6/3	Somme di Riemann inferiori e superiori e loro monotonia. Nozione di integrabilità secondo Riemann di funzioni reali di una variabile. Esempi. Integrabilità delle funzioni continue, monotone (senza dim.), e continue a tratti (senza dim.).
7/3	Linearità, additività, monotonia dell'integrale (s.d.). Interpretazione geometrica dell'integrale di una fuzione di segno arbitrario. Teorema della media. Funzioni integrali. Teorema fondamentale del calcolo. Primitive. Esercizi.
13/3	Metodi di integrazione per parti e per sostituzione. Esercizi.
14/3	Camilla Pisani (tutor): esercizi su integrazione per parti e per sostituzione; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrali di funzioni del tipo xnlog(x), sen(ax)cos(bx), xncos(ax), x logn(x).
16/3	Integrali di funzioni razionali. Esercizi. Integrali riconducibili a integrali razionali mediante sostituzione.
20/3	Integrabilità in senso improprio. Criteri del confronto e del confronto asintotico. Esercizi.
21/3	Camilla Pisani (tutor): esercizi su integrali di funzioni razionali o che si riconducono a tali tramite sostituzione; integrali impropri con uso del criterio del confronto per funzioni non negative.
23/3	Assoluta integrabilità in senso improprio. Criterio integrale di convergenza per serie a termini non negativi. Esercizi.
27/3	Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Teoremi di continuità del limite uniforme e di passaggio al limite sotto il segno di derivata e integrale. Esempi.
28/3	Nozioni di convergenza puntuale e uniforme di serie di funzioni. Convergenza uniforme di serie di potenze. Teoremi di continuità, integrazione e derivazione di serie di potenze. Unicità dello sviluppo in serie di potenze. Serie di Taylor di log(1+x), arctg x. Esercizi.
30/3	Camilla Pisani (tutor): esercizi su integrali impropri con uso del criterio del confronto e del confronto asintotico; convergenza assoluta di integrali; studi di funzioni integrali (con attenzione alla ricerca di eventuali asintoti); sviluppo di Mc Laurin di arcsen x a partire da quello di (1+x)a.
3/4	Elementi di topologia in Rn: punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati, insiemi aperti, chiusi e limitati. Esercizi. Nozione di limite di una funzione reale di n variabili reali.
4/4	Camilla Pisani (tutor): esercizi su successioni e serie di funzioni.
6/4	Esercizi su integrali impropri e successioni di funzioni.
11/4	Camilla Pisani (tutor): esercizi di riepilogo.
17/4	Limite di una funzione vettoriale di n variabili reali e riduzione a funzioni scalari. Proprietà generali dei limiti (s.d.). Esempi. Successioni in Rn. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Crietrio di convergenza di Cauchy (s.d.). Insiemi compatti di Rn e teorema di Weierstrass (s.d.). Funzioni uniformemente continue e teorema di Heine-Cantor (s.d.). Curve parametriche. Esempi.
18/4	Camilla Pisani (tutor): esercizi su insiemi di definizione, curve parametriche, verifica di limiti tramite definizione.
20/4	Insiemi connessi, teoremi di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Esercizi sul calcolo di limiti di funzioni di due variabili.
24/4	Derivate direzionali, derivate parziali e gradiente; regole di derivazione parziale; esempi. Differenziabilità e sue conseguenze (continuità e derivabilità); controesempi.
27/4	Camilla Pisani (tutor): esercizi su curve parametriche e su limiti, derivate parziali, differenziabilità di funzioni di più variabili.
2/5	Teorema del differenziale totale e esempi. Piano tangente; gradiente come direzione di massima variazione. Regola della catena (s.d.); teorema del valor medio (s.d.). Derivate direzionali e parziali di ordine superiore; teorema di Schwarz (s.d.).
4/5	Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange al II ordine; formula di Taylor con resto di Peano all'ordine m (s.d.). Massimi e minimi locali di funzioni di più variabili; stazionarietà dei punti estremali; condizioni sufficienti del II ordine per l'estremalità.
8/5	Esercizi su punti estremali. Derivabilità e differenziabilità di funzioni a valori vettoriali; jacobiano; regola della catena. Curve semplici e chiuse; curve cartesiane e polari; retta e vettore tangenti a una curva, curve regolari; cambiamenti di parametro e curve equivalenti.
9/5	Camilla Pisani (tutor): esercizi su differenziabilità e punti estremali di funzioni di più variabili.
11/5	Curve rettificabili; rettificabilità di curve C1; indipendenza dalla parametrizzazione; esempi. Nozione di integrabilità di funzioni definite su un rettangolo; integrabilità delle funzioni continue (s.d.); proprietà dell'integrale (s.d.); formule di riduzione; esercizi.
15/5	Funzioni integrabili su insiemi limitati; insiemi misurabili; caratterizzazione degli insiemi misurabili; proprietà degli insiemi misurabili; integrabilità di funzioni continue su un rettangolo a meno di insiemi di misura nulla e di funzioni continue su un insieme misurabile.
16/5	Camilla Pisani (tutor): esercizi su calcolo di limiti di funzioni di due variabili tramite la formula di Taylor, curve parametriche, integrali doppi.
18/5	Additività dell'integrale doppio; domini normali del piano e formule di riduzione; esercizi.

Regole: un errore negli esercizi preliminari equivale a -5 punti, due o più errori comportano la non valutazione del test. Il voto medio dei due test migliori contribuirà per il 30% al voto finale dello scritto.

I° test 13/4/12	Testo con soluzioni	Risultati
II° test 28/5/12 ore 14.00 aula T8
III° test 8/6/12

6/12	Curve parametriche in R2 e R3. Curve semplici e chiuse. Retta e vettore tangente ad una curva, curve regolari. Curve in coordinate polari. Esempi.
7/12	Lunghezza di una curva. Curve equivalenti e cambiamenti di parametro. Integrali curvilinei. Forme differenziali e campi vettoriali. Lavoro di un campo vettoriale e campi conservativi. Esempi.
13/12	Integrale di una forma differenziale su una curva. Forme differenziali esatte e loro caratterizzazioni in termini di integrali su curve. Esempi.
14/12	Forme differenziali chiuse. Esattezza di forme chiuse su aperti stellati e semplicemente connessi. Esempi.
15/12	Francesca Siclari (tutor): Esercizi su regolarità e lunghezza di curve. Esercizi su forme differenziali: integrali su curve, chiusura, esattezza e calcolo di primitive.
20/12	Fattore integrante di una forma differenziale. Esercizi su fattori integranti, campi vettoriali, lughezza di una curva.
22/12	Francesca Siclari (tutor): Esercizi su integrali doppi in coordinate cartesiane e polari.
17/1	Esercizi su serie numeriche e massimi e minimi relativi e assoluti di funzioni di due variabili.

Scritto 20/2/12

Testo

Risultati

5/10	Domini normali in R2 e loro misura. Partizione di un dominio normale in domini normali di diametro assegnato. Additività finita della misura. Nozione di integrabilità di una funzione limitata su un dominio normale.
12/10	Integrabilità delle funzioni continue. Esempio di funzione non integrabile. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Additività finita dell'integrale (note). Estensione dell'integrale a unioni di domini normali. Esercizi.
19/10	Tutorato (testo). Cambiamento di variabili negli integrali doppi (senza dim.). Cambiamento di variabili a meno di insiemi di misura nulla (senza dim.). Coordinate polari.
26/10	Monotonia dell'integrale. Dimostrazione del teorema di cambiamento di variabili a meno di insiemi di misura nulla (note). Tutorato (testo).
28/10	Domini normali in R3. Nozione di integrale triplo di una funzione limitata. Integrabilità delle funzioni continue e formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali tripli: coordinate sferiche e cilindriche. Primo teorema di Guldino. Esercizi.
2/11	Esercizi sugli integrali tripli. Tutorato (testo).
9/11	Intervalli in Rn e loro proprietà, misura degli intervalli. Plurintervalli in Rn e loro proprietà. Misura dei plurintervalli, sua indipendenza dalla partizione e sue proprietà (note).
16/11	Misura secondo Peano-Jordan in Rn e sua (sub-)additività e montonia. Esempio di insieme non misurabile. Caratterizzazione degli insiemi misurabili. Misura di un prodotto cartesiano.
23/11	Nozione di integrabilità alla Riemann su Rn. Linearità, monotonia e additività dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue quasi-ovunque (note).
30/11	Caratterizzazione dell'integrabilità tramite funzioni semplici. Formula di riduzione per integrali in Rn (note). Misurabilità dei domini normali. Cambiamento di variabili (senza dim.). Misura della palla unitaria n-dimensionale.

• Additività dell'integrale doppio
• Cambiamenti di variabili invertibili a meno di insiemi di misura nulla
• Plurintervalli in Rⁿ e loro misura
• Integrabilità delle funzioni continue quasi ovunque
• Formula di riduzione per integrali in Rⁿ

19/10/11

26/10/11

2/11/11

Scritto 1/2/12

Testo

Risultati

10/3	Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme, teoremi di scambio dei limiti, di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata.
17/3	Esercizi su successioni di funzioni. Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale; teoremi di integrazione e derivazione per serie.
24/3	Esercizi su serie di funzioni. Serie di potenze: raggio di convergenza e teorema di Cauchy-Hadamard.
29/3	Serie di potenze: teorema di D'Alembert, teorema sul raggio di convergenza della serie derivata, teorema di derivazione ed integrazione per serie, teorema di Abel (senza dim.). Serie di Taylor: unicità dello sviluppo. Esercizi su serie di funzioni e serie di potenze.
7/4	Serie di Taylor: condizioni sufficienti di sviluppabilità; sviluppi notevoli. Esercizi.
14/4	Serie di potenze complesse, esponenziale complessa, formule di Eulero. Serie di Fourier: definizione e prime proprietà.
21/4	Serie di Fourier: teoremi di convergenza puntuale e totale; esempi.
28/4	Criterio di Abel-Dirichlet, convergenza uniforme della serie di Fourier di f(x)=x.
7/5	Serie di Fourier: teorema di convergenza uniforme e di integrazione per serie, funzioni di periodo arbitrario, forma complessa.
12/5	Esercizi sulle serie di Fourier. Spazi metrici: definizione ed esempi, successioni convergenti, unicità del limite.
17/5	Funzione continue su spazi metrici, teorema ponte. Spazi metrici completi, esempi, teorema delle contrazioni, applicazione al teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy. Spazi normati e di Banach, esempi.
26/5	Esercizi di ricapitolazione.

Si ricorda che il programma di quest'anno era coperto, negli anni passati, da parti dei corsi di Analisi 3 e 4
Analisi 4	9/6/09	15/6/09	13/7/09	8/2/10
Analisi 3	Consultare i siti dei corsi degli anni 2007/08 e 2008/09 del prof. R. Molle

Scritto 7/6/10	Testo	Risultati
Scritto 8/7/10	Testo	Risultati
Scritto 8/9/10	Testo	Risultati
Scritto 7/3/11	Testo	Risultati

Scritto 10/6/10 ore 10:00	Testo	Risultati
Scritto 6/7/10 ore 10:00	Testo