| 6/3 |
Somme di Riemann inferiori e superiori e loro
monotonia. Nozione di integrabilità secondo Riemann di funzioni reali
di una variabile. Esempi. Integrabilità delle
funzioni continue, monotone (senza dim.), e continue
a tratti (senza dim.). |
| 7/3 |
Linearità, additività, monotonia
dell'integrale (s.d.). Interpretazione geometrica dell'integrale di una
fuzione di segno arbitrario. Teorema della media.
Funzioni integrali. Teorema fondamentale del calcolo.
Primitive. Esercizi.
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| 13/3 |
Metodi di integrazione per parti e per
sostituzione. Esercizi.
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| 14/3 |
Camilla Pisani (tutor): esercizi su integrazione per parti e per sostituzione;
teorema fondamentale del calcolo integrale;
integrali di funzioni del tipo
xnlog(x), sen(ax)cos(bx),
xncos(ax), x logn(x).
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| 16/3 |
Integrali di funzioni razionali. Esercizi.
Integrali riconducibili a integrali razionali
mediante sostituzione.
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| 20/3 |
Integrabilità in senso improprio. Criteri
del confronto e del confronto asintotico. Esercizi.
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| 21/3 |
Camilla Pisani (tutor): esercizi su integrali di funzioni razionali o che si riconducono a tali tramite sostituzione;
integrali impropri con uso del criterio del confronto per funzioni non negative.
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| 23/3 |
Assoluta integrabilità in senso improprio.
Criterio integrale di convergenza per serie a termini
non negativi. Esercizi.
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| 27/3 |
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e
uniforme. Teoremi di continuità del limite
uniforme e di passaggio al limite sotto il segno di
derivata e integrale. Esempi.
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| 28/3 |
Nozioni di convergenza puntuale e uniforme di serie di
funzioni. Convergenza uniforme di serie di potenze.
Teoremi di continuità, integrazione e
derivazione di serie di potenze. Unicità dello
sviluppo in serie di potenze. Serie di Taylor di
log(1+x), arctg x. Esercizi.
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| 30/3 |
Camilla Pisani (tutor): esercizi su integrali impropri con uso del criterio del confronto e del confronto asintotico;
convergenza assoluta di integrali;
studi di funzioni integrali (con
attenzione alla ricerca di eventuali asintoti);
sviluppo di Mc Laurin di arcsen x a
partire da quello di (1+x)a.
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| 3/4 |
Elementi di topologia in Rn: punti
interni, esterni, di frontiera, di accumulazione,
isolati, insiemi aperti, chiusi e limitati. Esercizi.
Nozione di limite di una funzione reale di n
variabili reali.
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| 4/4 |
Camilla Pisani (tutor): esercizi su successioni e
serie di funzioni.
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| 6/4 |
Esercizi su integrali impropri e successioni di
funzioni.
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| 11/4 |
Camilla Pisani (tutor): esercizi di riepilogo.
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| 17/4 |
Limite di una funzione vettoriale di n variabili
reali e riduzione a funzioni scalari.
Proprietà generali dei limiti (s.d.). Esempi. Successioni
in Rn. Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Crietrio di convergenza di Cauchy (s.d.). Insiemi compatti di Rn
e teorema di Weierstrass (s.d.). Funzioni uniformemente
continue e teorema di Heine-Cantor (s.d.). Curve
parametriche. Esempi.
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| 18/4 |
Camilla Pisani (tutor): esercizi su insiemi di
definizione, curve parametriche, verifica di limiti
tramite definizione.
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| 20/4 |
Insiemi connessi, teoremi di esistenza degli zeri e
dei valori intermedi. Esercizi sul calcolo di limiti di
funzioni di due variabili.
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| 24/4 |
Derivate direzionali, derivate parziali e gradiente; regole
di derivazione parziale; esempi. Differenziabilità e
sue conseguenze (continuità e derivabilità);
controesempi.
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| 27/4 |
Camilla Pisani (tutor): esercizi su curve
parametriche e su limiti, derivate parziali,
differenziabilità di funzioni di più
variabili.
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| 2/5 |
Teorema del differenziale totale e esempi. Piano tangente;
gradiente come direzione di massima variazione. Regola della
catena (s.d.); teorema del valor medio (s.d.). Derivate
direzionali e parziali di ordine superiore; teorema di
Schwarz (s.d.).
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| 4/5 |
Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange al
II ordine; formula di Taylor con resto di Peano
all'ordine m (s.d.). Massimi e minimi locali di funzioni
di più variabili; stazionarietà dei punti
estremali; condizioni sufficienti del II ordine per
l'estremalità.
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| 8/5 |
Esercizi su punti estremali. Derivabilità e
differenziabilità di funzioni a valori vettoriali;
jacobiano; regola della catena. Curve semplici e chiuse;
curve cartesiane e polari; retta e vettore tangenti a una
curva, curve regolari; cambiamenti di parametro e curve
equivalenti.
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| 9/5 |
Camilla Pisani (tutor): esercizi su
differenziabilità e punti estremali di funzioni di più
variabili.
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| 11/5 |
Curve rettificabili; rettificabilità di curve
C1 (s.d.); indipendenza dalla parametrizzazione;
esempi. Nozione di integrabilità di funzioni
definite su un rettangolo; integrabilità delle
funzioni continue (s.d.); proprietà dell'integrale
(s.d.); formule di riduzione; esercizi.
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| 15/5 |
Funzioni integrabili su insiemi limitati; insiemi
misurabili; caratterizzazione degli insiemi misurabili;
proprietà degli insiemi misurabili;
integrabilità di funzioni continue su un
rettangolo a meno di insiemi di misura nulla e di
funzioni continue su un insieme misurabile.
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| 16/5 |
Camilla Pisani (tutor): esercizi su calcolo di limiti di funzioni
di due variabili tramite la formula di Taylor, curve parametriche, integrali doppi.
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| 18/5 |
Additività dell'integrale doppio; domini
normali del piano e formule di riduzione; esercizi.
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| 22/5 |
Teorema di cambiamento di variabili negli integrali
doppi (s.d.);
coordinate polari; esercizi.
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| 23/5 |
Camilla Pisani (tutor): esercizi di riepilogo su
calcolo differenziale in più variabili e curve
parametriche.
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| 25/5 |
Integrali tripli su parallelepipedi e su insiemi
limitati; insiemi misurabili in R3;
integrabilità di funzioni continue su insiemi
misurabili (s.d.); domini normali rispetto a assi e piani
coordinati; formule di riduzione (s.d.); cambimento di
variabili negli integrali tripli (s.d.); coordinate
cilindriche e sferiche; esercizi.
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| 29/5 |
Esercizi su integrali tripli. Superfici elementari
in R3; superfici con e senza bordo; esempi.
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| 30/5 |
Camilla Pisani (tutor): esercizi su integrali doppi e
tripli, volumi di solidi di rotazione, baricentri,
superfici parametriche.
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| 1/6 |
Superfici regolari, piano tangente e versori normali.
Superfici orientabili; orientazione del bordo di superfici
invertibili. Esempi.
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| 5/6 |
Superfici composte. Area di superfici elementari e
composte; integrali superficiali. Esempi.
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| 6/6 |
Camilla Pisani (tutor): esercizi di riepilogo su
integrali multipli.
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