Didattica


Anno accademico 2011/12

Corso di Calcolo II, corso di laurea triennale in Scienza e Tecnologia per i Media
  • Calendario delle lezioni
    6/3 Somme di Riemann inferiori e superiori e loro monotonia. Nozione di integrabilità secondo Riemann di funzioni reali di una variabile. Esempi. Integrabilità delle funzioni continue, monotone (senza dim.), e continue a tratti (senza dim.).
    7/3 Linearità, additività, monotonia dell'integrale (s.d.). Interpretazione geometrica dell'integrale di una fuzione di segno arbitrario. Teorema della media. Funzioni integrali. Teorema fondamentale del calcolo. Primitive. Esercizi.
    13/3 Metodi di integrazione per parti e per sostituzione. Esercizi.
    14/3 Camilla Pisani (tutor): esercizi su integrazione per parti e per sostituzione; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrali di funzioni del tipo xnlog(x), sen(ax)cos(bx), xncos(ax), x logn(x).
    16/3 Integrali di funzioni razionali. Esercizi. Integrali riconducibili a integrali razionali mediante sostituzione.
    20/3 Integrabilità in senso improprio. Criteri del confronto e del confronto asintotico. Esercizi.
    21/3 Camilla Pisani (tutor): esercizi su integrali di funzioni razionali o che si riconducono a tali tramite sostituzione; integrali impropri con uso del criterio del confronto per funzioni non negative.
    23/3 Assoluta integrabilità in senso improprio. Criterio integrale di convergenza per serie a termini non negativi. Esercizi.
    27/3 Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Teoremi di continuità del limite uniforme e di passaggio al limite sotto il segno di derivata e integrale. Esempi.
    28/3 Nozioni di convergenza puntuale e uniforme di serie di funzioni. Convergenza uniforme di serie di potenze. Teoremi di continuità, integrazione e derivazione di serie di potenze. Unicità dello sviluppo in serie di potenze. Serie di Taylor di log(1+x), arctg x. Esercizi.
    30/3 Camilla Pisani (tutor): esercizi su integrali impropri con uso del criterio del confronto e del confronto asintotico; convergenza assoluta di integrali; studi di funzioni integrali (con attenzione alla ricerca di eventuali asintoti); sviluppo di Mc Laurin di arcsen x a partire da quello di (1+x)a.
    3/4 Elementi di topologia in Rn: punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati, insiemi aperti, chiusi e limitati. Esercizi. Nozione di limite di una funzione reale di n variabili reali.
    4/4 Camilla Pisani (tutor): esercizi su successioni e serie di funzioni.
    6/4 Esercizi su integrali impropri e successioni di funzioni.
    11/4 Camilla Pisani (tutor): esercizi di riepilogo.
    17/4 Limite di una funzione vettoriale di n variabili reali e riduzione a funzioni scalari. Proprietà generali dei limiti (s.d.). Esempi. Successioni in Rn. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Crietrio di convergenza di Cauchy (s.d.). Insiemi compatti di Rn e teorema di Weierstrass (s.d.). Funzioni uniformemente continue e teorema di Heine-Cantor (s.d.). Curve parametriche. Esempi.
    18/4 Camilla Pisani (tutor): esercizi su insiemi di definizione, curve parametriche, verifica di limiti tramite definizione.
    20/4 Insiemi connessi, teoremi di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Esercizi sul calcolo di limiti di funzioni di due variabili.
    24/4 Derivate direzionali, derivate parziali e gradiente; regole di derivazione parziale; esempi. Differenziabilità e sue conseguenze (continuità e derivabilità); controesempi.
    27/4 Camilla Pisani (tutor): esercizi su curve parametriche e su limiti, derivate parziali, differenziabilità di funzioni di più variabili.
    2/5 Teorema del differenziale totale e esempi. Piano tangente; gradiente come direzione di massima variazione. Regola della catena (s.d.); teorema del valor medio (s.d.). Derivate direzionali e parziali di ordine superiore; teorema di Schwarz (s.d.).
    4/5 Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange al II ordine; formula di Taylor con resto di Peano all'ordine m (s.d.). Massimi e minimi locali di funzioni di più variabili; stazionarietà dei punti estremali; condizioni sufficienti del II ordine per l'estremalità.
    8/5 Esercizi su punti estremali. Derivabilità e differenziabilità di funzioni a valori vettoriali; jacobiano; regola della catena. Curve semplici e chiuse; curve cartesiane e polari; retta e vettore tangenti a una curva, curve regolari; cambiamenti di parametro e curve equivalenti.
    9/5 Camilla Pisani (tutor): esercizi su differenziabilità e punti estremali di funzioni di più variabili.
    11/5 Curve rettificabili; rettificabilità di curve C1 (s.d.); indipendenza dalla parametrizzazione; esempi. Nozione di integrabilità di funzioni definite su un rettangolo; integrabilità delle funzioni continue (s.d.); proprietà dell'integrale (s.d.); formule di riduzione; esercizi.
    15/5 Funzioni integrabili su insiemi limitati; insiemi misurabili; caratterizzazione degli insiemi misurabili; proprietà degli insiemi misurabili; integrabilità di funzioni continue su un rettangolo a meno di insiemi di misura nulla e di funzioni continue su un insieme misurabile.
    16/5 Camilla Pisani (tutor): esercizi su calcolo di limiti di funzioni di due variabili tramite la formula di Taylor, curve parametriche, integrali doppi.
    18/5 Additività dell'integrale doppio; domini normali del piano e formule di riduzione; esercizi.
    22/5 Teorema di cambiamento di variabili negli integrali doppi (s.d.); coordinate polari; esercizi.
    23/5 Camilla Pisani (tutor): esercizi di riepilogo su calcolo differenziale in più variabili e curve parametriche.
    25/5 Integrali tripli su parallelepipedi e su insiemi limitati; insiemi misurabili in R3; integrabilità di funzioni continue su insiemi misurabili (s.d.); domini normali rispetto a assi e piani coordinati; formule di riduzione (s.d.); cambimento di variabili negli integrali tripli (s.d.); coordinate cilindriche e sferiche; esercizi.
    29/5 Esercizi su integrali tripli. Superfici elementari in R3; superfici con e senza bordo; esempi.
    30/5 Camilla Pisani (tutor): esercizi su integrali doppi e tripli, volumi di solidi di rotazione, baricentri, superfici parametriche.
    1/6 Superfici regolari, piano tangente e versori normali. Superfici orientabili; orientazione del bordo di superfici invertibili. Esempi.
    5/6 Superfici composte. Area di superfici elementari e composte; integrali superficiali. Esempi.
    6/6 Camilla Pisani (tutor): esercizi di riepilogo su integrali multipli.
  • Test
    Regole: un errore negli esercizi preliminari equivale a -5 punti, due o più errori comportano la non valutazione del test. Il voto medio dei due test migliori contribuirà per il 30% al voto finale dello scritto.
    I° test 13/4/12 Testo con soluzioni Risultati
    II° test 28/5/12 Testo con soluzioni Risultati
    III° test 8/6/12 Testo con soluzioni Risultati
    Riepilogo risultati dei test
  • Esami
    Scritto 20/6 Testo con soluzioni Risultati
    Scritto 5/9 Testo con soluzioni Risultati
    Scritto 20/2 ore 10.00 aula T6bis
    Orale 21/2 ore 11.30 aula T6bis
Ciclo di lezioni del corso di Calcolo II, corso di laurea triennale in Chimica, titolare prof. F. De Blasi
  • Calendario delle lezioni
    6/12 Curve parametriche in R2 e R3. Curve semplici e chiuse. Retta e vettore tangente ad una curva, curve regolari. Curve in coordinate polari. Esempi.
    7/12 Lunghezza di una curva. Curve equivalenti e cambiamenti di parametro. Integrali curvilinei. Forme differenziali e campi vettoriali. Lavoro di un campo vettoriale e campi conservativi. Esempi.
    13/12 Integrale di una forma differenziale su una curva. Forme differenziali esatte e loro caratterizzazioni in termini di integrali su curve. Esempi.
    14/12 Forme differenziali chiuse. Esattezza di forme chiuse su aperti stellati e semplicemente connessi. Esempi.
    15/12 Francesca Siclari (tutor): Esercizi su regolarità e lunghezza di curve. Esercizi su forme differenziali: integrali su curve, chiusura, esattezza e calcolo di primitive.
    20/12 Fattore integrante di una forma differenziale. Esercizi su fattori integranti, campi vettoriali, lughezza di una curva.
    22/12 Francesca Siclari (tutor): Esercizi su integrali doppi in coordinate cartesiane e polari.
    17/1 Esercizi su serie numeriche e massimi e minimi relativi e assoluti di funzioni di due variabili.
  • Programma del corso
  • Esami
    Scritto 20/2/12 Testo Risultati
Ciclo di lezioni del corso di Analisi Matematica III, corso di laurea triennale in Matematica, titolare prof. M. Matzeu
  • Calendario delle lezioni
    5/10 Domini normali in R2 e loro misura. Partizione di un dominio normale in domini normali di diametro assegnato. Additività finita della misura. Nozione di integrabilità di una funzione limitata su un dominio normale.
    12/10 Integrabilità delle funzioni continue. Esempio di funzione non integrabile. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Additività finita dell'integrale (note). Estensione dell'integrale a unioni di domini normali. Esercizi.
    19/10 Tutorato (testo). Cambiamento di variabili negli integrali doppi (senza dim.). Cambiamento di variabili a meno di insiemi di misura nulla (senza dim.). Coordinate polari.
    26/10 Monotonia dell'integrale. Dimostrazione del teorema di cambiamento di variabili a meno di insiemi di misura nulla (note). Tutorato (testo).
    28/10 Domini normali in R3. Nozione di integrale triplo di una funzione limitata. Integrabilità delle funzioni continue e formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali tripli: coordinate sferiche e cilindriche. Primo teorema di Guldino. Esercizi.
    2/11 Esercizi sugli integrali tripli. Tutorato (testo).
    9/11 Intervalli in Rn e loro proprietà, misura degli intervalli. Plurintervalli in Rn e loro proprietà. Misura dei plurintervalli, sua indipendenza dalla partizione e sue proprietà (note).
    16/11 Misura secondo Peano-Jordan in Rn e sua (sub-)additività e montonia. Esempio di insieme non misurabile. Caratterizzazione degli insiemi misurabili. Misura di un prodotto cartesiano.
    23/11 Nozione di integrabilità alla Riemann su Rn. Linearità, monotonia e additività dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue quasi-ovunque (note).
    30/11 Caratterizzazione dell'integrabilità tramite funzioni semplici. Formula di riduzione per integrali in Rn (note). Misurabilità dei domini normali. Cambiamento di variabili (senza dim.). Misura della palla unitaria n-dimensionale.
  • Note integrative
  • Testi dei tutorati
  • Esami
    Scritto 1/2/12 Testo Risultati

 Last modified: Feb. 14, 2014 by G.M.