Didattica


Ricevimento: su appuntamento, scrivendo a morsella(at)mat.uniroma2.it .
Studio 0111, piano terra, primo dente del Dipartimento di Matematica.

Anno accademico 2017/18

Co-teacher, with Y. Tanimoto, of the course Mathematical Analysis 2, bachelor course in Engineering Sciences
  • Lectures diary (for my part of the course)
    25/9 Sequences. Definition of limit. Operations with limits. Indeterminate forms.
    27/9 Boundedness of convergent sequences. Monotonic sequences. Series. Definition of convergent, divergent, indeterminate series. Harmonic, telescopic and geometric series.
    29/9 Exercises on sequences and series (Texts with solutions of the exercises not discussed in class).
    2/10 Necessary condition for convergence. Series with non-negative terms. Convergence tests: comparison, asymptotic comparison, integral, root and ratio. Generalized harmonic series.
    4/10 Alternating series. Leibniz rule. Sum of the alternating harmonic series. Absolute and conditional convergence. Dirichlet's and Abel's tests. Examples.
    6/10 Exercises on series (Texts with solutions of the exercises not discussed in class).
    9/10 Improper integrals. Definition. Comparison and asymptotic comparison tests (without proof). Absolute integrability (w.p.). Examples. Sequences of functions. Pointwise convergence. Examples.
    11/10 Uniform convergence of sequences and series of functions. Examples. Continuity of the limit and passage to the limit under the integral. Weierstrass M-test.
    13/10 Exercises on improper integrals and sequences of functions (Texts with solutions of the exercises not discussed in class).
    30/10 Chain rule for functions of several variables. Level sets. Tangent plane to the level sets and to the graph of a function. Differentiability of vector fields. Jacobian.
    3/11 Examples and applications of the chain rule. Derivatives in polar coordinates. Derivatives of higher order. Schwarz's theorem (w.p.). Exercises on differentiability.
    27/11 Methods for computing potentials. Differentiation under the integral sign. Potentials of vector fields on convex sets. Applications to differential equations.
    29/11 Partitions of rectangles. Step functions and their integrals. Notion of integrability for functions on a rectangle. Iterated integrals. Examples.
    1/12 Exercises on vector fields and double integrals on rectangles.
    4/12 Sets of content zero. Integrability of functions with discontinuity on sets of content zero. Notion of integrability for functions on bounded stes. Sets of Type I and II. Integrability of continuous functions on sets of Type I and II and reduction formulas.
    15/12 Exercises on double integrals.
Corso di Fondamenti di Analisi Matematica, corso di laurea triennale in Fisica
  • Programma di massima
    Spazi normati e operatori limitati. Spazi metrici e topologici. Nets, continuità, compattezza (locale). Cenni di teoria dell'integrazione alla Lebesgue. Spazi di Hilbert e operatori. C*-algebre commutative e teorema di Gelfand-Naimark. Teoria spettrale per operatori autoaggiunti (limitati) su spazi di Hilbert. Stati e rappresentazioni di C*-algebre. Formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Rappresentazioni delle relazioni di commutazione canoniche e algebra di Weyl. Teorema di Stone e operatore hamiltoniano. Particella libera e oscillatore armonico.

    Il corso è rivolto a studenti del terzo (o del secondo) anno. Prerequisito essenziale è la piena comprensione del contenuto dei corsi di Calcolo 1 e 2 e di Geometria. È inoltre consigliabile aver seguito i corsi di Meccanica Quantistica e Metodi Matematici della Fisica.

Anno accademico 2016/17

Tutorato del corso di Analisi Matematica 1, corso di laurea triennale in Matematica, titolare prof. D. Guido
Corso di Fondamenti di Analisi Matematica, corso di laurea triennale in Fisica
  • Orario del corso
    Martedì ore 14.30 - 16.30 aula G2C
    Mercoledì ore 14.30 - 16.30 aula G2C
  • Programma di massima
    Spazi normati e operatori limitati. Spazi metrici e topologici. Nets, continuità, compattezza (locale). Cenni di teoria dell'integrazione alla Lebesgue. Spazi di Hilbert e operatori. C*-algebre commutative e teorema di Gelfand-Naimark. Teoria spettrale per operatori autoaggiunti (limitati) su spazi di Hilbert. Stati e rappresentazioni di C*-algebre. Formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Rappresentazioni delle relazioni di commutazione canoniche e algebra di Weyl. Teorema di Stone e operatore hamiltoniano. Particella libera e oscillatore armonico.

    Il corso è rivolto a studenti del terzo (o del secondo) anno. Prerequisito essenziale è la piena comprensione del contenuto dei corsi di Calcolo 1 e 2 e di Geometria. È inoltre consigliabile aver seguito i corsi di Meccanica Quantistica e Metodi Matematici della Fisica.
  • Calendario delle lezioni
    7/3 Spazi normati, esempi. Operatori limitati tra spazi normati, esempi. (Esercizi.)
    8/3 Spazi metrici completi e spazi di Banach, esempi. (Esercizi.)
    14/3 B(X,Y) è di Banach per Y di Banach. Topologia indotta da una metrica. Chiusura. Caratterizzazione dei chiusi metrici tramite successioni. Estensione di operatori limitati densamente definiti. (Esercizi.)
    15/3 Completamento di spazi metrici e normati. Spazi topologici. Intorni. Spazi di Hausdorff. Insiemi parzialmente ordinati diretti e nets. (Esercizi.)
    21/3 Caratterizzazione della topologia tramite convergenza di nets. Funzioni continue su uno spazio topologico. Norme equivalenti, esempi, equivalenza di norme su spazi a dimensione finita. (Esercizi.)
    22/3 Non compattezza della palla unitaria in spazi a dimensione infinita. Teorema di Heine-Borel. Spazi topologici compatti. Sottonet e punti limite. Teorema di Bolzano-Weierstrass generalizzato. (Esercizi.)
    28/3 Anelli, algebre, σ-algebre e misure su di essi. Insiemi elementari in Rn e loro misura. Misura esterna di Lebesgue.
    28/3 Prolungamento di Lebesgue di una misura sugli insiemi elementari. Misure di Lebesgue e Lebesgue-Stieltjes. Boreliani. Regolarità del prolungamento. (Esercizi.)
    4/4 Spazi di misura, esempi. Funzioni misurabili e loro proprietà. (Esercizi.)
    5/4 Approssimazione di funzioni misurabili tramite funzioni semplici. Integrale di funzioni positive e sue proprietà. Teorema di convergenza monotona. Lemma di Fatou. Integrale di funzioni complesse. (Esercizi.)
    11/4 Proprietà dell'integrale di funzioni complesse. Teorema di convergenza dominata. Teorema di Vitali-Lebesgue. (Esercizi.)
    12/4 Teorema fondamentale del calcolo (s.d.). Spazi Lp (p=1,2,+∞) e loro completezza. Densità delle funzioni continue in Lp. (Esercizi.)
    18/4 Forme sesquilineari e prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Spazi di Hilbert. Identità di polarizzazione e del parallelogramma. Esempi. Completamento di uno spazio prehilbertiano. (Esercizi.)
    19/4 Ortogonali. Teorema della proiezione; proiettore su un sottospazio chiuso. Teorema di rappresentazione di Riesz. (Esercizi.)
    26/4 Sistemi e basi ortonormali. Caratterizzazioni delle basi ortonormali e loro esistenza. (Esercizi.)
    2/5 Procedimento di Gram-Schmidt e spazi di Hilbert separabili. Forme sesquilineari limitate e operatori. Aggiunto di un operatore. Algebre di Banach e C*-algebre. Esempi. (Esercizi.)
    3/5 Spettro di un elemento in un'algebra di Banach. Esempi. Funzioni analitiche a valori in uno spazio di Banach. Proprietà dello spettro. (Esercizi.)
    9/5 Teorema del raggio spettrale. Spettri di elementi di una C*-algebra. (Esercizi.)
    10/5 Spettro e trasformata di Gelfand di un'algebra di Banach commutativa. Ideali propri. Quozienti di spazi normati rispetto a sottospazi chiusi e di algebre di Banach rispetto a ideali chiusi. (Esercizi.)
    16/5 Corrispondenza tra caratteri e ideali propri massimali di un'algebra di Banach. Continuità dei caratteri. Spettro di un elemento di un'algebra di Banach commutativa e caratteri. Teorema di Stone-Weierstrass: lemma preliminare. (Esercizi.)
    17/5 Teorema di Stone-Weierstrass (fine della dim.). Teorema di Gelfand-Naimark commutativo. Funtorialità dell'isomorfismo di Gelfand. (Esercizi.)
    23/5 Permanenza spettrale per C*-sottoalgebre. Calcolo funzionale continuo. Cono degli elementi positivi di una C*-algebra. (Esercizi.)
    24/5 Operatori positivi su uno spazio di Hilbert. Calcolo funzionale boreliano. Misure spettrali. (Esercizi.)
    6/6 Teorema spettrale per operatori autoaggiunti limitati. Caratterizzazione degli elementi dello spettro tramite la misura spettrale. (Esercizi.)
    7/6 Versione del teorema spettrale con operatori di moltiplicazione (senza dim.). Stati e rappresentazioni di C*-algebre; teorema di Gelfand-Naimark-Segal. Rappresentazione universale e teorema di Gelfand-Naimark. (senza dim.) Stati puri e rappresentazioni irriducibili. (senza dim.) (Esercizi.)
    8/6 Cenni alla formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Ensembles e procedure, stati e osservabili e loro struttura matematica. Postulato C*. Commutatività dell'algebra delle osservabili in Meccanica Classica. Principio di Heisenberg generalizzato. Relazioni di commutazione di Heisenberg.
    9/6 Relazioni di Weyl. Realizzazione di Schroedinger e C*-algebra di Weyl. Rappresentazioni regolari. Regolarità e irriducibilità della rappresentazione di Schroedinger. Teorema di unicità di Weyl-von Neumann.
  • Esercizi proposti a lezione
  • Note del corso
    Col procedere delle lezioni, si renderanno disponibili le note del corso 2016/17, almeno finché riuscirò a trovare il tempo di scriverle. Ogni segnalazione di errori o imprecisioni sarà ben gradita.

    Versione del 10/5/17

 Last modified: Jan. 9, 2018.