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Richiami di insiemistica: unione, intersezione, differenza, complementare e loro proprietà. Insiemi numerici: numeri naturali, interi e razionali. Struttura di campo ordinato di Q.
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| 24/9 |
Proprietà dei campi ordinati. Principio di Archimede in Q. Non esistenza della radice di 2 in Q. I razionali come allineamenti decimali periodici propri (senza dim.). Definizione dei reali come allineamenti decimali propri (non necessariamente periodici). R è un campo ordinato archimedeo (senza dim.). Intervalli. Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore e inferiore di un insieme. Esempi.
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Proprietà caratteristiche di inf e sup. Esempi. Completezza di R. Esistenza della radice quadrata di un reale positivo.
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Esistenza della radice n-esima di un reale positivo (senza dim.). Densità dei razionali e degli irrazionali in R. Principio di induzione. Esempi: disuguaglianza di Bernoulli, somma dei primi n naturali. Somma di una progressione geometrica. Cenni di calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, combinazioni.
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Proprietà dei coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton. Generalità sulle funzioni. Dominio, codominio, immagine e grafico. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Esempi.
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| 1/10 |
Invertibilità di una funzione biunivoca. Relazione tra il grafico di una funzione e della sua inversa. Esempi. Cardinalità di un insieme. Numerabilità di Q e non numerabilità di R. Funzioni (strettamente) crescenti e decrescenti. Esempi.
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Invertibilità delle funzioni strettamente monotone. Funzioni composte. Funzioni pari e dispari. Esempi. Valore assoluto e sue proprietà. Potenze a esponente razionale e loro proprietà (senza dim.). Esempi di loro grafici. Potenze a esponente reale e loro proprietà (senza dim.).
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Esercizi sul principio di induzione e su estremi inferiori e superiori.
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| 8/10 |
Funzione esponenziale, sue proprietà e suo grafico. Logaritmi, loro proprietà e grafici. Funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente. Loro grafici, valori notevoli, e proprietà (senza dim.). Funzioni trigonometriche inverse.
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Operazioni sui grafici. Esempi. Successioni. Definizione di successione convergente, divergente, irregolare. Esempi.
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Insieme dei reali esteso. Proprietà che valgono definitivamente. Unicità del limite. Limitatezza delle successioni convergenti. Regolarità delle successioni monotone. Stabilità del limite per passaggio a sottosuccessioni. Teorema della permanenza del segno. Teoremi del confronto e dei carabinieri. Esempi.
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| 14/10 |
Algebra dei limiti finiti. Limiti per eccesso e per difetto. Estensione ai limiti infiniti e forme indeterminate. Esempi. Limiti di potenze, logaritmi ed esponenziali (senza dim.).
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| 15/10 |
Forme indeterminate per le potenze. Successioni o(1). Successioni asintoticamente equivalenti. Esempi di risoluzione di forme indeterminate. Confronto di infinitesimi e infiniti. Criterio del rapporto. Gerarchia degli infiniti. Limiti notevoli trigonometrici (inizio dim.).
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| 16/10 |
Limiti notevoli trigonometrici (fine dim.). Esempi di uso della gerarchia di infiniti e dei limiti notevoli nel calcolo dei limiti. Il numero di Nepero.
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Esercizi su limiti di successioni.
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Limiti notevoli riconducibili al numero di Nepero. Esempi di risoluzione di forme indeterminate 1∞. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy ed equivalenza con la convergenza. Intorni. Definizione di limite di una successione tramite intorni.
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| 22/10 |
Formula di Stirling (senza dim.). Punti di accumulazione. Definizione generale di limite di funzione. Casi particolari. Limite destro e sinistro. Esempi. Teorema ponte.
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| 23/10 |
Teoremi generali sui limiti di funzioni (unicità, permanenza del segno, carabinieri, algebra dei limiti, forme indeterminate). Esempi. Limiti di funzioni monotone e suriettive tra intervalli. Limiti di potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche.
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| 24/10 |
Esercizi su limiti di successioni, topologia di R e definizione di limite di funzione.
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| 28/10 |
Limiti di funzioni composte. Gerarchia di infiniti e infinitesimi. Esempi. Limiti notevoli.
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| 29/10 |
Equivalenza asintotica di funzioni e suo uso nel calcolo dei limiti. Simboli di Landau e loro proprietà algebriche. Esempi.
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| 30/10 |
Regolarità delle funzioni monotone. Funzioni continue. Permanenza del segno. Algebra delle funzioni continue e continuità delle funzioni elementari. Continuità del valore assoluto. Continuità a destra e a sinistra. Classificazione dei punti di discontinuità. Esempi.
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| 31/10 |
Esercizi su limiti di successioni e di funzioni.
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| 4/11 |
Punti di discontinuità di funzioni monotone. Asintoti verticali, orizzontali, obliqui. Esempi. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi.
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| 5/11 |
Applicazione del teorema degli zeri alla soluzione approssimata di equazioni. Funzioni continue e iniettive su un intervallo: stretta monotonia e continuità dell'inversa. Esempi e controesempi. Teorema di Weierstrass e conseguenze. Continuità uniforme.
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| 6/11 |
Teorema di Heine-Cantor. Esempi. Derivata. Interpretazione geometrica e retta tangente al grafico di una funzione. Continuità delle funzioni derivabili. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate.
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| 7/11 |
Derivata di una funzione composta. Esempi. Punti a tangente verticale. Derivata della funzione inversa. Derivate delle funzioni trigonometriche inverse.
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| 11/11 |
Derivata destra e sinistra. Cuspidi e punti angolosi. Esempi. Punti estremali locali e globali. Punti stazionari. Esempi. Teorema di Fermat. Determinazione del massimo e minimo di una funzione continua in un intervallo chiuso. Esempi.
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| 12/11 |
Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Criterio differenziale di monotonia. Esempi di studio della monotonia e dei punti estremali. Costanza di funzioni con derivata nulla su un intervallo. Esempi.
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| 13/11 |
Applicazione del teorema di Lagrange allo studio della derivabilità. Derivate successive. Funzioni di classe Cn e C∞. Funzioni convesse. Monotonia del rapporto incrementale di funzioni convesse. Monotonia della derivata prima di funzioni convesse. Caratterizzazione della convessità tramite la derivata seconda.
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| 14/11 |
Flessi. Esempi. Una funzione convessa sta sopra le sue tangenti. Teorema di Cauchy. Teorema di de L'Hopital. Esempi di sua applicazione.
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| 18/11 |
Funzioni iperboliche e iperboliche inverse e loro proprietà. Esercizi su studio del grafico di una funzione.
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| 19/11 |
Esercizi su studio del grafico di una funzione.
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| 20/11 |
Esercizi su studio del grafico di una funzione e su limiti di funzioni e successioni.
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| 21/11 |
Esercizi su limiti di funzioni e successioni. Formula di Taylor con resto di Peano al secondo ordine. Formula di Taylor con resto di Peano all'ordine n (solo enunciato). Primi sviluppi di MacLaurin notevoli.
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| 25/11 |
Formula di Taylor con resto di Peano all'ordine n (dimostrazione). Ulteriori sviluppi di MacLaurin notevoli. Esempi di calcolo di polinomi di Taylor tramite l'unicità.
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| 26/11 |
Applicazioni del polinomio di Taylor al calcolo di limiti. Formula di Taylor con resto di Lagrange. Applicazione all'approssimazione di funzioni. Irrazionalità del numero di Nepero.
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Esercizi su sviluppi di Taylor e applicazioni al calcolo dei limiti.
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| 2/12 |
Numeri complessi. Proprietà di corpo e non ordinabilità. Parte reale e immaginaria, coniugato e modulo di un numero complesso e loro proprietà. Piano di Argand-Gauss. Forma trigonometrica di un numero complesso e interpretazione geometrica del prodotto.
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| 3/12 |
Esponenziale di un numero complesso e forma esponenziale. Potenze intere di un numero complesso. Formule di De Moivre e di Eulero. Radici n-esime di un numero complesso. Esempi di soluzione di equazioni complesse.
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| 4/12 |
Equazioni complesse di secondo grado. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dim.) e fattorizzazione di un polinomio reale in polinomi irriducibili. Esempi. Introduzione alla teoria dell'integrazione. Partizioni di un intervallo. Somme integrali inferiori e superiori relative a una partizione.
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Monotonia delle somme integrali rispetto all'infittimento. Funzioni integrabili. Esempi e controesempi. Criterio di integrabilità. Integrale come limite di somme integrali al tendere a zero dell'ampiezza della partizione.
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Esercizi sui numeri complessi.
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| 10/12 |
Proprietà dell'integrale (senza dim.). Integrabilità delle funzioni continue. Integrabilità delle funzioni continue a meno di un numero finito di punti. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale.
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| 11/12 |
Primitive. Unicità della primitiva a meno di costanti additive. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive immediate. Integrazione per parti. Esempi.
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| 12/12 |
Integrazione per sostituzione. Esempi. Integrali di funzioni pari o dispari su intervalli simmetrici. Scomposizione in fratti semplici (senza dim.) e integrazione delle funzioni razionali. Esempi.
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| 15/12 |
Ulteriori esempi di integrali di funzioni razionali. Formula di Hermite (senza dim.). Classi di integrali riducibili a integrali di funzioni razionali tramite opportune sostituzioni. Esempi.
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Ulteriori classi di integrali riducibili a integrali di funzioni razionali tramite opportune sostituzioni. Esempi. Integrali impropri. Integrabilità di 1/xα e di 1/x |log x|β in zero e all'infinito.
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| 18/12 |
Integrabilità impropria di funzioni non negative. Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Esempi. Funzioni assolutamente impropriamente integrabili. L'assoluta integrabilità implica l'integrabilità.
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| 18/12 |
Esempi di integrali impropri di funzioni di segno variabile. Introduzione alle equazioni differenziali. Equazione del moto di un grave in assenza e in presenza di attrito. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Integrale generale dell'equazione non omogenea. Equazioni lineari del I ordine. Integrale generale dell'equazione omogenea. Metodo di variazione della costante e integrale generale dell'equazione non omogenea.
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Esercizi su integrali.
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Esercizi su integrali impropri.
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Limiti e derivate di funzioni a valori complessi di una variabile reale. Integrale generale di un'equazione lineare omogenea del II ordine a coefficienti costanti. Esempi. Metodo di somiglianza per la soluzione particolare di un'equazione differenziale del II ordine lineare a coefficienti costanti (senza dim.). Esempi. Riduzione dell'ordine.
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Ulteriori esempi sul metodo di somiglianza. Problema di Cauchy. Esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy per equazioni lineari del II ordine a coefficienti costanti. Esempi. Equazioni a variabili separabili. Esistenza e unicità della soluzione massimale del problema di Cauchy (solo enunciato). Esempi.
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Dimostrazione del teorema di esistenza e unicità della soluzione massimale del problema di Cauchy per equazioni a variabili separabili. Ulteriori esempi.
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Esercizi su equazioni differenziali.
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| 14/1 |
Esercizi di riepilogo.
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| 15/1 |
Esercizi di riepilogo.
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| 16/1 |
Esercizi di riepilogo.
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