| 21/9 |
Richiami di insiemistica: unione, intersezione, differenza, complementare e loro proprietà. Insiemi numerici: numeri naturali, interi e razionali. Struttura di corpo ordinato di Q.
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| 22/9 |
Principio di Archimede in Q. Non esistenza della radice di 2 in Q. I razionali come allineamenti decimali periodici. Definizione dei reali come allineamenti decimali non periodici. R è un corpo ordinato archimedeo (senza dim.). Densità dei razionali in R.
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Densità degli irrazionali in R. Intervalli. Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore e inferiore di un insieme. Esempi.
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| 24/9 |
Completezza di R. Proprietà caratteristiche di inf e sup. Esempi. Esistenza della radice quadrata di un reale positivo. Esistenza della radice n-esima di un reale positivo (senza dim.).
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Principio di induzione. Esempi: disuguaglianza di Bernoulli, somma dei primi n naturali. Somma di una progressione geometrica. Cenni di calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, combinazioni.
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Proprietà dei coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton. Esercizi sul principio di induzione.
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Esercizi su estermi inferiori e superiori. Generalità sulle funzioni. Dominio, codominio, immagine e grafico. Esempi.
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Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Invertibilità di una funzione biunivoca. Cardinalità di un insieme. Numerabilità di Q e non numerabilità di R (senza dim.). Funzioni (strettamente) crescenti e decrescenti. Esempi.
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| 5/10 |
Invertibilità delle funzioni strettamente monotone. Relazione tra il grafico di una funzione e della sua inversa. Funzioni pari e dispari. Valore assoluto e sue proprietà. Operazioni sui grafici. Esempi.
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| 6/10 |
Potenze a esponente razionale e loro proprietà (senza dim.). Esempi di loro grafici. Potenze a esponente reale e loro proprietà (senza dim.). Funzione esponenziale e suo grafico.
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| 7/10 |
Invertibilità della funzione esponenziale. Logaritmi e loro proprietà. Funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente. Loro grafici, valori notevoli, e proprietà (senza dim.).
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| 8/10 |
Funzioni trigonometriche inverse. Successioni. Definizione di successione convergente, divergente, indeterminata. Esempi. Proprietà che valgono definitivamente.
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| 12/10 |
Unicità del limite. Regolarità delle successioni monotone. Stabilità del limite per passaggio a sottosuccessioni. Teoremi della permanenza del segno, del confronto e dei carabinieri. Esempi.
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| 13/10 |
Algebra dei limiti finiti. Estensione ai limiti infiniti e forme indeterminate per somma e prodotto. Esempi.
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| 14/10 |
Forme indeterminate per il rapporto. Limiti di potenze, logaritmi ed esponenziali. Forme indeterminate per le potenze. Criterio del rapporto. Limiti notevoli.
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Confronto di infiniti. Esercizi su limiti di successioni.
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| 19/10 |
Il numero di Nepero. Limiti notevoli riconducibili al numero di Nepero. Esempi.
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| 20/10 |
Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy ed equivalenza con la convergenza. Intorni. Definizione di limite di una successione tramite intorni. Punti di accumulazione.
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| 21/10 |
Definizione generale di limite di funzione. Casi particolari. Limite destro e sinistro. Teorema ponte. Esempi.
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| 26/10 |
Teoremi generali sui limiti di funzioni (unicità, permanenza del segno, carabinieri, algebra dei limiti, forme indeterminate). Limiti di funzioni composte. Limiti di potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche. Esempi.
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| 27/10 |
Confronto di infiniti e infinitesimi. Limiti notevoli. Equivalenza asintotica di funzioni e suo uso nel calcolo dei limiti. Esempi.
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| 28/10 |
Simboli di Landau e loro proprietà. Uso dei limiti notevoli e dei simboli di Landau nel calcolo dei limiti. Esempi.
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| 29/10 |
Esercizi su limiti di successioni e di funzioni.
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Funzioni continue. Permanenza del segno. Algebra delle funzioni continue e continuità delle funzioni elementari. Continuità a destra e a sinistra. Continuità di parte positiva, negativa e valore assoluto. Classificazione dei punti di discontinuità. Esempi.
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Asintoti verticali, orizzontali, obliqui. Esempi. Punti di discontinuità di funzioni monotone. Teorema di esistenza degli zeri.
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| 4/11 |
Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass e applicazioni. Continuità uniforme. Teorema di Heine-Cantor. Esempi.
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| 5/11 |
Derivata. Interpretazione geometrica e retta tangente al grafico di una funzione. Funzioni di classe C1. Continuità delle funzioni derivabili. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate.
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Derivata di una funzione composta. Esempi. Continuità dell'inversa.
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| 10/11 |
Derivata della funzione inversa. Derivate delle funzioni trigonometriche inverse. Punti a tangente verticale. Derivata destra e sinistra. Cuspidi e punti angolosi. Punti estremali locali e globali. Punti critici. Teorema di Fermat.
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| 11/11 |
Determinazione del massimo e minimo di una funzione continua in un intervallo chiuso. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Criterio differenziale di monotonia. Costanza di funzioni con derivata nulla su un intervallo. Esempi.
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| 12/11 |
Applicazione del teorema di Lagrange allo studio della derivabilità. Esempi di studio della monotonia e dei punti estremali. Derivate successive. Funzioni di classe Cn. Funzioni convesse. Monotonia del rapporto incrementale di funzioni convesse (inizio dim.).
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| 15/11 |
Monotonia del rapporto incrementale di funzioni convesse (fine dim.). Monotonia della derivata prima di funzioni convesse. Caratterizzazione della convessità tramite la derivata seconda. Una funzione convessa sta sopra le sue tangenti. Teorema di Cauchy.
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| 16/11 |
Teorema di de L'Hopital. Esempi. Esercizi su studio del grafico di una funzione.
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| 17/11 |
Esercizi su studio del grafico di una funzione.
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| 18/11 |
Esercizi su studio del grafico di una funzione. Formula di Taylor con resto di Peano (inizio dim.).
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| 19/11 |
Formula di Taylor con resto di Peano (fine dim.). Sviluppi di MacLaurin notevoli. Esempi di calcolo di polinomi di Taylor tramite l'unicità.
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| 23/11 |
Applicazioni del polinomio di Taylor al calcolo di limiti. Formula di Taylor con resto di Lagrange. Applicazione all'approssimazione di funzioni. Irrazionalità del numero di Nepero.
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| 24/11 |
Funzioni iperboliche e loro proprietà. Introduzione alla teoria dell'integrazione. Partizioni di un'intervallo. Somme integrali inferiori e superiori relative a una partizione.
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| 25/11 |
Esercizi su sviluppi di Taylor e applicazioni al calcolo dei limiti.
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| 26/11 |
Monotonia delle somme integrali rispetto all'infittimento. Funzioni integrabili. Esempi e controesempi. Caratterizzazione dell'integrabilità. Integrabilità delle funzioni continue.
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| 30/11 |
Integrabilità delle funzioni continue a meno di un numero finito di punti (senza dim.). Proprietà dell'integrale (senza dim.). Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Unicità della primitiva a meno di costanti additive. Primitive immediate. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Esempi.
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| 1/12 |
Integrazione per parti e per sostituzione. Esempi. Integrali di funzioni pari o dispari su intervalli simmetrici.
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| 2/12 |
Numeri complessi. Proprietà di corpo e non ordinabilità. Parte reale e immaginaria, coniugato e modulo di un numero complesso e loro proprietà. Piano di Argand-Gauss. Forma trigonometrica e interpretazione geometrica del prodotto. Potenze intere di un numero complesso. Esponenziale di un numero immaginario puro. Formule di De Moivre e di Eulero.
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| 3/12 |
Forma esponenziale e radici n-esime di un numero complesso. Soluzione di equazioni complesse. Equazioni complesse di secondo grado. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dim.) e sua versione reale. Esempi.
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| 7/12 |
Scomposizione in fratti semplici (senza dim.) e integrazione delle funzioni razionali. Formula di Hermite (senza dim.). Esempi.
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| 9/12 |
Classi di funzioni riducibili a funzioni razionali tramite opportune sostituzioni. Esempi.
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| 10/12 |
Esercizi sui numeri complessi.
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| 13/12 |
Esercizi su integrali.
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| 14/12 |
Integrali impropri. Integrabilità di 1/xα e di 1/x logβx in zero e all'infinito. Integrabilità impropria di funzioni non negative. Criterio del confronto. Esempi.
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| 15/12 |
Criterio del confronto asintotico. Funzioni assolutamente impropriamente integrabili. L'assoluta integrabilità implica l'integrabilità. Esempi. Introduzione alle equazioni differenziali. Equazione del moto di un grave in assenza e in presenza di attrito.
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| 16/12 |
Equazioni differenziali lineari di ordine n. Integrale generale dell'equazione non omogenea. Equazioni lineari del I ordine. Integrale generale dell'equazione omogenea. Metodo di variazione della costante e integrale generale dell'equazione non omogenea. Equazioni lineari omogenee del II ordine a coefficienti costanti. Integrale generale nel caso di due radici reali distinte e di una singola radice reale del polinomio caratteristico. Esempi.
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Equazioni lineari omogenee del II ordine a coefficienti costanti: integrale generale nel caso di due radici complesse coniugate del polinomio caratteristico. Esempi. Esercizi su integrali impropri.
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| 21/12 |
Esercizi su integrali impropri. Metodo di somiglianza per la soluzione particolare di un'equazione differenziale del II ordine lineare a coefficienti costanti. Esempi.
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| 22/12 |
Ulteriori esempi di applicazione del metodo di somiglianza. Problema di Cauchy per equazioni lineari: esempi. Equazioni a variabili separabili. Esistenza e unicità locali della soluzione del problema di Cauchy. Esistenza di soluzioni massimali (senza dim.).
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Esempi di soluzione di problemi di Cauchy per equazioni a variabili separabili. Riduzione dell'ordine.
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| 11/1 |
Esercizi su equazioni differenziali.
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| 12/1 |
Esercizi di riepilogo.
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| 13/1 |
Esercizi di riepilogo.
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| 14/1 |
Esercizi di riepilogo.
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