Dalla definizione di raggio spettrale,

limsup_{k → ∞} ||M^k||^1/k = ρ(M)

segue che, se ρ(M) < 1, si ha

||M^k|| @ ρ(M)^k → _{k → ∞}0

e perciò

lim_{k → ∞} e^(k)  =  lim_{k→ ∞} M^k e⁽⁰⁾  = 0

Viceversa, se ρ(M) ≥ 1, in base alla stima ||M^k|| @ ρ(M)^k  devono esistere vettori v_k di norma 1 tali che M^kν_k non tende a zero per k → ∞. Poiché la superficie sferica in Cⁿ di raggio 1 è compatta, la successione v_k  ha una sottosuccessione convergente ad un vettore limite v (si riveda la compattezza nel corso di Analisi Matematica 1!), per il quale quindi si ha che M^kν non tende a 0 per k → ∞.

Abbiamo dimostrato il

Teorema 1.   Condizione necessaria e sufficiente affinché l'iterazione (6) converga per ogni vettore iniziale  è che  ρ(M) < 1 .

Metodo di Gauss-Seidel (metodo delle sostituzioni successive)

La decomposizione adottata nel metodo di Gauss-Seidel è la seguente:  M = L + D + U, dove D è una matrice diagonale  (la diagonale di M) ed  L e U sono la parte triangolare (strettamente) inferiore e superiore di M. Allora poniamo N = L+D  e  P = –U, ed osserviamo che la matrice N è triangolare (inferiore), e quindi ha gli stessi autovalori di D, cioè ha per autovalori gli elementi diagonali M_ii  di M. Ma abbiamo visto che M_ii > 0 per ogni i = 1,…n, quindi N è invertibile.

Ora  l'iterazione:

Nb^(k+1) = Pb^(k)+ e

assume la forma :

 m₁₁  b₁^(k+1)                            = –m₁₂b₂^(k) –m₁₃ b₃^(k) ......... –m_1n b_n^(k)   +e₁

m₂₁  b₁^(k+1)+ m₂₂ b₂^(k+1)             =               –m₂₃  b₃^(k) …….  –m_2n b_n^(k) +e₂

         ………………………………………………………………………………………        (7)

        ………………………………………………………………………………………

        ………………………………………………………………………………………

  m_n1b₁^(k+1) +m_n2  b₂^(k+1)  +.....  +m_nn b_N^(k+1)  =                                         e_n

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