SOLUZIONE CON METODI ITERATIVI: RILASSAMENTO DI JACOBI

Il più semplice metodo iterativo è quello di Jacobi: si parte con qualche vettore iniziale b⁽⁰⁾

invece di  b e si sostituisce nel lato destro di (1), per ottenere una prima approssimazione iterativa:

b_i⁽¹⁾ =  – S_{j=1,…N, j≠i} (M_ij/M_ii)b_j⁽⁰⁾ + e_i/M_ii i = 1,……., N          (2)

Le componenti di  b⁽¹⁾  vengono così determinate una dopo l’altra, in un primo ciclo (per i da 1 a N) che chiameremo la prima iterazione, ovvero il primo ciclo di iterazione. Poi si procede in modo analogo, ciclo dopo ciclo; alla m-sima iterazione determiniamo  b^(m)  da

                 b_i^(m)  = –  S_{j=1,…N, j≠ i} (M_ij/M_ii) b_i^(m-1)  + e_i/M_ii                 (3)

Si dice che il metodo è convergente se i  b^(m)  convergono ad un vettore limite b, che in tal caso è necessariamente soluzione del sistema (1).

Si noti che tutte le componenti di b^(m) vengono aggiornate insieme nello stesso ciclo, utilizzando tutte le componenti di b^(m-1):  quindi il metodo di Jacobi richiede di conservare in memoria simultaneamente due diversi aggiornamenti del vettore della radiosità: b^(m)  e  b^(m-1).

Metodi di questo tipo si chiamano anche metodi di rilassamento.

Ora ne vedremo due varianti più efficienti.