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Richiami su Rn: operazioni di spazio vettoriale, prodotto scalare, norma, distanza, disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare. Punti interni, esterni, di frontiera e di accumulazione di un insieme in Rn. Insiemi aperti e chiusi e loro proprietà. Insiemi limitati e teorema di Bolzano-Weierstrass. Esempi. Definizione di limite di funzioni scalari di più variabili.
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23/9 |
Definizione di limite di funzioni vettoriali di più variabili. Operazioni con i limiti e forme indeterminate (s.d.). Successioni in Rn e loro limiti, teorema ponte (s.d.). Curve parametriche, sostegno di una curva, vettore tangente, esempi.
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24/9 |
Applicazioni delle curve al calcolo dei limiti di funzioni di più variabili. Uso delle coordinate polari nel calcolo dei limiti. Esempi ed esercizi.
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Esercizi sui limiti. Funzioni continue di più variabili. La controimmagine di un aperto tramite una funzione continua è aperta. Insiemi connessi. Teoremi di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Insiemi compatti. Teorema di Bolzano-Weierstrass (s.d.) e teorema di Weierstrass (s.d.).
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Continuità dell'inversa di una funzione continua e iniettiva definita su un compatto. Uniforme continuità e teorema di Heine-Cantor (s.d.). Derivate direzionali e derivate parziali. Esempi. Funzioni differenziabili. Differenziabilità implica continuità e derivabilità, ma non il viceversa.
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Esercizi sui limiti e sulla continuità.
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Esempi di funzioni differenziabili. Significato geometrico del differenziale e piano tangente al grafico di una funzione di due variabili. Significato geometrico del gradiente. Teorema del differenziale totale.
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7/10 |
Regola della catena (caso particolare). Teorema del valor medio. Costanza di funzioni con gradiente identicamente nullo su un connesso (s.d.). Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Funzioni di classe Ck. Teorema di Schwarz (s.d.). Matrice hessiana. Formula di Taylor al II ordine con resti di Peano e di Lagrange (enunciato).
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Esercizi su derivabilità e differenziabilità.
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12/10 |
Formula di Taylor al II ordine con resti di Peano e di Lagrange (dim.). Formula di Taylor generale (s.d.). Punti estremali e punti stazionari. Teorema di Fermat. Matrici simmetriche (semi-)definite positive, negative o indefinite.
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14/10 |
Caratterizzazione di matrici definite positive/negative in termini degli autovalori. Condizione sufficiente al II ordine per l'estremalità. Esempi.
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15/10 |
Esercizi su formula di Taylor e punti estremali.
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19/10 |
Differenziabilità di funzioni vettoriali. Matrice jacobiana. Regola della catena (caso generale). Funzioni definite implicitamente. Teorema di Dini (caso di due variabili, enunciato). Esempi.
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21/10 |
Dimostrazione del teorema di Dini (caso di due variabili). Ortogonalità del gradiente alle curve di livello. Teorema di Dini (caso generale, s.d.).
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22/10 |
Esercizi su funzioni definite implicitamente e punti estremali.
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26/10 |
Ortogonalità del gradiente alle superfici di livello. Estremi vincolati. Esempi: esplicitazione e parametrizzazione del vincolo. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
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28/10 |
Esempi di applicazione del teorema dei moltiplicatori. Teorema di inversione locale (s.d.). Diffeomorfismi. Esempio: coordinate polari.
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Esercizi su estremali vincolati ed estremali in insiemi chiusi.
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Ulteriori esempi di diffeomorfismi: coordinate cilindriche e sferiche. Suddivisioni di un rettangolo. Somme di Riemann superiori e inferiori. Funzioni integrabili su un rettangolo.
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4/11 |
Proprietà delle funzioni integrabili su un rettangolo (s.d.). Formule di riduzione per rettangoli. Esempi. Funzioni integrabili su un insieme limitato. Insiemi misurabili.
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Esercizi di riepilogo su punti estermali di funzioni di più variabili.
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Un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Proprietà degli insiemi misurabili (s.d.) Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate su rettangoli. Integrabilità delle funzioni continue e limitate su insiemi misurabili.
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11/11 |
Insiemi normali rispetto agli assi e loro misurabilità. Formule di riduzione per insiemi normali. Esempi.
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12/11 |
Esercizi su integrali doppi.
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Cambiamento di variabili negli integrali doppi (idea della dimostrazione). Definizione e proprietà generale degli integrali tripli di funzioni limitate su parellelepidi e insiemi misurabili (s.d.). Insiemi normali rispetto ai piani coordinati e rispetto agli assi. Formule di riduzione (s.d.).
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18/11 |
Formula di cambiamento di variabili negli integrali tripli (s.d.). Baricentro di un insieme e volume di un solido di rotazione. Misurabilità di insiemi illimitati in Rn.
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19/11 |
Esercizi sul cambiamento di variabili negli integrali doppi.
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23/11 |
Integrale di una funzione generalmente continua non negativa. Criterio del confronto. Funzioni generalmente continue e sommabili e loro integrale. Integrale di una funzione non negativa o sommabile come limite di integrali su una successione invadente di insiemi misurabili limitati. Esempi di funzioni sommabili (integrale della gaussiana e di 1/|x|α in un intorno dell'origine e di infinito).
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25/11 |
Curve parametriche chiuse, semplici, cartesiane e polari. Orientazione di una curva e curve equivalenti. Esempi. Curve regolari. Esempi. Curve rettificabili. Invarianza della lunghezza per cambiamenti di parametro. Rettificabilità delle curve C1 (s.d.). Esempi. Campi vettoriali conservativi.
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26/11 |
Esercizi su integrali tripli e integrali impropri.
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30/11 |
Unicità (a meno di costanti) del potenziale. Integrali di campi vettoriali su curve parametriche. Invarianza (a meno del segno) per cambiamenti di parametro. Campi vettoriali e forme differenziali. Caratterizzazioni dei campi conservativi tramite integrali su curve.
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2/12 |
Un campo conservativo è irrotazionale. Omotopia tra curve chiuse. Invarianza omotopica dell'integrale di un campo irrotazionale su una curva chiusa (s.d.). Insiemi semplicemente connessi. Esempi. Un campo irrotazionale su un insieme semplicemente connesso è conservativo. Esempi.
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3/12 |
Esercizi su curve parametriche e integrali curvilinei di campi vettoriali.
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9/12 |
Derivazione sotto il segno di integrale (s.d.). Domini regolari normali nel piano. Domini regolari nel piano e orientazione del bordo. Esempio. Rotore di un campo vettoriale nel piano. Teorema di Gauss-Green. Area di un dominio regolare come integrale curvilineo.
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10/12 |
Definizione di superficie elementare (o parametrica). Interno e bordo di una superficie parametrica. Superfici regolari, piano tangente e vettori normali. Esempi.
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14/12 |
Superfici elementari orientabili. Orientabilità delle superfici cartesiane. Esempi. Orientazione del bordo di una superficie invertibile. Superfici composte e loro orientabilità. Area di una superficie elementare regolare e di una superficie composta. Integrale superficiale di una funzione scalare.
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16/12 |
Parametrizzazioni equivalenti e invarianza dell'integrale di superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie (composta) orientata. Domini regolari normali in R3. Parametrizzazioni e orientabilità della frontiera di un dominio regolare normale. Domini regolari. Divergenza di un campo vettoriale.
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17/12 |
Teorema della divergenza. Rotore di un campo vettoriale. Teorema di Stokes. Area di una superficie di rotazione.
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Esercizi su aree di superfici, flussi di campi vettoriali e teorema di Stokes.
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23/12 |
Definizione di serie numerica convergente, divergente, indeterminata. Esempi: serie telescopiche, serie geometrica, serie esponenziale. Condizione necessaria di convergenza. Serie a termini positivi: criterio del confronto, del confronto asintotico (s.d.). Criterio del confronto integrale. Serie armonica generalizzata. Criteri della radice e del rapporto. Serie assolutamente convergenti. Convergenza assoluta implica convergenza. Serie a segni alternati e criterio di Leibniz (s.d.).
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7/1 |
Sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in forma normale. Funzioni localmente e globalmente lypschitziane. Condizioni sufficienti per la lypschitzianità. Teoremi di esistenza e unicità di Cauchy-Lypschitz (s.d.). Esistenza di soluzioni massimali (s.d.). Sistemi lineari del primo ordine. Linearità dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo e sua dimensione.
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11/1 |
Caratterizzazioni dell'indipendenza lineare di soluzioni del sistema omogeneo. Soluzioni del sistema non omogeneo. Sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti. Esponenziale di matrici e integrale generale del sistema omogeneo nel caso di matrici diagonalizzabili. Metodo di variazione delle costanti.
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12/1 |
Esponenziale di matrici del tipo multiplo dell'identità più nilpotente. Esempi di soluzione di sistemi con matrice dei coefficienti diagonalizzabile o multiplo dell'identità più nilpotente. Blocchi elementari di Jordan e loro esponenziali. Esponenziale di matrici diagonali a blocchi. Forma canonica di Jordan (s.d.) e suo esponenziale.
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Determinazione degli autovettori generalizzati in R3. Esempi ed esercizi.
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