| 5/3 |
Spazi normati, metrici e topologici. Topologia
indotta da una metrica. Intorni. Spazi di Hausdorff.
Chiusura. Caratterizzazione dei chiusi metrici tramite
successioni (esercizi). |
| 8/3 |
Nets e caratterizzazione della topologia tramite
loro convergenza. Limiti di funzioni e
continutià in uno spazio topologico. Operatori
limitati tra spazi normati (esercizi). |
| 12/3 |
Norme topologicamente equivalenti, esempi, equivalenza di
norme su spazi a dimensione finita. Spazi metrici
completi e spazi di Banach, esempi (esercizi). |
| 15/3 |
B(X,Y) è di Banach per Y di Banach.
Estensione di operatori limitati densamente
definiti. Completamento di spazi metrici e normati.
Non-compattezza della palla unitaria in spazi a
dimensione infinita. Teorema di Heine-Borel (esercizi). |
| 19/3 |
Spazi topologici compatti e loro
caratterizzazione tramite net. Richiami di teoria
della misura: anelli, algebre, σ-algebre e
misure su di essi; insiemi elementari in
Rp e loro misura; misura esterna di
Lebesgue e completamento della misura su un anello;
misure di Lebesgue e Lebesgue-Stieltjes; boreliani;
misure regolari (esercizi). |
| 22/3 |
Richiami di teoria dell'integrazione alla
Lebesgue: spazi di misura e funzioni misurabili;
funzioni semplici; definizione dell'integrale;
teoremi di convergenza monotona, di Fatou e di
convergenza dominata; confronto con l'integrale di
Riemann. Spazi Lp come spazi di Banach.
Densità delle funzioni continue (esercizi). |
| 26/3 |
Forme sesquilineari e prodotti scalari.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Spazi di
Hilbert. Identità di polarizzazione e del
parallelogramma. Esempi. Completamento di uno spazio
prehilbertiano (esercizi). |
| 2/4 |
Ortogonali. Teorema della proiezione;
proiettore su un sottospazio chiuso. Teorema di
Riesz. Sistemi e basi ortonormali.
Caratterizzazioni delle basi ortonormali (esercizi). |
| 5/4 |
Esistenza di basi ortonormali. Procedimento di
Gram-Schmidt e spazi di Hilbert separabili. Forme
sesquilineari limitate e operatori. Aggiunto di un
operatore. C*-algebre. Spettro di un
elemento in un'algebra di Banach. Esempi (esercizi). |
| 9/4 |
Proprietà dello spettro. Teorema del
raggio spettrale. Spettri di elementi di una
C*-algebra. Spettro e trasformata di Gelfand di
un'algebra di Banach commutativa (esercizi). |
| 16/4 |
Ideali propri. Quozienti di spazi normati rispetto a
sottospazi chiusi e di algebre di Banach
rispetto a ideali chiusi. Continuità dei
caratteri di un'algebra di Banach. Spettro di un
elemento di un'algebra di Banach commutativa e
caratteri (esercizi). |
| 19/4 |
Teorema di Stone-Weierstrass. Teorema di
Gelfand-Naimark commutativo. Funtorialità
contravariante dell'isomorfismo di Gelfand (esercizi). |
| 23/4 |
Stabilità dello spettro per
C*-sottoalgebre. Calcolo funzionale continuo.
Estensione a C*-algebre senza identità.
Cono degli elementi positivi di una C*-algebra (esercizi). |
| 3/5 |
Operatori positivi su uno spazio di Hilbert.
Calcolo funzionale boreliano. Misure spettrali.
Teorema spettrale per operatori autoaggiunti
limitati: esistenza (esercizi). |
| 7/5 |
Teorema spettrale per operatori autoaggiunti
limitati: unicità. Caratterizzazione degli
elementi dello spettro tramite la misura
spettrale. Versione del teorema spettrale con
operatori di moltiplicazione (senza dim.) (esercizi). |
| 10/5 |
Contrattività di *-omomorfismi tra
C*-algebre. Stati e rappresentazioni; teorema di
Gelfand-Naimark-Segal. Teorema di Gelfand-Naimark.
Rappresentazioni irriducibili (esercizi). |
| 14/5 |
Stati puri e rappresentazioni irriducibili.
Formulazione assiomatica della Meccanica
Quantistica. Ensembles e procedure, stati e
osservabili. Postulato C* (esercizi). |
| 17/5 |
Commutatività dell'algebra delle osservabili
in Meccanica Classica. Principio di Heisenberg
generalizzato. Minimalità del supporto di uno
stato puro e "variabili nascoste".
Princpio di sovrapposizione e regole di
superselezione (esercizi). |
| 21/5 |
Relazioni di commutazione di Heisenberg e di
Weyl. Realizzazione di Schroedinger delle
relazioni di Weyl. Esistenza e unicità
della C*-algebra di Weyl (esercizi). |
| 24/5 |
Rappresentazioni regolari dell'algebra di
Weyl. Regolarità e irriducibilità
della rappresentazione di Schroedinger. Teorema di
unicità di von Neumann. Quantizzazione di
Wigner-Weyl (esercizi). |
| 28/5 |
Dinamica di un sistema quantistico come gruppo
a un parametro di automorfismi. Implementazione
unitaria della dinamica in stati stazionari.
Operator non limitati. Operatori chiusi. Aggiunto
di un operatore e sua chiusura. Operatori
hermitiani e autoaggiunti. Criterio fondamentale
di autoaggiuntezza. Classificazione di von Neumann delle
estensioni autoaggiunte (senza dim.). Spettro (esercizi). |
| 31/5 |
Teorema spettrale e calcolo funzionale
boreliano per operatori autoaggiunti non limitati
(cenni). Generatore di un gruppo untario
fortemente continuo e teorema di Stone (esercizi). |
| 4/6 |
Hamiltoniana di un sistema quantistico.
Equazioni del moto di Schroedinger e di
Heisenberg. Hamiltoniana della particella libera.
Teorema di Kato-Rellich (senza dim.) e
hamiltoniana atomica (esercizi). |
| 7/6 |
Vettori analitici. Teorema di Nelson.
Autoaggiuntezza e spettro dell'hamiltoniana
dell'oscillatore armonico (esercizi). |
