Fondamenti di Matematica a.a. 2015-16
(LM 85 bis - Facolta' di Scienze della formazione - LUMSA)

Obiettivi formativi: Conoscenza e capacita' di comprensione: La teoria assiomatica e l'attenzione rivolta alle definizioni costringe ad una riflessione e una piena padronanza del linguaggio, e a un attento ascolto.
Capacita' di applicare conoscenza e comprensione Lo studente sapra' utilizzare alcuni aspetti della matematica per modellizzare, affrontare e risolvere varie situazioni problematiche.
Autonomia di giudizio: lo studente sara' in grado di analizzare criticamente una dimostrazione; di capire e valutare le difficolta' del processo insegnamento/apprendimento in base all'argomento trattato e alla situazione dei discenti.
Abilita' comunicative: lo studente sara' in grado di elaborare o applicare idee, e di sostenerle con chiarezza e rigore; sollecitare, stimolare, favorire e guidare all'interesse per il pensiero matematico. Lo studio di alcuni elementi fondanti dell'aritmetica e della geometria permette e induce una riflessione sulla matematica e il suo ruolo educativo, nonche' sulle modalita' di insegnamento. Contenuti del corso Elementi di logica. Introduzione alla geometria piana, attraverso il libro I degli Elementi di Euclide e risultati correlati. Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N, Z, Q, R. Algebra geometrica e proprieta' delle operazioni. Numeri primi. Elementi di probabilita' e statistica.
Prerequisiti: competenze matematiche acquisite nella formazione scolastica primaria e secondaria.
Testi di riferimento: Elementi di Euclide, Libro I (vedi ad esempio il sitosito su Euclide). Per una traduzione italiana commentata, e' possibile consultare anche 'Gli elementi' di Euclide, Curato da Frajese A., Maccioni M. Editore: UTET Collana: Classici della scienza (1996) Dispense messe a disposizione su questo sito
Descrizione della verifica di profitto Prova scritta propedeutica e prova orale. Nella prova scritta, si verificheranno, in particolare, le competenze preliminari sulle operazioni e le espressioni con frazioni e numeri decimali. Le due prove saranno convocate nello stesso giorno. Chi ha superato la prova scritta deve sostenere la prova orale all'interno della stessa sessione. Nella prova orale, il candidato espone un argomento a scelta di logica matematica, uno di geometria, uno di aritmetica e uno di statistica e probabilita', selezionati seguendo le indicazioni generali fornite dal docente. E' necessaria la registrazione per poter sostenere l'esame. Qualora il candidato sostenga la prova orale in un appello differente dalla prova scritta, e' tenuto ad iscriversi nuovamente all'esame. In base al numero di candidati iscritti, e' possibile che l'esame si prolunghi su piu' giorni.
Orario di ricevimento sala docenti di Piazza delle Vaschette, su appuntamento
Orario di lezione L'insegnamento e' annuale. Nel primo e nel secondo semestre, le lezioni si svolgono il lunedi (14,00-16,00, Aula Traglia, Traspontina) e il giovedi (14,00-16,00, Aula 4, Vaschette).
LE LEZIONI DEL CORSO SONO COMPLETATE.
Programma
prima parte delle dispense di logica Introduzione al corso. Introduzione alla logica matematica. Connettivi logici: congiunzione e disgiunzione. Tavole della verita'. Interpretazione insiemistica. Proposizioni aperte. Negazione. Quantificatori e loro negazione. Implicazione e coimplicazione. Contronominale di una implicazione. Tautologie.
seconda parte delle dispense di logica Proposizioni categoriche universali/particolari, affermative/negative e loro rappresentazione insiemistica. Sillogismi categorici. Conclusioni logicamente valide. Modo di un sillogismo categorico. Sillogismi ipotetici.
terza parte delle dispense di logica Sistemi assiomatici. Modalita' di dimostrazione.
Numeri naturali e interi. Multipli e divisori di un numero naturale. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo di una coppia di numeri naturali. dispense sul metodo di Euclide Metodo di Euclide per la determinazione del MCD di due numeri naturali. Identita' di Bezout ( file ). Relazione axb=MCD(a,b)x mcm(a,b).
alcuni esercizi di ripasso e consolidamento.
Numeri primi. Crivello di Eratostene. I numeri primi sono infiniti. ( file )Teorema fondamentale dell'aritmetica (con dimostrazione solo della esistenza della fattorizzazione come prodotto di primi)
Scrittura decimale posizionale dei numeri. Algoritmo della divisione e proprieta' delle operazioni. file
Nomenclatura delle parti del cerchio. Operazioni con le frazioni.
Commensurabilita' e incommensurabilita'. Numeri irrazionali file. La radice quadrata di 2 e' irrazionale. Duplicazione del quadrato. Teorema di Pitagora per triangoli rettangoli isosceli. Rappresentazione grafica della radice di un numero naturale.
Introduzione alla teoria assiomatica della geometria piana: punto, linea, segmento, retta, superficie, piano, circonferenza, angolo, angolo retto. I cinque assiomi di Euclide (I libro degli Elementi di Euclide). [come materiale aggiuntivo, e' possibile consultare file. Prop. I.1, I.2, I.3.file
Esercizi di ripasso complessivo: file.
Chi desidera, puo' consegnare le soluzioni svolte, per ricevere indicazioni sulla loro correttezza.
Secondo semestre.
Numerazione in base a (file, Progetto matematica). Criteri di divisibilita' in base a e in base 10.
Proprieta' delle operazioni tra numeri reali.
Primo libro degli Elementi di Euclide: Criterio di congruenza Lato-Angolo-Lato tra triangoli. Proposizione I.5 e I.6 (file).
Esercitazioni sul teorema di Pitagora e la radice quadrata di numeri naturali (rielaborazione di una proposta didattica di Franco Ghione e Daniele Pasquazi sito)
Principio di induzione matematica file
Elementi di statistica: rappresentazione e analisi dei dati ( istogrammi e areogrammi, moda, media aritmetica, mediana).
Primo libro degli elementi di Euclide: proposizioni I.9 (bisezione dell'angolo file). e I.10 (punto medio di un segmento file)
Proposizione I.11 e I.12 (Esistenza della perpendicolare per un punto dato)
Proposizione I.15 (gli angoli opposti al vertice sono uguali)
Proposizione I.16 (Teorema dell'angolo esterno) e I.17 (la somma di due angoli di un triangolo e' sempre inferiore a un angolo piatto).
Quadrilateri: nomenclatura, proprieta' geometriche, formule per il calcolo dell'area.
Proposizione I.47 (Teorema di Pitagora) e I.48.
Teorema dell'angolo al centro e alla circonferenza ( sito polymath).
Proprieta' delle operazioni tra numeri reali.
Teorema di Talete e sue applicazioni al disegno della moltiplicazione di segmenti file.
Elementi di probabilita' classica.
Esercizi di ripasso e consolidamento relativi al programma svolto nel secondo semestre. file
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