La matrice M è chiamata la matrice di iterazione; per ogni M c’è un unico spezzamento M = N – P con N triangolare inferiore e P triangolare strettamente superiore (cioè con zeri sulla diagonale).

Il problema di punto fisso viene quindi affrontato con l'iterazione

 

                  b(k+1)= M b(k) + a                                          (6)

 

o, più precisamente, con l'iterazione equivalente

 

      N b(k+1)= P b(k) + e                                       (6’)

cioè    

b(k+1)= N-1P b(k) + N-1P e                                    (6’’)

 

a partire da un vettore iniziale b(0)  assegnato. Affinché questo approccio sia vantaggioso occorre che il sistema lineare

 

N y = P b(k) + e

 

(dove il termine di destra è un vettore noto e y è un vettore incognito) sia risolvibile per y in maniera rapida, cioè con un tempo di calcolo trascurabile rispetto a quello richiesto per la risoluzione del problema originale Mb = e . Per questo si cerca di ridursi al caso in cui l’operatore invertibile N sia espresso da una matrice triangolare (inferiore o superiore), perché in questo caso la soluzione avviene per sostituzioni successive di ogni equazione del sistema lineare nella precedente. Qui abbiamo scelto N triangolare inferiore.

 

Ricordiamo che il raggio spettrale di un operatore T su Cn è definito come :

 

ρ(T) = limsupk → ||Tk||1/k

 

E’ ovvio che  ρ(T) ≤ ||T||, perché ||UV||||U|| ||V|| per ogni coppia di operatori lineari su CN.

 

Ora proveremo che, se la matrice M ha raggio spettrale minore di 1, allora l'errore tende a zero qualunque sia il vettore iniziale b(0), ma può accadere che l'errore tenda a zero senza che la matrice abbia raggio spettrale minore di 1. Ciò accade quando Mk  tende ad una matrice il cui nucleo includa e(0) (come si vede dalla identità (6’’’) più sotto). D’altra parte, se l'errore tende a zero per ogni vettore iniziale b(0), allora M deve avere raggio spettrale minore di 1.

Ecco la dimostrazione: definendo l’errore alla k-sima iterazione (k>0) come

 

e(k) = b(k) – b                            

 

sottraendo (5) da (6’’) si ottiene per gli errori la relazione di ricorrenza

 

e(k+1) = M e(k)  =M2 e(k-1) =... = Mk+1 e(0)                        (6’’’)

 

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