| 4/3 |
Spazi normati, metrici e topologici. Topologia
indotta da una metrica. Intorni. Spazi di Hausdorff
(esercizi). |
| 7/3 |
Chiusura. Caratterizzazione dei chiusi metrici tramite
successioni. Nets e caratterizzazione della topologia tramite
loro convergenza. Limiti di funzioni in uno spazio topologico
(esercizi). |
| 11/3 |
Limiti di funzioni su spazi metrici.
Continutià in uno spazio topologico. Operatori
limitati tra spazi normati. Esempi (esercizi). |
| 14/3 |
Norme topologicamente equivalenti, esempi, equivalenza di
norme su spazi a dimensione finita. Spazi metrici
completi e spazi di Banach, esempi (esercizi). |
| 18/3 |
Ulteriori esempi e controesempi di spazi di
Banach. B(X,Y) è di Banach per Y di Banach.
Estensione di operatori limitati densamente
definiti. Completamento di spazi metrici e normati
(enunciato). (esercizi). |
| 21/3 |
Completamento di spazi metrici e normati (dim.).
Non-compattezza della palla unitaria in spazi a
dimensione infinita. Teorema di Heine-Borel (senza
dim.) Spazi topologici compatti e loro
caratterizzazione tramite net. esercizi). |
| 25/3 |
Richiami di teoria
della misura: anelli, algebre, σ-algebre e
misure su di essi; insiemi elementari in
Rn e loro misura; misura esterna di
Lebesgue e completamento della misura su un anello;
misure di Lebesgue e Lebesgue-Stieltjes; boreliani;
misure regolari. Spazi di misura, esempi (esercizi). |
| 28/3 |
Richiami di teoria dell'integrazione alla
Lebesgue: funzioni misurabili e loro
approssimazione tramite
funzioni semplici; definizione dell'integrale;
teoremi di convergenza monotona, di Fatou e di
convergenza dominata (esercizi). |
| 1/4 |
Richiami di teoria dell'integrazione alla
Lebesgue: confronto con l'integrale di
Riemann e teorema fondamentale del calcolo. Spazi Lp come spazi di Banach.
Densità delle funzioni continue (esercizi). |
| 4/4 |
Forme sesquilineari e prodotti scalari.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Spazi di
Hilbert. Identità di polarizzazione e del
parallelogramma. Esempi. Completamento di uno spazio
prehilbertiano (esercizi). |
| 8/4 |
Ortogonali. Teorema della proiezione;
proiettore su un sottospazio chiuso. Teorema di
rappresentazione di
Riesz (esercizi). |
| 11/4 |
Sistemi e basi ortonormali.
Caratterizzazioni delle basi ortonormal. Esistenza di basi ortonormali. Procedimento di
Gram-Schmidt e spazi di Hilbert separabili (esercizi). |
| 15/4 |
Forme
sesquilineari limitate e operatori. Aggiunto di un
operatore. Algebre di Banach e C*-algebre. Spettro di un
elemento in un'algebra di Banach. Esempi (esercizi). |
| 22/4 |
Proprietà dello spettro. Teorema del
raggio spettrale. Spettri di elementi di una
C*-algebra (esercizi). |
| 29/4 |
Spettro e trasformata di Gelfand di
un'algebra di Banach commutativa. Ideali propri. Quozienti di spazi normati rispetto a
sottospazi chiusi e di algebre di Banach
rispetto a ideali chiusi (esercizi). |
| 6/5 |
Corrispondenza tra caratteri e ideali propri
massimali di un'algebra di Banach. Continuità dei
caratteri. Spettro di un
elemento di un'algebra di Banach commutativa e
caratteri. Teorema di Stone-Weierstrass: lemmi
preliminari (esercizi). |
| 9/5 |
Teorema di Stone-Weierstrass (fine della dim.). Teorema di
Gelfand-Naimark commutativo. Funtorialità
contravariante dell'isomorfismo di Gelfand (esercizi). |
| 13/5 |
Permanenza spettrale per
C*-sottoalgebre. Calcolo funzionale continuo.
Cono degli elementi positivi di una C*-algebra (esercizi). |
| 16/5 |
Operatori positivi su uno spazio di Hilbert.
Calcolo funzionale boreliano. Misure spettrali. (esercizi). |
| 20/5 |
Teorema spettrale per operatori autoaggiunti
limitati. Caratterizzazione degli
elementi dello spettro tramite la misura
spettrale. Versione del teorema spettrale con
operatori di moltiplicazione (senza dim.) (esercizi). |
| 23/5 |
Stati e rappresentazioni di C*-algebre; teorema di
Gelfand-Naimark-Segal. Rappresentazione universale
e teorema di Gelfand-Naimark.
(esercizi). |
| 27/5 |
Stati puri e rappresentazioni irriducibili.
Formulazione assiomatica della Meccanica
Quantistica. Ensembles e procedure, stati e
osservabili. Stati puri. (esercizi). |
| 30/5 |
Spettro fisico di un'osservabile. Funzioni di
osservabili. Postulato C*. Commutatività dell'algebra delle osservabili
in Meccanica Classica. Principio di Heisenberg
generalizzato.
Principio di sovrapposizione e regole di
superselezione (esercizi). |
| 5/6 |
Relazioni di commutazione di Heisenberg e di
Weyl. Realizzazione di Schroedinger delle
relazioni di Weyl. Esistenza e unicità
della C*-algebra di Weyl. Rappresentazioni
regolari. Regolarità della rappresentazione
di Schroedinger (esercizi). |
| 6/6 |
Irriducibilità
della rappresentazione di Schroedinger. Teorema di
unicità di Weyl-von Neumann. Quantizzazione di
Wigner-Weyl (esercizi). |
