Neuroscienze, apprendimento e didattica della matematica

Credo che oggi ogni insegnante ormai debba accettare il fatto che non è scontato che tutti gli studenti abbiano un sistema di lettura adeguato, che permetta loro di leggere fino in fondo e a comprendere una frase lunga e complessa. Spesso si fermano a metà, confusi, e, nel caso di un problema, cominciano a risolverlo senza aver capito cosa questo in realtà richiede e senza sapere quali dati hanno a disposizione.
Vediamo ⁷ ad esempio il testo del seguente problema:

"È data una sfera di diametro AB = 2r. Determinare sul diametro di questa sfera un segmento AC = x in modo che conducendo da C il piano perpendicolare al diametro, la somma della superficie della zona la cui altezza è AC e della superficie laterale del cono DOE avente per vertice il centro O della sfera e per base la sezione formata dall’intersezione tra piano e sfera, sia uguale a pa²"

Non pochi studenti, nella risoluzione di un problema, sbagliano o si bloccano già fin dal testo. Normalmente questo viene letto con una ricerca sequenziale del significato di ogni parola, aspettando che emerga, vocabolo dopo vocabolo, il significato complessivo del periodo. Questo però non riesce subito a delinearsi e man mano che ci si inoltra nella frase il peso e il senso delle parole appena lette svaniscono per l’aggiungersi, nella memoria di lavoro, di quelle che seguono.

Questa difficoltà viene aumentata dal fatto che spesso questi testi hanno costruzioni sintattiche complicate, nelle quali si devono accumulare grandi quantità di subordinate prima di incontrare la principale. E così succede che, pur afferrando qua e là qualche significato parziale, il senso ultimo del discorso, quello che lega tutto, si diluisce per via dei legami logici che non si riescono a stringere, di gerarchie semantiche che non prendono forma. Dobbiamo allora preoccuparci di insegnare agli studenti che ancora non l’hanno, una opportuna strategia di pensiero, semplice e per noi addirittura banale, ma per loro niente affatto spontanea.
Dal momento che questi non possono usare facilmente indizi sintattici per decodificare la frase, data la sua complessità, possono procedere individuando subito gli oggetti che sono in grado di visualizzare — in questo caso hanno anche come aiuto la possibilità di disegnarli — trascurando temporaneamente quelli di cui svanisce il senso con l’ammucchiarsi delle parole. Successivamente possono cercare di capire in che relazione stanno tali oggetti, in base agli indizi sintattici della frase. Si tratta, in altre parole, di costruire consapevolmente dei chunks.
Nel nostro caso gli oggetti immediatamente individuabili in una prima lettura potrebbero essere una sfera, il suo diametro, un piano perpendicolare al diametro e un cono.
Sistemando poi le lettere sulla figura possiamo cominciare a montare insieme gli oggetti individuati: A e B sono gli estremi del diametro, C un punto di tale diametro, il piano deve passare per C, ecc.…

È da notare, a questo proposito, come sia frequente incontrare nei testi matematici costruzioni "circolari" che ostacolano una rapida comprensione della frase: "la superficie della zona la cui altezza è AC…". Per capire di cosa si sta parlando, dopo essere arrivati in fondo alla frase dobbiamo fare il percorso inverso: AC, come altezza, definisce una zona che a sua volta identifica la superficie che ci interessa.

Questo tipo di costruzione è veramente molto frequente: i problemi sono spesso formulati "alla rovescia" nel modo seguente:" Data una circonferenza di centro O e raggio r, determinare a quale distanza da O si deve condurre una corda MN affinché sia K il rapporto tra l’area del triangolo formato dalla corda MN e dalle tangenti al cerchio in M ed N, ed il rettangolo di lato MN inscritto nel cerchio" piuttosto che in modo diretto, molto più facile per lo studente:"In una circonferenza di centro O e raggio r si disegni una corda MN e si chiami x la sua distanza dal centro. Si costruisca successivamente il rettangolo di lato MN inscritto nel cerchio. Condotte poi le tangenti al cerchio in M e in N, si consideri il triangolo formato dalla corda MN e da tali tangenti . Determinare il valore di x affinché il rapporto tra l’area del triangolo e quella del rettangolo valga k".

Si potrebbe a questo punto osservare che forse sarebbe più economico e razionale se ci impegnassimo tutti quanti a mettere i ragazzi di fronte a frasi ordinate in modo diretto invece di costringerli a imparare il latino per capire quelle formulate alla rovescia. In realtà credo che evitare del tutto "palestre" mentali di questo tipo sia dannoso. Si possono cambiare materie, contenuti, metodi, ma deve rimanere qualcosa che abbia sulle menti la capacità di potenziare con esercizi artificiali questi processi naturali. Penso che il senso e l’utilità dell’operazione di sintesi effettuabile dal pensiero tramite i concetti verbali e le immagini mentali siano inoltre estremamente più estesi di quanto può essere apparso dagli esempi riportati. Credo in effetti che questa operazione sia alla base di tutto il pensiero e ne accompagni ogni manifestazione, da quelle più semplici a quelle più complesse. Sto parlando in breve di una capacità dei processi del pensiero a "pensare" strutturando blocchi d’informazione, partendo dal materiale percettivo immediato per estendere poi il processo in una sorta di ricorsività, costruendo moduli sempre più ampi, in cui gli elementi costituenti sono i blocchi più piccoli. La ricorsività è basata proprio sul fatto che "una stessa operazione" avviene a vari livelli.

Questi limiti della memoria di lavoro regolano anche il nostro pensiero "discorsivo", il modo cioè con cui parliamo e argomentiamo con intenti persuasivi nella vita comune, a anche in questo caso si notano differenze non trascurabili con il pensiero scientifico. Mosconi ⁹ci presenta un esempio di incongruenza tra discorso persuasivo (naturale) e discorso dimostrativo (scientifico) usando un teorema degli Elementi, quello conosciuto come primo teorema di Euclide. Questo teorema è di estrema importanza perché da esso è facile dedurre il teorema di Pitagora alla base della geometria analitica metrica. E’ infatti il teorema di Pitagora che consente di collegare la distanza tra due punti del piano cartesiano ad una formula algebrica che coinvolge i valori delle coordinate dei due punti. Col teorema di Pitagora si introduce nello spazio una metrica che conferisce a quello spazio la struttura, come oggi si dice, di spazio euclideo. Mosconi osserva come un criterio seguito dai matematici nell’esporre dimostrazioni geometriche è quello di non fare mai alcuna affermazione che non sia suffragata da elementi forniti in precedenza. Detto per inciso, è anche uno dei comportamenti che insegniamo e pretendiamo dai nostri alunni. In sostanza, nel corso della dimostrazione, nulla viene anticipato e il destinatario del discorso si trova spesso nella situazione di venir condotto verso la conclusione finale un po’ come un cieco che, pur conoscendo la meta, può controllare la strada solo passo dopo passo, senza rendersi conto della totalità dell’itinerario. Mosconi mostra come "si può organizzare il discorso dimostrativo secondo un criterio diverso […]preoccupandosi di organizzare il discorso con riguardo alla maniera di funzionare della sua mente, a ciò che può favorirne la comprensione e facilitarne il ricordo"

Il teorema di Euclide dice che:
Nei triangoli rettangoli il quadrato di un cateto è equivalente al rettangolo dell’ipotenusa e della proiezione del cateto sull’ipotenusa

Negli Elementi troviamo la dimostrazione esposta nel modo seguente:

Mosconi osserva come ad ogni passo, almeno fino al punto 6, l’ascoltatore non è in grado di comprendere in ordine all’obiettivo finale la funzione delle operazioni che vengono compiute, vale a dire che per gran parte della dimostrazione il ricevente procede alla cieca. La strategia espositiva del testo euclideo costringe il soggetto a ricevere e conservare per un certo tempo una notevole massa di informazioni come elemento o dati irrelati, non inseribili o connettibili in un piano chiaramente compreso o intravisto. Le informazioni devono essere accolte una per una in piccoli blocchi o microstrutture, in attesa che si delinei il piano della dimostrazione e si determini l’organizzazione concettuale del discorso. Una tale strategia espositiva comporta notevolissimi rischi di caduta o di deterioramento dell’informazione trasmessa.
Si può pensare a nuovo ordinamento della dimostrazione, che abbiamo proposto sulla base anche di opportunità contenutistiche, che permette di evitare gli inconvenienti indicati, individuando il ruolo dell’ipotesi e i termini o figure "focali" del discorso dimostrativo, che in questo caso sono il quadrato e rettangolo, dato che ne dobbiamo dimostrare l’equivalenza. Oltre a questo è anche possibile, usando delle animazioni col computer modificare la figura, creando infinite situazioni differenti per le quali lo stesso enunciato, lo stesso teorema, continua a valere. Questo permette di evidenziare la necessità di una "dimostrazione astratta" che valga in tutti gli infiniti casi particolari che è possibile riprodurre.

Ecco ora il nuovo sviluppo della dimostrazione:

In questa dimostrazione i passi che vengono effettuati fanno quasi sempre riferimento al focus del problema, rendendo più agevole seguire il discorso: al punto 3 vengono determinati i rapporti tra una figura focus, il rettangolo, e un’altra figura, ausiliaria, aggiunta dal geometra (l’idea della dimostrazione) il triangolo ABD, al punto successivo si determinano i rapporti tra l’altra figura focus, il quadrato, e il secondo triangolo, la cui chiamata in causa ha un evidente parallelismo con il caso precedente, qualora valga l’ipotesi che il triangolo dato sia rettangolo in A.
Anche in questo caso, in riferimento alla didattica, sento forte l’esigenza di precisare come questi metodi vadano usati non in modo indiscriminato, ma in funzione della situazione particolare degli alunni. In altre parole va sempre ricordato che un pensiero educato deve essere in grado di sostenere ed elaborare una grande quantità di materiale, e quindi deve allenarsi e costruirsi le dovute tecniche per mettersi in grado di farlo. L’attenzione alla forma del discorso dimostrativo allora, va modulata, dal momento in cui si tratta di sostenere o correggere situazioni di partenza deboli e carenti, a quello in cui si chiedono competenze e capacità ben formate.

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