Fondamenti della Matematica di base a.a. 2019-2020
(LM 85 bis - Facolta' di Scienze della formazione - LUMSA)

Obiettivi formativi: Conoscenza e capacita' di comprensione: La teoria assiomatica e l'attenzione rivolta alle definizioni costringe ad una riflessione e una piena padronanza del linguaggio, e a un attento ascolto.
Capacita' di applicare conoscenza e comprensione Lo studente sapra' utilizzare alcuni aspetti della matematica per modellizzare, affrontare e risolvere varie situazioni problematiche.
Autonomia di giudizio: lo studente sara' in grado di analizzare criticamente una dimostrazione; di capire e valutare le difficolta' del processo insegnamento/apprendimento in base all'argomento trattato e alla situazione dei discenti.
Abilita' comunicative: lo studente sara' in grado di elaborare o applicare idee, e di sostenerle con chiarezza e rigore; sollecitare, stimolare, favorire e guidare all'interesse per il pensiero matematico. Lo studio di alcuni elementi fondanti dell'aritmetica e della geometria permette e induce una riflessione sulla matematica e il suo ruolo educativo, nonche' sulle modalita' di insegnamento. Contenuti del corso Elementi di logica. Introduzione alla geometria piana, attraverso il libro I degli Elementi di Euclide e risultati correlati. Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N, Z, Q, R. Algebra geometrica e proprieta' delle operazioni. Numeri primi. Elementi di probabilita' e statistica.
Prerequisiti: competenze matematiche acquisite nella formazione scolastica primaria e secondaria. (operazioni tra razioni, operazioni tra numeri scritti in forma decimale, espressioni, nomenclatura e calcolo di perimero e area dei triangoli, del cerchio e dei principali quadrilateri piani)
Testi di riferimento:
- L.Russo, G.Pirro, E.Salciccia, Euclide: il I libro degli Elementi, Carocci Editore, collana Frecce
Per una traduzione inglese e' possibile consultare il sito. Per una traduzione italiana commentata dell'intera opera, e' possibile consultare anche 'Gli elementi' di Euclide, curato da Frajese A., Maccioni M. Editore: UTET Collana: Classici della scienza (1996).
- Dispense messe a disposizione su questo sito
Descrizione della verifica di profitto come da modifica a causa dell'emergenza sanitaria (si applica a tutti gli appelli dell'anno accademico, compreso quelli invernali di gennaio-febbraio 2021 A seguito dell'emergenza sanitaria, le modalita' di esame sono modificate e non e' prevista una prova scritta propedeutica.
Nel rispetto degli obiettivi formativi fissati, la prova orale si svolge nel modo seguente:
- viene verificata la sussistenza dei prerequisiti; la prova orale prosegue unicamente se tale verifica ha esito positivo;
- il candidato/a illustra un argomento a sua scelta, individuato nella lista [file]; il docente pone un quesito relativo all'argomento scelto;
-il docente pone al candidato due ulteriori quesiti, su differenti ambiti del programma.
Per ogni argomento e quesito trattato, vengono richiesti un utilizzo consapevole e corretto del linguaggio tecnico correlato, la comprensione delle motivazioni e l'individuazione sintetica degli aspetti principali, la capacita' esporre con chiarezza e di argomentare anche tramite dimostrazioni.
I candidati ricevono per e-mail l'invito all riunione telematica indetta su Meet per effettuare l'esame. L'orario di convocazione rispetta l'ordine di prenotazione. La registrazione dell'esame e' vietata. Gli studenti sono tenuti al rispetto delle linee guida dell'Ateneo relative alle fasi di esame. I candidati posso parlare intervenendo solo quando sono interrogati. E' sufficiente che ciascun candidato partecipi pochi minuti prima dell'orario della propria convocazione. Ciascun candidato deve avere a disposizione
- un documento o il libretto da esibire,
- una webcam che li riprenda,
- fogli e penna (e possibilmente riga e compasso) per poter scrivere elaborando le proprie risposte,
- la possibilita' di mostrare tramite webcam quanto viene scritto sui fogli.
Non e' ammessa la consultazione di materiale didattico (tranne che per studenti che sono stati esplicitamente autorizzati). Quando ha terminato la propria prova, il candidato e' libero di lasciare la riunione.

Nell'appello della sessione straordinaria di aprile 2021, i candidati sono convocati secondo il calendario:
13 aprile: Brunetti ore 10:10, Marzilli ore 10:45, Donnici ore 11:20, Ferdinandi ore 11:55, Antonucci ore 12:30, Iuliano ore 13:05, Leuzzi ore 18:05; D'Alessandro ore 18:40, Callea ore 19:15.
14 aprile: Marucci ore 08:00, Verdone ore 08:35, Pera ore 09:10, Inas ore 09:45 [collegamento non possibile per motivi tecnici], Hulu ore 10:20, Cortellessa ore 12:10, Natale ore 12:45, Korisen ore 13:20, Taek ore 13:55, Inas ore 19:00.

Orario di ricevimento: il ricevimento e' su appuntamento e si svolge via Meet.
Orario di lezione L'insegnamento e' annuale. Nel primo e nel secondo semestre, le lezioni si svolgono il lunedi (15:00-16:30, Aula 1, Sede Vaschette)) e il giovedi (14:00-15:30, Aula 26, Vaschette). LE LEZIONI SONO TERMINATE
Il materiale didattico relativo alle lezioni svolte a distanza e' reperibile tramite pagina del docente nel dominio LUMSA, sito del docente.

Lezione del 2 marzo 2020: Si continua lo studio del primo libro degli Elementi di Euclide. Assioma 4. Proposizione 11 e 12: perpendicolare da un punto interno e da un punto esterno. Enunciato della Prop. 13. Prop. 15: angoli opposti al vertice. Studio dei triangoli: Prop. 16: teorema dell'angolo esterno e la sua conseguenza immediata (Prop. 17): due angoli di un triangolo hanno somma minore di due angoli retti. Enunciato prop. 18: il lato maggiore di un triangolo e' opposto all'angolo maggiore. Prop. 22: costruzione di un triangolo di lati assegnati.
Lezione del 9 marzo 2020 Enunciato prop. 23: trasporto di angoli. Enunciato prop. 24-25: costruendo un triangolo con due lati assegnati, si ottiene un triangolo con il terzo lato maggiore se e solo se e' maggiore l'angolo compreso tra i due lati iniziali.. Enunciato Prop. 26. Proposizioni 27 e 28. Prop. 29 e 31. Assioma 5. Enunciato prop. 30. Prop. 32: somma degli angoli interni di un triangolo.
Lezione del 12 marzo 2020 Proprieta' e confronto di parallelogrammi e triangoli. (Prop. 33-45)
Lezione del 16 marzo 2020 Teorema di Pitagora e teorema inverso (Prop. 47-48). Teorema dell'angolo al centro e alla circonferenza. Costruzione di triangoli rettangoli. Ogni rettangolo e' equivalente a un quadrato. Proprieta' e nomenclatura di cerchio e circonferenza.
Lezione del 19 marzo 2020 Formula di perimetro e area del cerchio in funzione del raggio. Cerchio inscritto e circoscritto. Areogrammi. Scrittura posizionale decimale. Rappresentazione di un numero in forma polinomiale in base 10. Operazioni tra interi e algoritmi di calcolo.
Lezione del 23 marzo 2020 Numeri naturali in base a.
Lezione del 26 marzo 2020 Rappresentazione dei numeri razionali in forma decimale: rappresentazioni decimali limitate e periodiche. Frazioni generatrici.
Lezione del 30 marzo 2020 Esercizi sulla rappresentazione decimale dei numeri razionali. Principio di induzione.
Lezione del 2 aprile 2020 Principio di induzione in forma debole e forte.
Lezione del 6 aprile 2020 Elementi di statistica descrittiva. Elementi di probabilita' discreta.
Lezione del 16 aprile 2020 Esercizi relativi alla probabilita' discreta
Lezione del 20 aprile 2020 Esercizi relativi al programma svolto nel secondo semestre

Dettaglio sul programma svolto
(aggiornato con il proseguire delle lezioni) Alcuni argomenti sono noti agli studenti dai precedenti cicli di studio e non viene per essi fornito materiale specifico per il ripasso.

esercizi sulle frazioni (prerequisito)
ulteriori esercizi sui prerequisiti

Introduzione alla logica matematica: dispense di logica matematica Elementi di logica delle proposizioni: proposizioni semplici e composte, tavole della verita'. Connettivi logici e negazione. Quantificatori. Proposizioni universali o particolari, affermative o negative. Rappresentazione insiemistica.
Sillogismi condizionali. Sillogismi categorici e loro classificazione per modo e figura. Rappresentazione insiemistica di un sillogismo categorico.
Introduzione alle tecniche di dimostrazione dispense Sistemi assiomatici. Esempi di dimostrazioni dirette. Dimostrazioni indirette per contrapposizione e per assurdo.
Insiemi numerici note sulle proprieta' delle operazioni, dispense sull'algoritmo di divisione tra interi Numeri naturali e operazioni. Rappresentazione del prodotto tramite rettangoli. Divisori e multipli di numeri naturali o interi. Se a e b sono multipli di n, allora anche a+b e a-b sono multipli di n. La divisione tra numeri naturali e legame con la moltiplicazione. L'algoritmo della divisione.
file Massimo comune divisore di due numeri naturali. Metodo di Euclide per il calcolo del MCD. Relazione di Euclide-Bezout.
Utilizzo di materiali didattici. Piegature di carta. Esempio geometrico di quantita' finita che e' somma di infiniti addendi Duplicazione di un quadrato. Rapporto tra lato e diagonale di un quadrato. Dimostrazione del Teorema di Pitagora nel caso di un triangolo rettangolo isoscele. [file]
Introduzione, attraverso il disegno, alle figure geometriche piane e alla terminologia correlata. Altezza di una figura geometrica piana, rispetto a un lato. Formula dell'area del rettangolo, del parallelogramma, del triangolo e del trapezio in funzione di base e altezza. Formula dell'area per rombi e aquiloni in funzione della lunghezza delle due diagonali.
Piegature di carta e somma degli angoli interni di un triangolo.
Teorema di Talete. Moltiplicazione di segmenti. Equidivisione di un segmento. [file].
Frazioni: rappresentazioni grafiche e operazioni. Rappresentazione grafica delle frazioni; archi di una circonferenza e angolo al centro
Esercizi di ripasso [file 1, file 2 ].

Programma svolto durante il secondo semestre (si consiglia di consultare anche gli appunti di lezione):
Elementi di geometria piana dal primo libro degli elementi di Euclide: [il testo di riferimento viene affiancato ma non sostituito, in alcune parti, da brevi note: [parte 1 : introduzione e prop. 1-4; parte 2: prop 5-9]
Il sistema assiomatico della geometria piana: concetti primitivi, definizioni, 5 assiomi o postulati, proposizioni (o teoremi), nozioni comuni e nozioni di logica. Punto, linea, linea retta, angolo, angolo retto, circonferenza, triangolo, triangolo equilatero. Le proposizioni 4 e 8 vengono considerati assiomi.
Proposizioni di cui sono richiesti enunciato e dimostrazione: 1, 2,3,5,6, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17,22, 27, 28, 29, 31, 32,33, 34, 35, 37, 41, 42, 43, 44, 47, 48.
Proposizioni di cui e' richiesta la conoscenza dell'enunciato (ma non e' stata illustrata la dimostrazione euclidea): 4, 8, 13, 18,19,20, 23, 24, 25, 30, 36, 38, 39, 40, 45
Teorema dell'angolo al centro e alla circonferenza. Costruzione di triangoli rettangoli. Costruzione di un quadrato equivalente a un rettangolo dato.
Cerchio, circonferenza: nomenclatura degli elementi, perimetro e area. Poligoni regolari. Formula del perimetro e dell'area di un cerchio rispetto al raggio. Cerchio circoscritto.
Elementi di aritmetica e algebra Scrittura posizionale decimale. Rappresentazione di un numero in forma polinomiale in base 10. Operazioni tra interi e algoritmi di calcolo. Estensione degli algoritmi di calcolo a numeri decimali con numero finito di cifre decimali.
Numeri naturali in base a e algoritmi di somma e differenza. Numeri primi.
Insiemi numerici. Irrazionalita' di radice di 2. Rappresentazione in forma decimale dei numeri razionali. Rappresentazioni decimali limitate e frazioni decimali. Rappresentazioni periodiche semplici o miste. Determinazione della rappresentazione decimale di un numero razionale. Frazione generatrice.
Principio di induzione.
Elementi di probabilita' e statistica Areogrammi e rappresentazione dei dati; indicatori statistici: moda, media, mediana. Elementi di probabilita' discreta.

Esercizi di ripasso [file]