Come si può osservare, in questo metodo (delle sostituzione successive) il valore aggiornato di ogni singola componente:

b_j^(k+1)        (j=1,…..,n)

viene utilizzato immediatamente per il calcolo delle componenti successive relative alla stessa iterazione, mentre in generale, nella risoluzione del sistema (6) con il metodo di Jacobi, i valori aggiornati di tutte le componenti vengono sostituiti  simultaneamente alla fine dell'iterazione.

Convergenza del metodo di Gauss-Seidel

Se il metodo converge, la soluzione del sistema (7) verifica quindi:

          i=1,…….,n

Gli errori

risolvono ad ogni iterazione il seguente sistema lineare:

Perciò:

             i=1,……,n

e quindi:

              i=1,……,n

Detto J l'indice per il quale il secondo termine della disuguaglianza è massimo, e scrivendo per brevità: 

           si  ha

  per ogni i

e quindi:

Se supponiamo A a predominanza diagonale stretta,cioè se :

si ha:

R_J+S_J <1,

da cui segue che 

R_J <1   e    S_J <1      

e quindi:

            (8)

Ma di nuovo per la predominanza diagonale, abbiamo

S_J /(1- R_J ) < 1

Perciò segue da (8) che  → 0

Abbiamo dimostrato dunque il seguente teorema.

Teorema 2. Se la matrice A è a predominanza diagonale stretta allora il metodo di Gauss-Seidel  è convergente.

Teorema 0.3. (si omette la dimostrazione) Se la matrice A è hermitiana e definita positiva, il metodo di Gauss-Seidel è convergente.

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