Didattica


Anno accademico 2019/20

Corso di Analisi Matematica 2, corsi di laurea triennale in Ingegneria Meccanica ed Energetica, I semestre
  • Orario del corso
    Lunedì ore 11.30 - 13.00 aula Azz4
    Mercoledì ore 11.30 - 13.00 aula A4
    Giovedì ore 11.30 - 13.00 aula A4
  • Programma di massima
    Funzioni di più variabili: limiti e continuità, calcolo differenziale ed estremi liberi, funzioni implicite ed estremi vincolati, integrali multipli.
    Analisi vettoriale: curve e campi vettoriali, superficie e integrali di superficie, teoremi della divergenza e del rotore.
    Serie: serie numeriche, successioni e serie di funzioni, serie di potenze.
    Equazioni differenziali: teoremi di esistenza e unicità di Cauchy-Lypschitz, sistemi lineari a coefficienti costanti, matrice esponenziale, equazioni lineari di ordine n a coefficienti, matrice wronskiana.
  • Testi consigliati
    Teoria:
    • M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi matematica, McGraw-Hill
    • M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli
    • E. Giusti, Analisi matematica 2, Bollati Boringhieri
    • N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi matematica 2, Liguori
    Esercizi:
    • E. Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica, Vol. 2, Bollati Boringhieri
    • B. P. Demidovic, Esercizi e problemi di analisi matematica, Editori Riuniti
    • P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di matematica, vol. 2, tomi 1-4, Liguori
  • Calendario delle lezioni
    23/9 Richiami su Rn: operazioni di spazio vettoriale, prodotto scalare, norma, distanza, disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare. Punti interni, esterni, di frontiera e di accumulazione di un insieme in Rn. Insiemi aperti e chiusi e loro proprietà. Insiemi limitati e teorema di Bolzano-Weierstrass. Esempi. Punto all'infinito. Definizione di limite di funzioni scalari di più variabili.
    25/9 Definizione di limite di funzioni vettoriali di più variabili. Operazioni con i limiti e forme indeterminate (s.d.). Successioni in Rn e loro limiti, teorema ponte (s.d.). Curve parametriche, sostegno di una curva, vettore tangente, esempi.
    26/9 Applicazioni delle curve al calcolo dei limiti di funzioni di più variabili. Uso delle coordinate polari nel calcolo dei limiti. Esempi ed esercizi.
    30/9 Funzioni continue di più variabili. La controimmagine di un aperto tramite una funzione continua è aperta. Insiemi connessi. Teoremi di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Insiemi compatti. Teorema di Bolzano-Weierstrass (s.d.). Proprietà delle funzioni continue definite su un compatto (s.d.). Derivate direzionali e derivate parziali. Esempi.
    2/10 Funzioni differenziabili. Differenziabilità implica continuità e derivabilità, ma non il viceversa. Esempi. Significato geometrico del gradiente. Piano tangente. Teorema del differenziale totale (inizio della dim.).
    3/10 Teorema del differenziale totale (fine della dim.). Esercizi su limiti, continuità, derivabilità e differenziabilità di funzioni di più variabili.
    7/10 Regola della catena (caso particolare). Teorema del valor medio. Funzioni di classe C1. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Funzioni di classe Ck. Teorema di Schwarz (s.d.). Matrice hessiana. Formula di Taylor al II ordine con resti di Peano e di Lagrange.
    9/10 Formula di Taylor generale (s.d.). Punti estremali e punti stazionari. Teorema di Fermat. Matrici simmetriche (semi-)definite positive, negative o indefinite. Caratterizzazione in termini degli autovalori. Condizione sufficiente al II ordine per l'estremalità (solo enunciato). Esempi.
    10/10 Condizione sufficiente al II ordine per l'estremalità (dim.).Esercizi su derivabilità e differenziabilità e punti estremali.
    14/10 Esercizi su punti estremali. Differenziabilità di funzioni vettoriali. Matrice jacobiana. Regola della catena (caso generale).
    16/10 Funzioni definite implicitamente. Teorema di Dini (caso di due variabili). Ortogonalità del gradiente alle curve di livello. Esempi.
    17/10 Esercizi su funzioni definite implicitamente. Estremi vincolati. Esempi: esplicitazione e parametrizzazione del vincolo. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (caso di due variabili).
    21/10 Esempi di applicazione del teorema dei moltiplicatori. Teorema di Dini (caso generale, s.d.).
    23/10 Ortogonalità del gradiente alle superfici di livello. Spazio tangente al luogo degli zeri di una funzione vettoriale. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (caso generale).
    24/10 Esercizi sul teorema dei moltiplicatori e su estremali di funzioni su insiemi compatti.
    28/10 Teorema di inversione locale. Diffeomorfismi. Esempi: coordinate polari, cilindriche e sferiche. Suddivisioni di un rettangolo. Somme di Riemann superiori e inferiori. Funzioni integrabili su un rettangolo.
    30/10 Proprietà delle funzioni integrabili su un rettangolo (s.d.). Formule di riduzione (per rettangoli). Esempi. Funzioni integrabili su un insieme limitato. Insiemi misurabili.
    31/10 Esercizi di riepilogo sul calcolo differenziale per funzioni di più variabili.
    4/11 Un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla. Proprietà degli insiemi misurabili (s.d.) Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate su rettangoli.
    6/11 Integrabilità delle funzioni continue e limitate su insiemi misurabili. Insiemi normali rispetto agli assi e loro misurabilità. Formule di riduzione per insiemi normali. Esempi. Cambiamento di variabili negli integrali doppi (s.d.).
    7/11 Esercizi su integrali doppi: formule di riduzione e cambiamento di variabili.
    11/11 Idea della dimostrazione del teorema di cambiamento di variabili. Integrali tripli: integrabilità su parallelepipedi e insiemi limitati, insiemi misurabili e loro proprietà (s.d.), integrabilità di funzioni continue e limitate su insiemi misurabili (s.d.). Insiemi normali rispetto ai piani coordinati e rispetto agli assi. Formule di riduzione (s.d.). Formula di cambiamento di variabili negli integrali tripli (s.d.).
    13/11 Baricentro di un insieme e volume di un solido di rotazione. Misurabilità di insiemi illimitati in Rn. Funzioni generalmente continue e sommabili su insiemi misurabili. Integrale di una funzione sommabile non negativa. Criterio del confronto. Integrale di una funzione sommabile di segno arbitario.
    14/11 Esercizi su integrali doppi e tripli.
    18/11 Integrale di una funzione sommabile come limite di integrali su una successione invadente di insiemi misurabili limitati. Esempi di funzioni sommabili (integrale della gaussiana e di 1/|x|α in un intorno dell'origine e di infinito). Curve parametriche chiuse, semplici, cartesiane e polari. Esempi.
    20/11 Curve regolari. Orientazione di una curva e curve equivalenti. Esempi. Curve rettificabili. Invarianza della lunghezza per cambiamenti di parametro. Rettificabilità delle curve C1. Esempi.
    21/11 Esercizi su integrali tripli e integrali di funzioni sommabili.
    25/11 Campi vettoriali conservativi e forme differenziali esatte. Integrali di campi vettoriali su curve parametriche. Invarianza (a meno del segno) per cambiamenti di parametro. Caratterizzazioni dei campi conservativi tramite integrali su curve.
    27/11 Unicità (a meno di costanti) del potenziale. Un campo conservativo è irrotazionale. Omotopia tra curve chiuse. Insiemi semplicemente connessi. Un campo irrotazionale su un insieme semplicemente connesso è conservativo. Esempi. Invarianza omotopica dell'integrale di un campo irrotazionale su una curva chiusa (inizio della dim.).
    28/11 Invarianza omotopica dell'integrale di un campo irrotazionale su una curva chiusa (fine della dim.). Esercizi su curve parametriche e integrali curvilinei di campi vettoriali.
    2/12 Derivazione sotto il segno di integrale. Domini regolari normali nel piano. Domini regolari nel piano e orientazione del bordo. Esempio. Rotore di un campo vettoriale nel piano. Teorema di Gauss-Green. Area di un dominio regolare come integrale curvilineo.
    4/12 Definizione di superficie elementare (o parametrica). Interno e bordo di una superficie parametrica. Superfici regolari, piano tangente e vettori normali. Esempi.
    5/12 Superfici elementari orientabili. Superfici invertibili e loro orientabilità. Esempi. Orientazione del bordo di una superficie invertibile. Superfici composte e loro orientabilità. Area di una superficie elementare regolare e di una superficie composta.
    9/12 Parametrizzazioni equivalenti e invarianza dell'area. Integrale superficiale di una funzione scalare e flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie (composta) orientata. Invarianza (a meno del segno) del flusso per riparametrizzazioni. Domini regolari normali in R3. Parametrizzazioni e orientabilità della frontiera di un dominio regolare normale. Domini regolari. Divergenza di un campo vettoriale.
    11/12 Teorema della divergenza. Rotore di un campo vettoriale. Teorema di Stokes. Esercizi.
    12/12 Esercizi su aree di superfici, e flussi di campi vettoriali.
    16/12 Definizione di serie numerica convergente, divergente, indeterminata. Esempi: serie telescopiche, serie geometrica, serie esponenziale e delle funzioni trigonometriche. Condizione necessaria di convergenza. Serie a termini positivi: criterio del confronto, del confronto asintotico.
    18/12 Criterio del confronto integrale. Serie armonica generalizzata. Criteri della radice e del rapporto. Serie assolutamente convergenti. Convergenza assoluta implica convergenza. Serie a segni alternati e criterio di Leibniz.
    19/12 Esercizi sul teorema di Stokes e sulle serie numeriche.
    8/1 Sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in forma normale. Funzioni localmente e globalmente lypschitziane. Condizioni sufficienti per la lypschitzianità. Teoremi di esistenza e unicità di Cauchy-Lypschitz (s.d.). Esistenza di soluzioni massimali (s.d.). Sistemi lineari del primo ordine. Linearità dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo e sua dimensione.
    9/1 Caratterizzazioni dell'indipendenza lineare di soluzioni del sistema omogeneo. Matrice risolvente. Soluzioni del sistema non omogeneo. Metodo di variazione delle costanti. Sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti. Esponenziale di matrici e sue proprietà. Esponenziale come risolvente del sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti.
    13/1 Integrale generale del sistema lineare non omogeneo a coefficienti costanti. Esponenziale di una matrice diagonalizzabile. Matrici nilpotenti. Blocchi elementari di Jordan e loro esponenziali. Esponenziale di matrici diagonali a blocchi. Esercizi.
    15/1 Forma canonica di Jordan (s.d.) e suo esponenziale. Determinazione degli autovettori generalizzati in R3. Esempi. Sistemi autonomi. Punti stazionari stabili, asintoticamente stabili e instabili.
    16/1 Stabilità/instabilità dell'origine di un sistema lineare. Stabilità/instabilità di un punto stazionario di un sistema non lineare in termini degli autovalori del sistema linearizzato (s.d.). Cenni di analisi qualitativa. Esempi. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Equivalenza con sistemi lineari del I ordine. Linearità dello spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea e sua dimensione. Wronskiano di una famiglia di soluzioni e caratterizzazione dell'indipendenza lineare.
    17/1 Equazioni a coefficienti costanti. Soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione omogenea. Soluzione particolare dell'equazione non omogenea tramite il metodo di variazione delle costanti. Soluzione particolare dell'equazione non omogenea a coefficienti costanti tramite il metodo di similarità (s.d.). Esercizi.
    22/1 Esercizi di riepilogo.
  • Note
    Note integrative sui sistemi lineari di equazioni differenziali (versione del 25/1/20)
    Le note corrispondono grosso modo ai contenuti delle lezioni dal 8/1/20 al 16/1/20 (escluse le equazioni lineari di ordine n). Nei prossimi giorni potrei riuscire ad aggiungere anche gli argomenti della lezione del 17/1/20, ma non lo garantisco. Ogni segnalazione di errori e imprecisioni è ben gradita.
  • Esami
    • Regole
      • L'esame consiste di una prova scritta (con voto da 0 a 30) e di una prova orale (con voto da -5 a 5). La prova scritta si intende superata se si riporta un voto pari almeno a 18/30.
      • La prova scritta e quella orale vanno sostenute nella medesima sessione di esame.
      • La consegna di una prova scritta invalida le eventuali precedenti.
      • In caso di mancato superamento dell'orale (cioè se la somma dei voti dello scritto e dell'orale è inferiore a 18/30) è necessario ripetere la prova scritta.
      • Pena l'esclusione, durante lo scritto non è consentito l'uso di telefoni cellulari, di dispositivi elettronici in grado di connettersi ad Internet, di calcolatrici elettroniche programmabili, di libri di testo e di appunti, eccezion fatta per un foglio formato A4 (fronte/retro) contenente appunti.
      • Per prendere parte alla prova scritta è necessario esibire il libretto universitario o un documento d'identità.
    • Dimostrazioni richieste all'orale

      Oltre alle dimostrazioni dei teoremi elencate di seguito, è richiesta la conoscenza di tutte le definizioni e di tutti gli enunciati dei teoremi visti a lezione.

      • Differenziabilità implica continuità e derivabilità.
      • Regola della catena.
      • Teorema del valor medio.
      • Formula di Taylor al secondo ordine con resto di Peano.
      • Condizione necessaria per l'estremalità (teorema di Fermat).
      • Caratterizzazione spettrale di una matrice (semi-)definita positiva/negativa.
      • Condizione sufficiente del secondo ordine per l'estremalità.
      • Teorema di Dini (caso di due variabili).
      • Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
      • Formule di riduzione per integrali doppi su rettangoli.
      • Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate su rettangoli.
      • Misurabilità degli insiemi normali nel piano.
      • Rettificabilità delle curve C1.
      • Caratterizzazione dei campi conservativi tramite integrali.
      • Un campo conservativo è irrotazionale.
      • Invarianza omotopica dell'integrale curvilineo di un campo irrotazionale.
      • Un campo irrotazionale su un insieme semplicemente connesso è conservativo.
      • Teorema di Gauss-Green per domini regolari normali in R2.
      • Versore normale e piano tangente a una superficie cartesiana.
      • Area di una superficie cartesiana.
      • Invarianza dell'area per riparametrizzazioni.
      • Teorema della divergenza.
      • Teorema di Stokes.
      • Criterio del confronto integrale per serie numeriche.
      • Criterio della radice.
      • Criterio del rapporto.
      • Convergenza assoluta implica convergenza semplice.
      • Criterio di Leibniz.
      • Struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare del I ordine.
      • Criterio di indipendenza lineare delle soluzioni di un sistema lineare del I ordine.
      • Convergenza assoluta dell'esponenziale di matrici.
      • Integrale generale del sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti tramite l'esponenziale di matrici.
      • Calcolo dell'esponenziale di matrici diagonalizzabili.
      • Soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione lineare di ordine n a coefficienti costanti omogenea.
      • Soluzione particolare dell'equazione non omogenea tramite il metodo di variazione delle costanti.
    • Date
      Scritto28/1/20Testo con soluzioni
      Scritto17/2/20Testo con soluzioni
      Scritto25/6/20Testo con soluzioni
      Scritto10/7/20Testo con soluzioni
      Scritto31/8/20Testo con soluzioni
      Scritto14/9/20Testo con soluzioni
Corso di Fondamenti di Analisi Matematica, corso di laurea triennale in Fisica, mutuato come Analisi Matematica 6 dal corso di laurea triennale in Matematica, II semestre
  • Orario del corso
    Martedì ore 14.00 - 15.30 aula G2C
    Mercoledì ore 14.00 - 15.30 aula G2C
  • Programma di massima
    Spazi normati e operatori su di essi. Cenni di teoria dell'integrazione alla Lebesgue. Spazi di Hilbert e operatori. Teoria spettrale per operatori autoaggiunti su spazi di Hilbert. Applicazioni alla Meccanica Quantistica. Rappresentazioni delle relazioni di commutazione canoniche e algebra di Weyl. Teorema di Stone e operatore hamiltoniano. Oscillatore armonico. Cenni su rappresentazioni di gruppi e algebre di Lie di matrici. Momento angolare e spin. Teorema di Kato-Rellich. Autoaggiuntezza e spettro dell’hamiltoniana dell’atomo di idrogeno.

    Prerequisito essenziale per gli studenti di Fisica è la piena comprensione del contenuto dei corsi di Calcolo 1 e 2 e di Geometria. È inoltre consigliabile aver seguito i corsi di Meccanica Quantistica e Metodi Matematici della Fisica.
  • Note
    Note del corso degli anni precedenti.
    Il programma del corso di quest'anno è diverso da quello degli anni precedenti, ma i primi tre capitoli delle note ne coprono comunque la parte iniziale.
  • Calendario delle lezioni
    3/3 Spazi normati, esempi. Norme equivalenti, esempi, equivalenza di norme su spazi a dimensione finita. Spazi di Banach, esempi.
    4/3 Operatori limitati tra spazi normati, esempi. B(X,Y) è di Banach per Y di Banach. Chiusura di un insieme e insiemi densi. Estensione di operatori limitati densamente definiti.
    11/3 Richiami teoria della misura. Anelli, algebre, σ-algebre e misure su di essi. Insiemi elementari in Rn e loro misura. Misura esterna di Lebesgue. Prolungamento di Lebesgue di una misura sugli insiemi elementari. Misure di Lebesgue e Lebesgue-Stieltjes. Boreliani. Regolarità del prolungamento.
    17/3 Richiami di teoria dell'integrazione. Spazi di misura, esempi. Funzioni misurabili e loro proprietà. Approssimazione di funzioni misurabili tramite funzioni semplici. Integrale di Lebesgue e sue proprietà. Teorema di convergenza monotona. Lemma di Fatou. Teorema di convergenza dominata.
    18/3 Teorema di Lebesgue-Vitali. Teorema fondamentale del calcolo . Spazi Lp (p=1,2,+∞) e loro completezza. Densità delle funzioni continue in Lp.
    24/3 Forme hermitiane e prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Spazi di Hilbert. Identità di polarizzazione e del parallelogramma. Esempi. Ortogonali. Teorema della proiezione; proiettore su un sottospazio chiuso.
    25/3 Teorema di rappresentazione di Riesz. Sistemi ortonormali. Somme infinite (non numerabili) di vettori in uno spazio normato. Caratterizzazioni delle basi ortonormali.
    31/3 Procedimento di Gram-Schmidt e spazi di Hilbert separabili. Forme sesquilineari limitate e operatori. Aggiunto di un operatore. Spettro di un operatore limitato su uno spazio di Banach. Esempi.
    1/4 Funzioni analitiche a valori in uno spazio di Banach. Analiticità del risolvente e compattezza dello spettro. Teorema del raggio spettrale di Gelfand. Proprietà dello spettro di operatori su uno spazio di Hilbert. Teorema di Weierstrass sulla densità dei polinomi.
    7/4 Calcolo funzionale continuo per operatori autoaggiunti limitati. Operatori positivi su uno spazio di Hilbert.
    8/4 Famiglie spettrali. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti limitati (versione con famiglie spettrali).
    14/4 Calcolo funzionale boreliano. Misure spettrali e loro proprietà.
    15/4 Teorema spettrale per operatori autoaggiunti limitati (versione con misure spettrali). Caratterizzazione degli elementi dello spettro tramite la misura spettrale. Versione del teorema spettrale con operatori di moltiplicazione, caso di operatori con un vettore ciclico.
    21/4 Versione del teorema spettrale con operatori di moltiplicazione, caso generale. Integrale diretto di spazi di Hilbert. Versione del teorema spettrale tramite integrale diretto.
    28/4 Misure di Lebesgue-Stieltjes bidimensionali associate a una coppia di operatori autoaggiunti limitati commutanti. Teorema di Weierstrass bidimensionale. Calcolo funzionale continuo congiunto per coppie di operatori autoaggiunti commutanti e per operatori normali limitati. Calcolo funzionale boreliano e teorema spettrale (tramite misure spettrali) per operatori normali limitati.
    29/4 Cenni alla teoria della C*-algebre. Caratteri e isomorfismo di Gelfand per C*-algebre commutative. Stati e rappresentazioni. Teorema GNS. Stati puri e rappresentazioni irriducibili. Lemma di Schur.
    5/5 Cenni alla crisi della fisica classica: radiazione di corpo nero, effetto fotoelettrico, effetto Compton, dualità onda-particella, struttura atomica e atomo di Bohr, onde di materia, indeterminazione di Heisenberg.
    6/5 Formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Ensembles e procedure, stati e osservabili e loro struttura matematica. Spettro fisico di un'osservabile. Funzioni di osservabili. Postulato C*. Commutatività dell'algebra delle osservabili in Meccanica Classica.
    12/5 Principio di sovrapposizione e regole di superselezione. Principio di Heisenberg generalizzato. Relazioni di commutazione di Heisenberg e relazioni di Weyl. Realizzazione di Schroedinger e C*-algebra di Weyl.
    13/5 Rappresentazioni regolari dell'algebra di Weyl. Regolarità e irriducibilità della rappresentazione di Schroedinger.
    19/5 Teorema di unicità di von Neumann. Quantizzazione di Wigner-Weyl. Dinamica di un sistema quantistico come gruppo a un parametro di automorfismi.
    20/5 Implementazione unitaria della dinamica in stati stazionari. Operatori non limitati. Operatori chiusi. Aggiunto di un operatore e sua chiusura. Operatori hermitiani e autoaggiunti. Criterio fondamentale di autoaggiuntezza.
    26/5 Spettro. Essenziale autoaggiuntezza degli operatori di Schroedinger. Operatori autoaggiunti non limitati definiti tramite una misura spettrale.
    27/5 Trasformata di Cayley. Teorema spettrale e calcolo funzionale boreliano per operatori autoaggiunti non limitati. Generatore di un gruppo untario fortemente continuo e teorema di Stone.
    3/6 Hamiltoniana di un sistema quantistico. Equazioni del moto di Schroedinger e di Heisenberg. Hamiltoniana della particella libera.

 Last modified: Sep. 16, 2021