Didattica


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Studio 0111, piano terra, primo dente del Dipartimento di Matematica.

Anno accademico 2016/17

Tutorato del corso di Analisi Matematica 1, corso di laurea triennale in Matematica, titolare prof. D. Guido
Corso di Fondamenti di Analisi Matematica, corso di laurea triennale in Fisica
  • Orario del corso
    Martedì ore 14.30 - 16.30 aula G2C
    Mercoledì ore 14.30 - 16.30 aula G2C
  • Programma di massima
    Spazi normati e operatori limitati. Spazi metrici e topologici. Nets, continuità, compattezza (locale). Cenni di teoria dell'integrazione alla Lebesgue. Spazi di Hilbert e operatori. C*-algebre commutative e teorema di Gelfand-Naimark. Teoria spettrale per operatori autoaggiunti (limitati) su spazi di Hilbert. Stati e rappresentazioni di C*-algebre. Formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Rappresentazioni delle relazioni di commutazione canoniche e algebra di Weyl. Teorema di Stone e operatore hamiltoniano. Particella libera e oscillatore armonico.

    Il corso è rivolto a studenti del terzo (o del secondo) anno. Prerequisito essenziale è la piena comprensione del contenuto dei corsi di Calcolo 1 e 2 e di Geometria. È inoltre consigliabile aver seguito i corsi di Meccanica Quantistica e Metodi Matematici della Fisica.
  • Calendario delle lezioni
    7/3 Spazi normati, esempi. Operatori limitati tra spazi normati, esempi. (Esercizi.)
    8/3 Spazi metrici completi e spazi di Banach, esempi. (Esercizi.)
    14/3 B(X,Y) è di Banach per Y di Banach. Topologia indotta da una metrica. Chiusura. Caratterizzazione dei chiusi metrici tramite successioni. Estensione di operatori limitati densamente definiti. (Esercizi.)
    15/3 Completamento di spazi metrici e normati. Spazi topologici. Intorni. Spazi di Hausdorff. Insiemi parzialmente ordinati diretti e nets. (Esercizi.)
    21/3 Caratterizzazione della topologia tramite convergenza di nets. Funzioni continue su uno spazio topologico. Norme equivalenti, esempi, equivalenza di norme su spazi a dimensione finita. (Esercizi.)
    22/3 Non compattezza della palla unitaria in spazi a dimensione infinita. Teorema di Heine-Borel. Spazi topologici compatti. Sottonet e punti limite. Teorema di Bolzano-Weierstrass generalizzato. (Esercizi.)
    28/3 Anelli, algebre, σ-algebre e misure su di essi. Insiemi elementari in Rn e loro misura. Misura esterna di Lebesgue.
    28/3 Prolungamento di Lebesgue di una misura sugli insiemi elementari. Misure di Lebesgue e Lebesgue-Stieltjes. Boreliani. Regolarità del prolungamento. (Esercizi.)
    4/4 Spazi di misura, esempi. Funzioni misurabili e loro proprietà. (Esercizi.)
    5/4 Approssimazione di funzioni misurabili tramite funzioni semplici. Integrale di funzioni positive e sue proprietà. Teorema di convergenza monotona. Lemma di Fatou. Integrale di funzioni complesse. (Esercizi.)
    11/4 Proprietà dell'integrale di funzioni complesse. Teorema di convergenza dominata. Teorema di Vitali-Lebesgue. (Esercizi.)
    12/4 Teorema fondamentale del calcolo (s.d.). Spazi Lp (p=1,2,+∞) e loro completezza. Densità delle funzioni continue in Lp. (Esercizi.)
    18/4 Forme sesquilineari e prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Spazi di Hilbert. Identità di polarizzazione e del parallelogramma. Esempi. Completamento di uno spazio prehilbertiano. (Esercizi.)
    19/4 Ortogonali. Teorema della proiezione; proiettore su un sottospazio chiuso. Teorema di rappresentazione di Riesz. (Esercizi.)
    26/4 Sistemi e basi ortonormali. Caratterizzazioni delle basi ortonormali e loro esistenza. (Esercizi.)
    2/5 Procedimento di Gram-Schmidt e spazi di Hilbert separabili. Forme sesquilineari limitate e operatori. Aggiunto di un operatore. Algebre di Banach e C*-algebre. Esempi. (Esercizi.)
    3/5 Spettro di un elemento in un'algebra di Banach. Esempi. Funzioni analitiche a valori in uno spazio di Banach. Proprietà dello spettro. (Esercizi.)
    9/5 Teorema del raggio spettrale. Spettri di elementi di una C*-algebra. (Esercizi.)
    10/5 Spettro e trasformata di Gelfand di un'algebra di Banach commutativa. Ideali propri. Quozienti di spazi normati rispetto a sottospazi chiusi e di algebre di Banach rispetto a ideali chiusi. (Esercizi.)
    16/5 Corrispondenza tra caratteri e ideali propri massimali di un'algebra di Banach. Continuità dei caratteri. Spettro di un elemento di un'algebra di Banach commutativa e caratteri. Teorema di Stone-Weierstrass: lemma preliminare. (Esercizi.)
    17/5 Teorema di Stone-Weierstrass (fine della dim.). Teorema di Gelfand-Naimark commutativo. Funtorialità dell'isomorfismo di Gelfand. (Esercizi.)
    23/5 Permanenza spettrale per C*-sottoalgebre. Calcolo funzionale continuo. Cono degli elementi positivi di una C*-algebra. (Esercizi.)
    24/5 Operatori positivi su uno spazio di Hilbert. Calcolo funzionale boreliano. Misure spettrali. (Esercizi.)
    6/6 Teorema spettrale per operatori autoaggiunti limitati. Caratterizzazione degli elementi dello spettro tramite la misura spettrale. (Esercizi.)
    7/6 Versione del teorema spettrale con operatori di moltiplicazione (senza dim.). Stati e rappresentazioni di C*-algebre; teorema di Gelfand-Naimark-Segal. Rappresentazione universale e teorema di Gelfand-Naimark. (senza dim.) Stati puri e rappresentazioni irriducibili. (senza dim.) (Esercizi.)
    8/6 Cenni alla formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Ensembles e procedure, stati e osservabili e loro struttura matematica. Postulato C*. Commutatività dell'algebra delle osservabili in Meccanica Classica. Principio di Heisenberg generalizzato. Relazioni di commutazione di Heisenberg.
  • Esercizi proposti a lezione
  • Note del corso
    Col procedere delle lezioni, si renderanno disponibili le note del corso 2016/17, almeno finché riuscirò a trovare il tempo di scriverle. Ogni segnalazione di errori o imprecisioni sarà ben gradita.

    Versione del 10/5/17

Anno accademico 2015/16

Ciclo di lezioni del corso di Calcolo 1, corso di laurea triennale in Fisica, titolare prof. L. Zsido
  • Pagina web del corso
  • Calendario delle lezioni del ciclo
    2/10 Esistenza di sottoinsiemi di Q superiormente limitati ma privi di sup. I reali come sezioni di Q. Addizione in R, esistenza dell'elemento neutro e dell'opposto.
    5/10 Moltiplicazione in R. Assioma di continuità. Proprietà caratteristiche di inf e sup. Fattoriali e coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton. Esercizi.
    9/10 Successioni numeriche. Successioni convergenti. Unicità del limite. Successioni limitate. Successioni divergenti. Successioni monotòne e loro regolarità. Teoremi della permanenza del segno e del confronto. Esempi.
    12/10 Teorema dei carabinieri. Operazioni con limiti finiti e infiniti. Forme indeterminate. Limite di una potenza razionale. Esempi ed esercizi.
    13/10 Esercizi su limiti di successioni. Limiti notevoli. Sottosuccessioni.
    14/10 Teorema di Bolzano-Weierstrass. Algoritmo di Erone per il calcolo delle radici quadrate. Monotonia e convergenza di (1+x/n)n per x > 0, il numero di Nepero e le sue potenze reali positive.
    16/10 Potenze reali negative di e. Sviluppo in serie di ex e stime numeriche. Definizione di serie convergente, divergente, indeterminata. Esercizi su limiti di successioni.
    19/10 Serie esponenziale, serie geometrica, serie telescopiche. Criterio necessario di convergenza. Serie a termini positivi. Criteri del confronto e del confronto asintotico. Serie armonica generalizzata. Esempi ed esercizi.
    20/10 Criteri della radice e del rapporto. Serie assolutamente convergenti. Convergenza assoluta implica convergenza. Serie a segni alterni. Criterio di Leibniz. Esempi ed esercizi.
    21/10 (1 ora) Esercizi su serie numeriche.
    28/10 Punti di accumulazione sinistri e destri. Limiti sinistri e destri per funzioni di una variabile, e loro esistenza per funzioni monotone. Teorema dei carabinieri. Operazioni sui limiti di funzioni. Forme indeterminate. Esempi (monotonia di xα, (1+x)1/x, limiti notevoli con funzioni trigonometriche).
    17/11 Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Continuità del limite uniforme, passaggio al limite sotto il segno di derivata. Esempi e controesempi.
    18/11 Esercizi su successioni di funzioni. Serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Condizione necessaria di convergenza uniforme. Convergenza totale. Serie di potenze. Raggio di convergenza.
    19/11 Teorema di Cauchy-Hadamard. Regolarità della somma di una serie di potenze. Teorema di Abel. Sviluppi in serie di log(1+x), arctan x.
    27/11 Numeri complessi, definizione algebrica. Piano di Argand-Gauss. Somma e prodotto di numeri complessi e loro proprietà. Esistenza dell'inverso. Modulo, coniugato e loro proprietà. Forma trigonometrica. Potenze e radici n-esime di un numero complesso.
    30/11 Successioni e serie complesse. Serie di potenze complesse: raggio di convergenza, teorema di Cauchy-Hadamard. Funzione esponenziale complessa e principali proprietà. Formule di Eulero e ricostruzione della trigonometria.
    1/12 Polinomi complessi. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dim.). Divisione di polinomi. Decomposizione in fattori indecomponibili complessi e reali. Funzioni razionali e loro decomposizione in fratti semplici complessi e reali.
    18/12 Punti estremali e stazionari di funzioni di più variabili. Condizione necessaria di estremalità (senza dim.). Matrici simmetriche (semi)definite positive e negative, criterio di Sylvester (senza dim.). Condizioni sufficienti di estremalità (senza dim.). Esercizi.
    21/12 Curve parametriche in Rn. Interpretazione cinematica. Sostegno. Curve chiuse, semplici, regolari. Retta e vettore tangenti. Curve equivalenti. Curve rettificabili. Esempi.
    22/12 Rettificabilità di curve C1. Integrali curvilinei di prima specie e loro indipendenza dalla parametrizzazione. Esempi ed esercizi.
  • Foto di gruppo
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Corso di Fondamenti di Analisi Matematica, corso di laurea triennale in Fisica
  • Orario del corso
    Martedì ore 14.30 - 16.30 aula G2C
    Mercoledì ore 14.30 - 16.30 aula G2C
  • Programma di massima
    Spazi normati e operatori limitati. Spazi metrici e topologici. Nets, continuità, compattezza (locale). Cenni di teoria dell'integrazione alla Lebesgue. Spazi di Hilbert e operatori. C*-algebre commutative e teorema di Gelfand-Naimark. Teoria spettrale per operatori autoaggiunti (limitati) su spazi di Hilbert. Stati e rappresentazioni di C*-algebre. Formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Rappresentazioni delle relazioni di commutazione canoniche e algebra di Weyl. Teorema di Stone e operatore hamiltoniano. Particella libera e oscillatore armonico.

    Il corso è rivolto a studenti del terzo (o del secondo) anno. Prerequisito essenziale è la piena comprensione del contenuto dei corsi di Calcolo 1 e 2 e di Geometria. È inoltre consigliabile aver seguito i corsi di Meccanica Quantistica e Metodi Matematici della Fisica.
  • Calendario delle lezioni
    1/3 Spazi normati, esempi. Norme equivalenti, esempi, equivalenza di norme su spazi a dimensione finita. (Esercizi)
    2/3 Operatori limitati tra spazi normati. Esempi. Spazi metrici completi e spazi di Banach, esempi. (Esercizi.)
    8/3 Insiemi parzialmente ordinati diretti e nets. Ulteriori esempi e controesempi di spazi di Banach. B(X,Y) è di Banach per Y di Banach. Estensione di operatori limitati densamente definiti. (Esercizi.)
    9/3 Completamento di spazi metrici e normati. Topologia indotta da una metrica. Chiusura. Caratterizzazione dei chiusi metrici tramite successioni. Spazi topologici. Intorni. Spazi di Hausdorff. (Esercizi.)
    15/3 Caratterizzazione della topologia tramite convergenza di nets. Limiti di funzioni e continuità in uno spazio topologico. Non compattezza della palla unitaria in spazi a dimensione infinita. Teorema di Heine-Borel. Spazi topologici compatti. Sottonet e punti limite. (Esercizi.)
    16/3 Teorema di Bolzano-Weierstrass generalizzato. Anelli, algebre, σ-algebre e misure su di essi. Insiemi elementari in Rn e loro misura. Misura esterna di Lebesgue. (Esercizi.)
    22/3 Prolungamento di Lebesgue di una misura sugli insiemi elementari. Misure di Lebesgue e Lebesgue-Stieltjes. Boreliani. Regolarità del prolungamento. (Esercizi.)
    30/3 Spazi di misura, esempi. Funzioni misurabili e loro proprietà. Approssimazione di funzioni misurabili tramite funzioni semplici. (Esercizi.)
    5/4 Integrale di funzioni positive e sue proprietà. Teorema di convergenza monotona. Integrale di funzioni complesse e sue proprietà. Teorema di convergenza dominata. (Esercizi.)
    6/4 Teorema di Vitali-Lebesgue. Teorema fondamentale del calcolo (s.d.). Spazi Lp (p=1,2,+∞) e loro completezza. (Esercizi.)
    12/4 Densità delle funzioni continue in Lp. Forme sesquilineari e prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Spazi di Hilbert. Identità di polarizzazione e del parallelogramma. Esempi. (Esercizi.)
    13/4 Completamento di uno spazio prehilbertiano. Ortogonali. Teorema della proiezione; proiettore su un sottospazio chiuso. (Esercizi.)
    19/4 Teorema di rappresentazione di Riesz. Sistemi e basi ortonormali. Caratterizzazioni delle basi ortonormali e loro esistenza. (Esercizi.)
    20/4 Procedimento di Gram-Schmidt e spazi di Hilbert separabili. Forme sesquilineari limitate e operatori. Aggiunto di un operatore. Algebre di Banach e C*-algebre. Esempi. (Esercizi.)
    26/4 Spettro di un elemento in un'algebra di Banach. Esempi. Proprietà dello spettro. Teorema del raggio spettrale. (Esercizi.)
    27/4 Spettri di elementi di una C*-algebra. Spettro e trasformata di Gelfand di un'algebra di Banach commutativa. Ideali propri. Quozienti di spazi normati rispetto a sottospazi chiusi e di algebre di Banach rispetto a ideali chiusi. (Esercizi.)
    3/5 Corrispondenza tra caratteri e ideali propri massimali di un'algebra di Banach. Continuità dei caratteri. Spettro di un elemento di un'algebra di Banach commutativa e caratteri. Teorema di Stone-Weierstrass: lemmi preliminari. (Esercizi.)
    4/5 Teorema di Stone-Weierstrass (fine della dim.). Teorema di Gelfand-Naimark commutativo. Funtorialità contravariante dell'isomorfismo di Gelfand. (Esercizi.)
    10/5 Permanenza spettrale per C*-sottoalgebre. Calcolo funzionale continuo. Cono degli elementi positivi di una C*-algebra. (Esercizi.)
    11/5 Operatori positivi su uno spazio di Hilbert. Calcolo funzionale boreliano. Misure spettrali. (Esercizi.)
    17/5 Teorema spettrale per operatori autoaggiunti limitati. Caratterizzazione degli elementi dello spettro tramite la misura spettrale. Versione del teorema spettrale con operatori di moltiplicazione (senza dim.). (Esercizi.)
    18/5 Contrattività di *-omomorfismi di C*-algebre. Stati e rappresentazioni di C*-algebre; teorema di Gelfand-Naimark-Segal. Rappresentazione universale e teorema di Gelfand-Naimark. (Esercizi.)
    24/5 Stati puri e rappresentazioni irriducibili. Formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Ensembles e procedure, stati e osservabili. Stati puri. (Esercizi.)
    25/5 Spettro fisico di un'osservabile. Funzioni di osservabili. Postulato C*. Commutatività dell'algebra delle osservabili in Meccanica Classica. Principio di Heisenberg generalizzato. Principio di sovrapposizione e regole di superselezione. (Esercizi.)
    31/5 Relazioni di commutazione di Heisenberg e di Weyl. Realizzazione di Schroedinger delle relazioni di Weyl. Esistenza e unicità della C*-algebra di Weyl. Rappresentazioni regolari. Regolarità e irriducibilità della rappresentazione di Schroedinger. (Esercizi.)
    1/6 Teorema di unicità di Weyl-von Neumann. Quantizzazione di Wigner-Weyl. (Esercizi.)
  • Esercizi proposti a lezione

 Last modified: Jun. 8, 2017.