Didattica

Co-teacher, with Y. Tanimoto, of the course Mathematical Analysis 2, bachelor course in Engineering Sciences
• Course homepage
• Lectures diary (for my part of the course)
 25/9 Sequences. Definition of limit. Operations with limits. Indeterminate forms. 27/9 Boundedness of convergent sequences. Monotonic sequences. Series. Definition of convergent, divergent, indeterminate series. Harmonic, telescopic and geometric series. 29/9 Exercises on sequences and series (Texts with solutions of the exercises not discussed in class). 2/10 Necessary condition for convergence. Series with non-negative terms. Convergence tests: comparison, asymptotic comparison, integral, root and ratio. Generalized harmonic series. 4/10 Alternating series. Leibniz rule. Sum of the alternating harmonic series. Absolute and conditional convergence. Dirichlet's and Abel's tests. Examples. 6/10 Exercises on series (Texts with solutions of the exercises not discussed in class). 9/10 Improper integrals. Definition. Comparison and asymptotic comparison tests (without proof). Absolute integrability (w.p.). Examples. Sequences of functions. Pointwise convergence. Examples. 11/10 Uniform convergence of sequences and series of functions. Examples. Continuity of the limit and passage to the limit under the integral. Weierstrass M-test. 13/10 Exercises on improper integrals and sequences of functions (Texts with solutions of the exercises not discussed in class). 30/10 Chain rule for functions of several variables. Level sets. Tangent plane to the level sets and to the graph of a function. Differentiability of vector fields. Jacobian. 3/11 Examples and applications of the chain rule. Derivatives in polar coordinates. Derivatives of higher order. Schwarz's theorem (w.p.). Exercises on differentiability. 27/11 Methods for computing potentials. Differentiation under the integral sign. Potentials of vector fields on convex sets. Applications to differential equations. 29/11 Partitions of rectangles. Step functions and their integrals. Notion of integrability for functions on a rectangle. Iterated integrals. Examples. 1/12 Exercises on vector fields and double integrals on rectangles. 4/12 Sets of content zero. Integrability of functions with discontinuity on sets of content zero. Notion of integrability for functions on bounded stes. Sets of Type I and II. Integrability of continuous functions on sets of Type I and II and reduction formulas. 15/12 Exercises on double integrals.
Corso di Fondamenti di Analisi Matematica, corso di laurea triennale in Fisica
• Orario del corso
Lunedì ore 14.30 - 16.30 aula G2C
Mercoledì ore 14.30 - 16.30 aula G2C
• Programma di massima
Spazi normati e operatori limitati. Spazi metrici e topologici. Nets, continuità, compattezza (locale). Cenni di teoria dell'integrazione alla Lebesgue. Spazi di Hilbert e operatori. C*-algebre commutative e teorema di Gelfand-Naimark. Teoria spettrale per operatori autoaggiunti (limitati) su spazi di Hilbert. Stati e rappresentazioni di C*-algebre. Formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Rappresentazioni delle relazioni di commutazione canoniche e algebra di Weyl. Teorema di Stone e operatore hamiltoniano. Particella libera e oscillatore armonico.

Il corso è rivolto a studenti del terzo (o del secondo) anno. Prerequisito essenziale è la piena comprensione del contenuto dei corsi di Calcolo 1 e 2 e di Geometria. È inoltre consigliabile aver seguito i corsi di Meccanica Quantistica e Metodi Matematici della Fisica.
• Calendario delle lezioni
 6/3 Spazi normati, esempi. Spazi metrici completi e spazi di Banach, esempi. (Esercizi.) 7/3 Operatori limitati tra spazi normati, esempi. B(X,Y) è di Banach per Y di Banach. Insiemi aperti e chiusi in uno spazio metrico. (Esercizi.) 13/3 Chiusura. Caratterizzazione dei chiusi metrici tramite successioni. Estensione di operatori limitati densamente definiti. Completamento di spazi metrici e normati. Spazi topologici. Intorni. Spazi di Hausdorff. (Esercizi.) 14/3 Insiemi parzialmente ordinati diretti e nets. Caratterizzazione della topologia tramite convergenza di nets. Funzioni continue su uno spazio topologico. Norme equivalenti, esempi, equivalenza di norme su spazi a dimensione finita. (Esercizi.) 20/3 Non compattezza della palla unitaria in spazi a dimensione infinita. Teorema di Heine-Borel. Spazi topologici compatti. Sottonet e punti limite. Teorema di Bolzano-Weierstrass generalizzato. (Esercizi.) 21/3 Anelli, algebre, σ-algebre e misure su di essi. Insiemi elementari in Rn e loro misura. Misura esterna di Lebesgue. 26/3 Prolungamento di Lebesgue di una misura sugli insiemi elementari. Misure di Lebesgue e Lebesgue-Stieltjes. Boreliani. Regolarità del prolungamento. Spazi di misura, esempi. Funzioni misurabili. (Esercizi.) 28/3 Proprietà delle funzioni misurabili. Approssimazione di funzioni misurabili tramite funzioni semplici. Integrale di funzioni positive e sue proprietà.(Esercizi.) 4/4 Teorema di convergenza monotona. Lemma di Fatou. Integrale di funzioni complesse e sue proprietà. Teorema di convergenza dominata. Teorema di Vitali-Lebesgue. (Esercizi.) 9/4 Teorema fondamentale del calcolo (s.d.). Spazi Lp (p=1,2,+∞) e loro completezza. Densità delle funzioni continue in Lp. (Esercizi.) 11/4 Forme hermitiane e prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Spazi di Hilbert. Identità di polarizzazione e del parallelogramma. Esempi. Completamento di uno spazio prehilbertiano. Ortogonali. (Esercizi.) 16/4 Teorema della proiezione; proiettore su un sottospazio chiuso. Teorema di rappresentazione di Riesz. Sistemi ortonormali. (Esercizi.) 18/4 Caratterizzazioni delle basi ortonormali e loro esistenza. Procedimento di Gram-Schmidt e spazi di Hilbert separabili. Forme sesquilineari limitate e operatori. Aggiunto di un operatore. (Esercizi.) 23/4 Algebre di Banach e C*-algebre. Esempi. Spettro di un elemento in un'algebra di Banach. Esempi. Funzioni analitiche a valori in uno spazio di Banach. (Esercizi.) 2/5 (3 ore.) Proprietà dello spettro. Teorema del raggio spettrale. Spettri di elementi di una C*-algebra. Spettro e trasformata di Gelfand di un'algebra di Banach commutativa. Ideali propri. Quozienti di spazi normati rispetto a sottospazi chiusi e di algebre di Banach rispetto a ideali chiusi. (Esercizi.) 7/5 Corrispondenza tra caratteri e ideali propri massimali di un'algebra di Banach. Continuità dei caratteri. Spettro di un elemento di un'algebra di Banach commutativa e caratteri. Teorema di Stone-Weierstrass. (Esercizi.) 9/5 Teorema di Gelfand-Naimark commutativo. Funtorialità dell'isomorfismo di Gelfand. Permanenza spettrale per C*-sottoalgebre. (Esercizi.) 14/5 Calcolo funzionale continuo. Cono degli elementi positivi di una C*-algebra. Operatori positivi su uno spazio di Hilbert. Famiglie spettrali. (Esercizi.) 16/5 Teorema spettrale per operatori autoaggiunti limitati (versione con famiglie spettrali). (Esercizi.) 21/5 (3 ore) Calcolo funzionale boreliano. Misure spettrali. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti limitati (versione con misure spettrali). Caratterizzazione degli elementi dello spettro tramite la misura spettrale. Versione del teorema spettrale con operatori di moltiplicazione (senza dim.). Stati e rappresentazioni di C*-algebre. (Esercizi.) 23/5 Teorema di Gelfand-Naimark-Segal. Stati puri e rappresentazioni irriducibili. (Esercizi.) 28/5 (3 ore) Formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Ensembles e procedure, stati e osservabili e loro struttura matematica. Spettro fisico di un'osservabile. Funzioni di osservabili. Postulato C*. Commutatività dell'algebra delle osservabili in Meccanica Classica. Principio di Heisenberg generalizzato. Principio di sovrapposizione e regole di superselezione. Relazioni di commutazione di Heisenberg e relazioni di Weyl. (Esercizi.) 30/5 Realizzazione di Schroedinger e C*-algebra di Weyl. Rappresentazioni regolari. Regolarità e irriducibilità della rappresentazione di Schroedinger. Teorema di unicità di Weyl-von Neumann. Quantizzazione di Wigner-Weyl. (Esercizi.)
• Esercizi proposti a lezione
 6/3 7/3 13/3 14/3 20/3 26/3 28/3 4/4 9/4 11/4 16/4 18/4 23/4 2/5 7/5 9/5 14/5 16/5 21/5 23/5 28/5 30/5
• Note del corso
Versione del 18/5/18
Ogni segnalazione di errori o imprecisioni sarà ben gradita.