anno. Prerequisito essenziale è la piena comprensione del contenuto dei corsi di Calcolo 1 e 2 e di Geometria. È inoltre consigliabile aver seguito i corsi di Meccanica Quantistica e Metodi Matematici della Fisica.
  • Calendario delle lezioni
    Lezioni dal 5/3 al 9/4 (Y. Tanimoto)
    16/4 Forme sesquilineari limitate e operatori. Aggiunto di un operatore. Identità di polarizzazione. Algebre di Banach e C*-algebre. Esempi.
    19/4 Spettro di un elemento in un'algebra di Banach. Esempi. Funzioni analitiche a valori in uno spazio di Banach. Proprietà dello spettro. Teorema del raggio spettrale di Gelfand (inizio della dim.).
    30/4 Teorema del raggio spettrale di Gelfand (fine della dim.) Spettri di elementi di una C*-algebra. Spettro e trasformata di Gelfand di un'algebra di Banach commutativa.
    3/5 Compattezza dello spettro di Gelfand. Ideali propri. Quozienti di spazi normati rispetto a sottospazi chiusi e di algebre di Banach rispetto a ideali chiusi.
    7/5 Corrispondenza tra caratteri e ideali propri massimali di un'algebra di Banach. Continuità dei caratteri. Spettro di un elemento di un'algebra di Banach commutativa e caratteri. Teorema di Stone-Weierstrass (lemmi preliminari).
    10/5 Teorema di Stone-Weiestrass (fine delle dimostrazione). Teorema dell'isomorfimso di Gelfand.
    13/5 Funtorialità dell'isomorfismo di Gelfand. Permanenza spettrale per C*-sottoalgebre. Calcolo funzionale continuo.
    17/5 Cono degli elementi positivi di una C*-algebra. Operatori positivi su uno spazio di Hilbert. Calcolo funzionale boreliano (unicità).
    21/5 Calcolo funzionale boreliano (esistenza). Misure spettrali. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti limitati (versione con misure spettrali).
    24/5 Caratterizzazione degli elementi dello spettro tramite la misura spettrale. Versione del teorema spettrale con operatori di moltiplicazione (senza dim.). Stati e rappresentazioni di C*-algebre. Teorema di Gelfand-Naimark-Segal.
    28/5 Stati puri e rappresentazioni irriducibili.
    31/5 Formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Ensembles e procedure, stati e osservabili e loro struttura matematica. Spettro fisico di un'osservabile. Funzioni di osservabili. Postulato C*. Commutatività dell'algebra delle osservabili in Meccanica Classica. Principio di Heisenberg generalizzato.
    4/6 Relazioni di commutazione di Heisenberg e relazioni di Weyl. Realizzazione di Schroedinger e C*-algebra di Weyl. Rappresentazioni regolari.
    7/6 Regolarità e irriducibilità della rappresentazione di Schroedinger. Teorema di unicità di Weyl-von Neumann.

 Last modified: Sep. 16, 2020