| 1/3 |
Spazi normati, esempi. Norme equivalenti, esempi, equivalenza di
norme su spazi a dimensione finita.
(Esercizi) |
| 2/3 |
Operatori
limitati tra spazi normati. Esempi. Spazi metrici
completi e spazi di Banach, esempi.
(Esercizi.) |
| 8/3 |
Insiemi parzialmente ordinati diretti e nets. Ulteriori esempi e controesempi di spazi di
Banach. B(X,Y) è di Banach per Y di Banach.
Estensione di operatori limitati densamente
definiti.
(Esercizi.) |
| 9/3 |
Completamento di spazi metrici e normati. Topologia
indotta da una metrica. Chiusura. Caratterizzazione dei chiusi metrici tramite
successioni. Spazi topologici. Intorni. Spazi di
Hausdorff.
(Esercizi.) |
| 15/3 |
Caratterizzazione della topologia tramite
convergenza di nets. Limiti di funzioni e
continuità in uno spazio topologico. Non compattezza della palla unitaria in spazi a
dimensione infinita. Teorema di Heine-Borel. Spazi
topologici compatti. Sottonet e punti limite.
(Esercizi.) |
| 16/3 |
Teorema di Bolzano-Weierstrass generalizzato. Anelli, algebre, σ-algebre e
misure su di essi. Insiemi elementari in
Rn e loro misura. Misura esterna di
Lebesgue.
(Esercizi.) |
| 22/3 |
Prolungamento di Lebesgue di una misura sugli
insiemi elementari.
Misure di Lebesgue e Lebesgue-Stieltjes. Boreliani.
Regolarità del prolungamento.
(Esercizi.) |
| 30/3 |
Spazi di misura, esempi. Funzioni misurabili e loro
proprietà. Approssimazione di funzioni
misurabili tramite
funzioni semplici.
(Esercizi.) |
| 5/4 |
Integrale di funzioni positive e sue
proprietà. Teorema di convergenza monotona.
Integrale di funzioni complesse e sue proprietà.
Teorema di
convergenza dominata.
(Esercizi.) |
| 6/4 |
Teorema di Vitali-Lebesgue. Teorema fondamentale
del calcolo (s.d.). Spazi Lp (p=1,2,+∞) e loro
completezza.
(Esercizi.) |
| 12/4 |
Densità delle funzioni continue in
Lp. Forme sesquilineari e prodotti scalari.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Spazi di
Hilbert. Identità di polarizzazione e del
parallelogramma. Esempi.
(Esercizi.) |
| 13/4 |
Completamento di uno spazio
prehilbertiano. Ortogonali. Teorema della proiezione;
proiettore su un sottospazio chiuso.
(Esercizi.) |
| 19/4 |
Teorema di
rappresentazione di
Riesz. Sistemi e basi ortonormali.
Caratterizzazioni delle basi ortonormali e loro
esistenza.
(Esercizi.) |
| 20/4 |
Procedimento di
Gram-Schmidt e spazi di Hilbert separabili. Forme
sesquilineari limitate e operatori. Aggiunto di un
operatore. Algebre di Banach e C*-algebre. Esempi.
(Esercizi.) |
| 26/4 |
Spettro di un
elemento in un'algebra di Banach. Esempi. Proprietà dello spettro. Teorema del
raggio spettrale.
(Esercizi.) |
| 27/4 |
Spettri di elementi di una
C*-algebra. Spettro e trasformata di Gelfand di
un'algebra di Banach commutativa. Ideali propri. Quozienti di spazi normati rispetto a
sottospazi chiusi e di algebre di Banach
rispetto a ideali chiusi.
(Esercizi.) |
| 3/5 |
Corrispondenza tra caratteri e ideali propri
massimali di un'algebra di Banach. Continuità dei
caratteri. Spettro di un
elemento di un'algebra di Banach commutativa e
caratteri. Teorema di Stone-Weierstrass: lemmi
preliminari.
(Esercizi.) |
| 4/5 |
Teorema di Stone-Weierstrass (fine della dim.). Teorema di
Gelfand-Naimark commutativo. Funtorialità
contravariante dell'isomorfismo di Gelfand.
(Esercizi.) |
| 10/5 |
Permanenza spettrale per
C*-sottoalgebre. Calcolo funzionale continuo.
Cono degli elementi positivi di una C*-algebra.
(Esercizi.) |
| 11/5 |
Operatori positivi su uno spazio di Hilbert.
Calcolo funzionale boreliano. Misure spettrali.
(Esercizi.) |
| 17/5 |
Teorema spettrale per operatori autoaggiunti
limitati. Caratterizzazione degli
elementi dello spettro tramite la misura
spettrale. Versione del teorema spettrale con
operatori di moltiplicazione (senza dim.).
(Esercizi.) |
| 18/5 |
Contrattività di *-omomorfismi di C*-algebre.
Stati e rappresentazioni di C*-algebre; teorema di
Gelfand-Naimark-Segal. Rappresentazione universale
e teorema di Gelfand-Naimark.
(Esercizi.) |
| 24/5 |
Stati puri e rappresentazioni irriducibili.
Formulazione assiomatica della Meccanica
Quantistica. Ensembles e procedure, stati e
osservabili. Stati puri.
(Esercizi.) |
| 25/5 |
Spettro fisico di un'osservabile. Funzioni di
osservabili. Postulato C*. Commutatività dell'algebra delle osservabili
in Meccanica Classica. Principio di Heisenberg
generalizzato.
Principio di sovrapposizione e regole di
superselezione.
(Esercizi.) |
| 31/5 |
Relazioni di commutazione di Heisenberg e di
Weyl. Realizzazione di Schroedinger delle
relazioni di Weyl. Esistenza e unicità
della C*-algebra di Weyl. Rappresentazioni
regolari. Regolarità e irriducibilità della rappresentazione
di Schroedinger.
(Esercizi.) |
| 1/6 |
Teorema di
unicità di Weyl-von Neumann. Quantizzazione di
Wigner-Weyl.
(Esercizi.) |
