Didattica


Anno accademico 2020/21

Corso di Analisi Matematica 2, corsi di laurea triennale in Ingegneria Meccanica ed Energetica, I semestre
  • Orario del corso
    Lunedì ore 11.30 - 13.15
    Mercoledì ore 11.30 - 13.15
    Giovedì ore 11.30 - 13.15
  • Programma di massima
    Funzioni di più variabili: limiti e continuità, calcolo differenziale ed estremi liberi, funzioni implicite ed estremi vincolati, integrali multipli.
    Analisi vettoriale: curve e campi vettoriali, superficie e integrali di superficie, teoremi della divergenza e del rotore.
    Serie: serie numeriche, successioni e serie di funzioni, serie di potenze.
    Equazioni differenziali: teoremi di esistenza e unicità di Cauchy-Lypschitz, sistemi lineari a coefficienti costanti, matrice esponenziale, equazioni lineari di ordine n a coefficienti, matrice wronskiana.
  • Testi consigliati
    Teoria:
    • M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi matematica, McGraw-Hill
    • M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli
    • E. Giusti, Analisi matematica 2, Bollati Boringhieri
    • N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi matematica 2, Liguori
    Esercizi:
    • E. Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica, Vol. 2, Bollati Boringhieri
    • B. P. Demidovic, Esercizi e problemi di analisi matematica, Editori Riuniti
    • P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di matematica, vol. 2, tomi 1-4, Liguori
  • Calendario delle lezioni
    -
    21/9 Richiami su Rn: operazioni di spazio vettoriale, prodotto scalare, norma, distanza, disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare. Punti interni, esterni, di frontiera e di accumulazione di un insieme in Rn. Insiemi aperti e chiusi e loro proprietà. Insiemi limitati e teorema di Bolzano-Weierstrass. Esempi. Definizione di limite di funzioni scalari di più variabili.
    23/9 Definizione di limite di funzioni vettoriali di più variabili. Operazioni con i limiti e forme indeterminate (s.d.). Successioni in Rn e loro limiti, teorema ponte (s.d.). Curve parametriche, sostegno di una curva, vettore tangente, esempi.
    24/9 Applicazioni delle curve al calcolo dei limiti di funzioni di più variabili. Uso delle coordinate polari nel calcolo dei limiti. Esempi ed esercizi.
    28/9 Esercizi sui limiti. Funzioni continue di più variabili. La controimmagine di un aperto tramite una funzione continua è aperta. Insiemi connessi. Teoremi di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Insiemi compatti. Teorema di Bolzano-Weierstrass (s.d.) e teorema di Weierstrass (s.d.).
    30/9 Continuità dell'inversa di una funzione continua e iniettiva definita su un compatto. Uniforme continuità e teorema di Heine-Cantor (s.d.). Derivate direzionali e derivate parziali. Esempi. Funzioni differenziabili. Differenziabilità implica continuità e derivabilità, ma non il viceversa.
    1/10 Esercizi sui limiti e sulla continuità.
    5/10 Esempi di funzioni differenziabili. Significato geometrico del differenziale e piano tangente al grafico di una funzione di due variabili. Significato geometrico del gradiente. Teorema del differenziale totale.
    7/10 Regola della catena (caso particolare). Teorema del valor medio. Costanza di funzioni con gradiente identicamente nullo su un connesso (s.d.). Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Funzioni di classe Ck. Teorema di Schwarz (s.d.). Matrice hessiana. Formula di Taylor al II ordine con resti di Peano e di Lagrange (enunciato).
    8/10 Esercizi su derivabilità e differenziabilità.
    12/10 Formula di Taylor al II ordine con resti di Peano e di Lagrange (dim.). Formula di Taylor generale (s.d.). Punti estremali e punti stazionari. Teorema di Fermat. Matrici simmetriche (semi-)definite positive, negative o indefinite.
    14/10 Caratterizzazione di matrici definite positive/negative in termini degli autovalori. Condizione sufficiente al II ordine per l'estremalità. Esempi.
    15/10 Esercizi su formula di Taylor e punti estremali.
    19/10 Differenziabilità di funzioni vettoriali. Matrice jacobiana. Regola della catena (caso generale). Funzioni definite implicitamente. Teorema di Dini (caso di due variabili, enunciato). Esempi.
    21/10 Dimostrazione del teorema di Dini (caso di due variabili). Ortogonalità del gradiente alle curve di livello. Teorema di Dini (caso generale, s.d.).
    22/10 Esercizi su funzioni definite implicitamente e punti estremali.
    26/10 Ortogonalità del gradiente alle superfici di livello. Estremi vincolati. Esempi: esplicitazione e parametrizzazione del vincolo. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
    28/10 Esempi di applicazione del teorema dei moltiplicatori. Teorema di inversione locale (s.d.). Diffeomorfismi. Esempio: coordinate polari.
    29/10 Esercizi su estremali vincolati ed estremali in insiemi chiusi.
    2/11 Ulteriori esempi di diffeomorfismi: coordinate cilindriche e sferiche. Suddivisioni di un rettangolo. Somme di Riemann superiori e inferiori. Funzioni integrabili su un rettangolo.
    4/11 Proprietà delle funzioni integrabili su un rettangolo (s.d.). Formule di riduzione per rettangoli. Esempi. Funzioni integrabili su un insieme limitato. Insiemi misurabili.
    5/11 Esercizi di riepilogo su punti estermali di funzioni di più variabili.
    9/11 Un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Proprietà degli insiemi misurabili (s.d.) Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate su rettangoli. Integrabilità delle funzioni continue e limitate su insiemi misurabili.
    11/11 Insiemi normali rispetto agli assi e loro misurabilità. Formule di riduzione per insiemi normali. Esempi.
    12/11 Esercizi su integrali doppi.
    16/11 Cambiamento di variabili negli integrali doppi (idea della dimostrazione). Definizione e proprietà generale degli integrali tripli di funzioni limitate su parellelepidi e insiemi misurabili (s.d.). Insiemi normali rispetto ai piani coordinati e rispetto agli assi. Formule di riduzione (s.d.).
    18/11 Formula di cambiamento di variabili negli integrali tripli (s.d.). Baricentro di un insieme e volume di un solido di rotazione. Misurabilità di insiemi illimitati in Rn.
    19/11 Esercizi sul cambiamento di variabili negli integrali doppi.
    23/11 Integrale di una funzione generalmente continua non negativa. Criterio del confronto. Funzioni generalmente continue e sommabili e loro integrale. Integrale di una funzione non negativa o sommabile come limite di integrali su una successione invadente di insiemi misurabili limitati. Esempi di funzioni sommabili (integrale della gaussiana e di 1/|x|α in un intorno dell'origine e di infinito).
    25/11 Curve parametriche chiuse, semplici, cartesiane e polari. Orientazione di una curva e curve equivalenti. Esempi. Curve regolari. Esempi. Curve rettificabili. Invarianza della lunghezza per cambiamenti di parametro. Rettificabilità delle curve C1 (s.d.). Esempi. Campi vettoriali conservativi.
    26/11 Esercizi su integrali tripli e integrali impropri.
    30/11 Unicità (a meno di costanti) del potenziale. Integrali di campi vettoriali su curve parametriche. Invarianza (a meno del segno) per cambiamenti di parametro. Campi vettoriali e forme differenziali. Caratterizzazioni dei campi conservativi tramite integrali su curve.
    2/12 Un campo conservativo è irrotazionale. Omotopia tra curve chiuse. Invarianza omotopica dell'integrale di un campo irrotazionale su una curva chiusa (s.d.). Insiemi semplicemente connessi. Esempi. Un campo irrotazionale su un insieme semplicemente connesso è conservativo. Esempi.
    3/12 Esercizi su curve parametriche e integrali curvilinei di campi vettoriali.
    9/12 Derivazione sotto il segno di integrale (s.d.). Domini regolari normali nel piano. Domini regolari nel piano e orientazione del bordo. Esempio. Rotore di un campo vettoriale nel piano. Teorema di Gauss-Green. Area di un dominio regolare come integrale curvilineo.
    10/12 Definizione di superficie elementare (o parametrica). Interno e bordo di una superficie parametrica. Superfici regolari, piano tangente e vettori normali. Esempi.
    14/12 Superfici elementari orientabili. Orientabilità delle superfici cartesiane. Esempi. Orientazione del bordo di una superficie invertibile. Superfici composte e loro orientabilità. Area di una superficie elementare regolare e di una superficie composta. Integrale superficiale di una funzione scalare.
    16/12 Parametrizzazioni equivalenti e invarianza dell'integrale di superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie (composta) orientata. Domini regolari normali in R3. Parametrizzazioni e orientabilità della frontiera di un dominio regolare normale. Domini regolari. Divergenza di un campo vettoriale.
    17/12 Teorema della divergenza. Rotore di un campo vettoriale. Teorema di Stokes. Area di una superficie di rotazione.
    21/12 Esercizi su aree di superfici, flussi di campi vettoriali e teorema di Stokes.
    23/12 Definizione di serie numerica convergente, divergente, indeterminata. Esempi: serie telescopiche, serie geometrica, serie esponenziale. Condizione necessaria di convergenza. Serie a termini positivi: criterio del confronto, del confronto asintotico (s.d.). Criterio del confronto integrale. Serie armonica generalizzata. Criteri della radice e del rapporto. Serie assolutamente convergenti. Convergenza assoluta implica convergenza. Serie a segni alternati e criterio di Leibniz (s.d.).
    7/1 Sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in forma normale. Funzioni localmente e globalmente lypschitziane. Condizioni sufficienti per la lypschitzianità. Teoremi di esistenza e unicità di Cauchy-Lypschitz (s.d.). Esistenza di soluzioni massimali (s.d.). Sistemi lineari del primo ordine. Linearità dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo e sua dimensione.
    11/1 Caratterizzazioni dell'indipendenza lineare di soluzioni del sistema omogeneo. Soluzioni del sistema non omogeneo. Sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti. Esponenziale di matrici e integrale generale del sistema omogeneo nel caso di matrici diagonalizzabili. Metodo di variazione delle costanti.
    12/1 Esponenziale di matrici del tipo multiplo dell'identità più nilpotente. Esempi di soluzione di sistemi con matrice dei coefficienti diagonalizzabile o multiplo dell'identità più nilpotente. Blocchi elementari di Jordan e loro esponenziali. Esponenziale di matrici diagonali a blocchi. Forma canonica di Jordan (s.d.) e suo esponenziale.
    14/1 Determinazione degli autovettori generalizzati in R3. Esempi ed esercizi.
  • Note
  • Esami
    • Regole
      • L'esame consiste di una prova scritta (con voto da 0 a 30) e di una prova orale (con voto da -5 a 5). La prova scritta si intende superata se si riporta un voto pari almeno a 18/30.
      • La prova scritta e quella orale vanno sostenute nella medesima sessione di esame.
      • La consegna di una prova scritta invalida le eventuali precedenti.
      • In caso di mancato superamento dell'orale (cioè se la somma dei voti dello scritto e dell'orale è inferiore a 18/30) è necessario ripetere la prova scritta.
      • Pena l'esclusione, durante lo scritto non è consentito l'uso di telefoni cellulari, di dispositivi elettronici in grado di connettersi ad Internet, di calcolatrici elettroniche programmabili, di libri di testo e di appunti, eccezion fatta per un foglio formato A4 (fronte/retro) contenente appunti.
      • Per prendere parte alla prova scritta è necessario esibire il libretto universitario o un documento d'identità.
    • Dimostrazioni richieste all'orale

      Oltre alle dimostrazioni dei teoremi elencate di seguito, è richiesta la conoscenza di tutte le definizioni e di tutti gli enunciati dei teoremi visti a lezione.

      • Differenziabilità implica continuità e derivabilità.
      • Regola della catena.
      • Teorema del valor medio.
      • Formula di Taylor al secondo ordine con resto di Peano.
      • Condizione necessaria per l'estremalità (teorema di Fermat).
      • Caratterizzazione spettrale di una matrice (semi-)definita positiva/negativa.
      • Condizione sufficiente del secondo ordine per l'estremalità.
      • Teorema di Dini (caso di due variabili).
      • Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
      • Formule di riduzione per integrali doppi su rettangoli.
      • Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate su rettangoli.
      • Misurabilità degli insiemi normali nel piano.
      • Caratterizzazione dei campi conservativi tramite integrali.
      • Un campo conservativo è irrotazionale.
      • Un campo irrotazionale su un insieme semplicemente connesso è conservativo.
      • Teorema di Gauss-Green per domini regolari normali in R2.
      • Versore normale e piano tangente a una superficie cartesiana.
      • Area di una superficie cartesiana.
      • Invarianza dell'area per riparametrizzazioni.
      • Teorema della divergenza.
      • Teorema di Stokes.
      • Criterio della radice.
      • Criterio del rapporto.
      • Convergenza assoluta implica convergenza semplice.
      • Struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare del I ordine.
      • Criterio di indipendenza lineare delle soluzioni di un sistema lineare del I ordine.
      • Integrale generale del sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti con matrice diagonalizzabile tramite l'esponenziale di matrici.
    • Date
      Scritto22/1/21Testo con soluzioni
      Scritto15/2/21Testo con soluzioni
      Scritto15/6/21Testo con soluzioni
      Scritto5/7/21Testo con soluzioni
      Scritto25/8/21Testo con soluzioni
      Scritto9/9/21Testo con soluzioni
Corso di Fondamenti di Analisi Matematica, corso di laurea triennale in Fisica, mutuato come Analisi Matematica 6 dal corso di laurea triennale in Matematica, II semestre
  • Orario del corso
    Martedì ore 14.30 - 16.15, aula 10
    Venerdì ore 14.00 - 15.45, aula 8
  • Programma di massima
    Spazi normati e operatori su di essi. Cenni di teoria dell'integrazione alla Lebesgue. Spazi di Hilbert e operatori. Teoria spettrale per operatori autoaggiunti su spazi di Hilbert. Applicazioni alla Meccanica Quantistica. Rappresentazioni delle relazioni di commutazione canoniche e algebra di Weyl. Teorema di Stone e operatore hamiltoniano. Oscillatore armonico. Inoltre, tempo permettendo: Cenni su rappresentazioni di gruppi e algebre di Lie di matrici. Momento angolare e spin. Teorema di Kato-Rellich. Autoaggiuntezza e spettro dell’hamiltoniana dell’atomo di idrogeno.

    Prerequisito essenziale per gli studenti di Fisica è la piena comprensione del contenuto dei corsi di Calcolo 1 e 2 e di Geometria. È inoltre consigliabile aver seguito i corsi di Meccanica Quantistica e Metodi Matematici della Fisica.
  • Calendario delle lezioni
    9/3 Spazi normati, esempi. Norme equivalenti, esempi, equivalenza di norme su spazi a dimensione finita.
    12/3 Insiemi aperti e chiusi in uno spazio normato. Spazi di Banach, esempi. Operatori limitati tra spazi normati, esempi.
    16/3 B(X,Y) è di Banach per Y di Banach. Estensione di operatori limitati densamente definiti. Richiami di teoria della misura. Anelli, algebre, σ-algebre e misure su di essi. Insiemi elementari in Rn e loro misura.
    19/3 Misura esterna di Lebesgue. Prolungamento di Lebesgue di una misura sugli insiemi elementari. Misure di Lebesgue e Lebesgue-Stieltjes. Boreliani. Regolarità del prolungamento. Richiami di teoria dell'integrazione. Spazi di misura, esempi. Funzioni misurabili e loro proprietà. Approssimazione di funzioni misurabili tramite funzioni semplici.
    23/3 Integrale di Lebesgue e sue proprietà. Teorema di convergenza monotona. Lemma di Fatou. Teorema di convergenza dominata. Teorema di Lebesgue-Vitali. Spazi Lp (p=1,2,+∞) e loro completezza.
    26/3 Densità delle funzioni continue in Lp. Forme hermitiane e prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Spazi di Hilbert. Esempi.
    31/3 Identità di polarizzazione e del parallelogramma. Ortogonali. Teorema della proiezione; proiettore su un sottospazio chiuso. Teorema di rappresentazione di Riesz.
    2/4 Sistemi ortonormali. Somme infinite (non numerabili) di vettori in uno spazio normato. Caratterizzazioni delle basi ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt e spazi di Hilbert separabili.
    6/4 Forme sesquilineari limitate e operatori. Aggiunto di un operatore. Spettro di un operatore limitato su uno spazio di Banach. Esempi. Funzioni analitiche a valori in uno spazio di Banach.
    9/4 Analiticità del risolvente e compattezza dello spettro. Teorema del raggio spettrale di Gelfand. Proprietà dello spettro di operatori su uno spazio di Hilbert.
    13/4 Teorema di Weierstrass sulla densità dei polinomi. Calcolo funzionale continuo per operatori autoaggiunti limitati.
    16/4 Teorema di estensione di Tietza. Operatori positivi su uno spazio di Hilbert. Famiglie spettrali. Convergenza forte di successioni decrescenti di operatori autoaggiunti. (Esercizi.)
    20/4 Teorema spettrale per operatori autoaggiunti limitati (versione con famiglie spettrali). Calcolo funzionale boreliano (unicità).
    23/4 Calcolo funzionale boreliano (esistenza). Misure spettrali e loro proprietà. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti limitati (versione con misure spettrali).
    27/4 Caratterizzazione degli elementi dello spettro tramite la misura spettrale. Versione del teorema spettrale tramite integrale diretto (s.d.). Misure di Lebesgue-Stieltjes bidimensionali associate a una coppia di operatori autoaggiunti limitati commutanti. Teorema di Weierstrass bidimensionale. Calcolo funzionale continuo congiunto per coppie di operatori autoaggiunti commutanti e per operatori normali limitati (inizio dim.).
    30/4 Calcolo funzionale continuo congiunto per coppie di operatori autoaggiunti commutanti e per operatori normali limitati (fine dim.). Calcolo funzionale boreliano e teorema spettrale (tramite misure spettrali) per operatori normali limitati. Cenni alla teoria della C*-algebre. Caratteri e isomorfismo di Gelfand per C*-algebre commutative. Stati e rappresentazioni. Teorema GNS.
    4/5 Stati puri e rappresentazioni irriducibili. Lemma di Schur. Cenni alla crisi della fisica classica: radiazione di corpo nero, effetto fotoelettrico, dualità onda-particella, struttura atomica e atomo di Bohr.
    7/5 Effetto Compton, onde di materia, principio di indeterminazione di Heisenberg. Formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Ensembles e procedure, stati e osservabili e loro struttura matematica. Spettro fisico di un'osservabile. Funzioni di osservabili.
    11/5 Postulato C*. Commutatività dell'algebra delle osservabili in Meccanica Classica. Principio di sovrapposizione e regole di superselezione. Principio di Heisenberg generalizzato.
    14/5 Relazioni di commutazione di Heisenberg e relazioni di Weyl. Realizzazione di Schroedinger e C*-algebra di Weyl. Rappresentazioni regolari dell'algebra di Weyl. Regolarità della rappresentazione di Schroedinger. Irriducibilità della rappresentazione di Schroedinger (inizio dim.)
    18/5 Irriducibilità della rappresentazione di Schroedinger (fine dim.). Teorema di unicità di von Neumann.
    21/5 Quantizzazione di Wigner-Weyl. Dinamica di un sistema quantistico come gruppo a un parametro di automorfismi. Implementazione unitaria della dinamica in stati stazionari. Operatori non limitati. Operatori chiusi. Esempi (operatori di Schroedinger)
    25/5 Aggiunto di un operatore e sua chiusura. Operatori simmetrici e autoaggiunti. Criterio fondamentale di autoaggiuntezza. Spettro. Essenziale autoaggiuntezza degli operatori di Schroedinger.
    28/5 Operatori autoaggiunti non limitati definiti tramite una misura spettrale. Trasformata di Cayley. Teorema spettrale e calcolo funzionale boreliano per operatori autoaggiunti non limitati. Gruppo unitario fortemente continuo generato da un operatore autoaggiunto.
    4/6 Teorema di Stone. Hamiltoniana di un sistema quantistico. Equazioni del moto di Schroedinger e di Heisenberg. Hamiltoniana e dinamica C*-algebrica della particella libera.

 Last modified: Sep. 23, 2022