| 27/9 |
Richiami di insiemistica: unione, intersezione, differenza, complementare, prodotto cartesiano e loro proprietà. Insiemi numerici: numeri naturali, interi e razionali. Struttura di corpo ordinato di Q.
|
| 28/9 |
Principio di Archimede in Q. Non esistenza della radice di 2 in Q. I razionali come allineamenti decimali periodici propri (senza dim.). Definizione dei reali come allineamenti decimali propri (non necessariamente periodici). R è un corpo ordinato archimedeo (senza dim.). Densità dei razionali e degli irrazionali in R. Intervalli.
|
| 29/9 |
Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore e inferiore di un insieme. Esempi. Completezza di R.
|
| 30/9 |
Proprietà caratteristiche di inf e sup. Esempi. Esistenza della radice quadrata di un reale positivo. Esistenza della radice n-esima di un reale positivo (senza dim.).
|
| 4/10 |
Principio di induzione. Esempi: disuguaglianza di Bernoulli, somma dei primi n naturali. Somma di una progressione geometrica. Cenni di calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, combinazioni. Proprietà dei coefficienti binomiali.
|
| 5/10 |
Formula del binomio di Newton. Generalità sulle funzioni. Dominio, codominio, immagine e grafico. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Invertibilità di una funzione biunivoca. Esempi.
|
| 6/10 |
Esercizi sul principio di induzione e su estermi inferiori e superiori.
|
| 7/10 |
Relazione tra il grafico di una funzione e della sua inversa. Cardinalità di un insieme. Numerabilità di Q e non numerabilità di R (senza dim.). Funzioni (strettamente) crescenti e decrescenti. Invertibilità delle funzioni strettamente monotone. Funzioni pari e dispari. Valore assoluto e sue proprietà. Esempi.
|
| 11/10 |
Operazioni sui grafici. Potenze a esponente razionale e loro proprietà (senza dim.). Esempi di loro grafici. Potenze a esponente reale e loro proprietà (senza dim.). Funzione esponenziale e suo grafico.
|
| 12/10 |
Invertibilità della funzione esponenziale. Logaritmi e loro proprietà. Funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente. Loro grafici, valori notevoli, e proprietà (senza dim.).
|
| 13/10 |
Funzioni trigonometriche inverse. Successioni. Definizione di successione convergente, divergente, indeterminata. Esempi.
|
| 14/10 |
Proprietà che valgono definitivamente. Unicità del limite. Regolarità delle successioni monotone. Stabilità del limite per passaggio a sottosuccessioni. Teorema della permanenza del segno. Esempi.
|
| 18/10 |
Teoremi del confronto e dei carabinieri. Algebra dei limiti finiti. Estensione ai limiti infiniti e forma indeterminata per la somma. Esempi.
|
| 19/10 |
Prodotti e rapporti con limiti infiniti e relative forme indeterminate. Limiti di potenze, logaritmi ed esponenziali. Forme indeterminate per le potenze. Criterio del rapporto.
|
| 20/10 |
Limiti notevoli. Confronto di infiniti. Il numero di Nepero.
|
| 26/10 |
(Tenuta dalla prof. A. Cutrì.) Esercizi su limiti di successioni.
|
| 27/10 |
(Tenuta dalla prof. A. Cutrì.) Esercizi su limiti di successioni. Limiti notevoli riconducibili al numero di Nepero. Esempi.
|
| 28/10 |
Successioni o(1) e successioni asintoticamente equivalenti. Formula di Stirling. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy ed equivalenza con la convergenza (inizio dim.).
|
| 2/11 |
Successioni di Cauchy ed equivalenza con la convergenza (fine dim.). Intorni. Definizione di limite di una successione tramite intorni. Punti di accumulazione. Definizione generale di limite di funzione. Casi particolari. Limite destro e sinistro. Esempi.
|
| 3/11 |
Teorema ponte. Teoremi generali sui limiti di funzioni (unicità, permanenza del segno, carabinieri, algebra dei limiti, forme indeterminate). Limiti di potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche. Esempi.
|
| 4/11 |
Limiti di funzioni composte. Confronto di infiniti e infinitesimi. Esempi.
|
| 7/11 |
Limiti notevoli. Equivalenza asintotica di funzioni e suo uso nel calcolo dei limiti. Esempi. Simboli di Landau e loro proprietà.
|
| 8/11 |
Esempi di uso dei simboli di Landau nel calcolo dei limiti. Infiniti e infinitesimi di ordine superiore. Funzioni continue. Permanenza del segno. Algebra delle funzioni continue e continuità delle funzioni elementari. Continuità a destra e a sinistra. Esempi.
|
| 9/11 |
Continuità del valore assoluto. Classificazione dei punti di discontinuità. Esempi. Punti di discontinuità di funzioni monotone. Asintoti verticali, orizzontali, obliqui. Esempi.
|
| 10/11 |
Esercizi su limiti di successioni e di funzioni.
|
| 11/11 |
Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Funzioni continue e iniettive su un intervallo: stretta monotonia e continuità dell'inversa. Teorema di Weierstrass e applicazioni.
|
| 15/11 |
(Tenuta dalla prof. A. Cutrì.) Continuità uniforme. Teorema di Heine-Cantor. Esempi. Derivata. Interpretazione geometrica e retta tangente al grafico di una funzione. Funzioni di classe C1. Continuità delle funzioni derivabili.
|
| 16/11 |
Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivata di una funzione composta. Esempi.
|
| 17/11 |
Derivata della funzione inversa. Derivate delle funzioni trigonometriche inverse. Punti a tangente verticale. Derivata destra e sinistra. Cuspidi e punti angolosi. Esempi. Punti estremali locali e globali. Punti critici.
|
| 18/11 |
Teorema di Fermat. Determinazione del massimo e minimo di una funzione continua in un intervallo chiuso. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Criterio differenziale di monotonia. Costanza di funzioni con derivata nulla su un intervallo. Esempi.
|
| 21/11 |
Applicazione del teorema di Lagrange allo studio della derivabilità. Esempi di studio della monotonia e dei punti estremali. Derivate successive. Funzioni di classe Cn e C∞. Funzioni convesse. Monotonia del rapporto incrementale di funzioni convesse (inizio dim.).
|
| 22/11 |
Monotonia del rapporto incrementale di funzioni convesse (fine dim.). Monotonia della derivata prima di funzioni convesse. Caratterizzazione della convessità tramite la derivata seconda. Flessi. Una funzione convessa sta sopra le sue tangenti. Teorema di Cauchy. Teorema di de L'Hopital.
|
| 23/11 |
Esempi di applicazione del teorema di de L'Hopital. Funzioni iperboliche e loro proprietà.
|
| 24/11 |
Formula di Taylor con resto di Peano. Sviluppi di MacLaurin notevoli.
|
| 25/11 |
Esercizi su studio del grafico di una funzione.
|
| 29/11 |
Esercizi su studio del grafico di una funzione.
|
| 30/11 |
Ulteriori sviluppi di MacLaurin notevoli. Esempi di calcolo di polinomi di Taylor tramite l'unicità. Applicazioni del polinomio di Taylor al calcolo di limiti.
|
| 1/12 |
Formula di Taylor con resto di Lagrange. Applicazione all'approssimazione di funzioni. Irrazionalità del numero di Nepero. Introduzione alla teoria dell'integrazione. Partizioni di un'intervallo. Somme integrali inferiori e superiori relative a una partizione.
|
| 2/12 |
Monotonia delle somme integrali rispetto all'infittimento. Funzioni integrabili. Esempi e controesempi. Caratterizzazione dell'integrabilità. Proprietà dell'integrale (senza dim.).
|
| 5/12 |
Esercizi su sviluppi di Taylor e applicazioni al calcolo dei limiti.
|
| 6/12 |
Integrabilità delle funzioni continue. Integrabilità delle funzioni continue a meno di un numero finito di punti. Integrabilità delle funzioni monotone. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale.
|
| 7/12 |
Primitive. Unicità della primitiva a meno di costanti additive. Primitive immediate. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti. Esempi.
|
| 9/12 |
Integrazione per sostituzione. Esempi. Integrali di funzioni pari o dispari su intervalli simmetrici. Numeri complessi. Proprietà di corpo e non ordinabilità. Parte reale e immaginaria, coniugato e modulo di un numero complesso e loro proprietà. Piano di Argand-Gauss.
|
| 13/12 |
Forma trigonometrica di un numero complesso e interpretazione geometrica del prodotto. Potenze intere di un numero complesso. Esponenziale di un numero immaginario puro. Formule di De Moivre e di Eulero. Forma esponenziale e radici n-esime di un numero complesso. Soluzione di equazioni complesse.
|
| 14/12 |
Equazioni complesse di secondo grado. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dim.) e sua versione reale. Esempi. Scomposizione in fratti semplici (senza dim.) e integrazione delle funzioni razionali.
|
| 15/12 |
Esempi di integrali di funzioni razionali. Formula di Hermite (senza dim.). Classi di funzioni riducibili a funzioni razionali tramite opportune sostituzioni. Esempi.
|
| 16/12 |
Ulteriori classi di funzioni riducibili a funzioni razionali tramite opportune sostituzioni. Esempi. Integrali impropri. Integrabilità di 1/xα in zero e all'infinito.
|
| 19/12 |
Esercizi sui numeri complessi.
|
| 20/12 |
Integrabilità di 1/x |log x|β in zero e all'infinito. Integrabilità impropria di funzioni non negative. Criterio del confronto. Esempi. Criterio del confronto asintotico.
|
| 21/12 |
Funzioni assolutamente impropriamente integrabili. L'assoluta integrabilità implica l'integrabilità. Esempi.
|
| 22/12 |
Esercizi su integrali.
|
| 23/12 |
Esercizi su integrali impropri.
|
| 10/1 |
Introduzione alle equazioni differenziali. Equazione del moto di un grave in assenza e in presenza di attrito. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Integrale generale dell'equazione non omogenea. Equazioni lineari del I ordine. Integrale generale dell'equazione omogenea. Metodo di variazione della costante e integrale generale dell'equazione non omogenea. Limiti e derivate di funzioni a valori complessi di una variabile reale.
|
| 11/1 |
Integrale generale di un'equazione lineare omogenea del II ordine a coefficienti costanti. Esempi. Metodo di somiglianza per la soluzione particolare di un'equazione differenziale del II ordine lineare a coefficienti costanti (senza dim.). Esempi.
|
| 12/1 |
Ulteriori esempi di applicazione del metodo di somiglianza. Problema di Cauchy per equazioni lineari: esempi. Equazioni a variabili separabili. Esistenza e unicità locali della soluzione del problema di Cauchy. Esistenza di soluzioni massimali (senza dim.).
|
| 13/1 |
Esempi di soluzione di problemi di Cauchy per equazioni a variabili separabili. Riduzione dell'ordine. Oscillatore armonico smorzato.
|
| 17/1 |
Oscillatore armonico smorzato e forzato. Esercizi su equazioni differenziali.
|
| 18/1 |
Esercizi di riepilogo.
|
| 19/1 |
Esercizi di riepilogo.
|
| 20/1 |
Esercizi di riepilogo.
|
