Dispense per il corso di geometria 1 con elementi di storia 1
note di Karen E. Smith sulle basi di Hamel cf. http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/infinite.pdf
spazi affini
sottospazi affini
affinita'
spazi euclidei

Esercizi settimanali di tutorato
Gli esercizi sono scaricabili dalla pagina del corso: didattica web
Testi e risultati delle prove scritte
sessione estiva anticipata - primo appello
sessione estiva anticipata - primo appello- cenni di soluzione
Risultati prova scritta del 28 luglio 2015: Agulini 16, Biancalana 19, Chiarantano 19, D'Amore 28, Perruzza 28, Salvatori 12.

Programma svolto nel corso di geometria 1 con elementi di storia 1

Con [AL] si intende il libro di Algebra lineare del prof. Ciliberto, che e' stato consigliato per lo studio del corso.
Prima settimana Prodotto cartesiano. Vettori numerici a coefficienti razionali o reali: operazioni di somma e moltipliczione per uno scalare. Traslazione per un vettore. Omotetia. Polinomi in una variabile, a coefficienti reali. Applicazioni iniettive e suriettive e loro inversa destra e sinistra. Vettori applicati e vettori geometrici. Spazi vettoriali.
cenni di soluzione
Seconda settimana Corrispondenze, relazioni e relazioni di equivalenza. Spazio vettoriale dei vettori geometrici liberi. Sistemi di riferimento nello spazio euclideo: componenti di un vettore e coordinate di un punto. Combinazioni lineari.
Sottospazi vettoriali. L'intersezione di sottospazi e' un sottospazio. Sottospazio generato da un insieme. Equazioni lineari e soluzioni. L'insieme delle soluzioni di una equazione lineare omogenea e' un sottospazio.

Terza settimana L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n indeterminate e' un sottospazio di K^n. Equazioni parametriche e cartesiane per un sottospazio vettoriale. Passaggio da equazioni parametriche a equazioni cartesiane per un sottospazio di uno spazio vettoriale numerico. Confronto tra sottospazi assegnati tramite insiemi di generatori.

Quarta settimana Insiemi linearmente dipendenti/indipendenti e loro caratterizzazione. Insiemi minimali di generatori. Metodo degli scarti successivi. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Completamento ad una base. Riferimenti in un svfg e isomorfismo indotto con uno spazio vettoriale numerico. Sistemi indipendenti massimali. Basi di Hamel. Teorema di Steinitz.
Quinta settimana Matrici. Rango di una matrice. Matrici subordinate ad una data matrice e loro rango. Matrici associate ad un sistema di equazioni lineari. Prodotto tra una matrice e un vettore colonna. Teorema di Rouche' Capelli. Primo e secondo teorema di unicita' per sistemi lineari. [par. 1,2,3,4,5 del cap. 7 di AL]
Sesta settimana Prodotto di matrici [par 1 del cap. 10 di AL] e sue proprieta'. Matrice identica. Matrici invertibili. Le matrici invertibili hanno rango massimo. Sistemi di equazioni lineari equivalenti. Parametri liberi e descrizione parametrica delle soluzioni di un sistema lineare compatibile. Confronto tra due descrizioni parametriche (cioe' tra traslati di sottospazi). Trasformazioni elementari in un sistema di vettori, matrici completamente ridotte, l'algoritmo di Gauss [par 1 e 2 del cap. 8 di AL].
Settima settimana Matrici a scala. Riduzione a scala. Riduzione in una matrice a scala e completamente ridotta. Mediante trasformazioni del terzo tipo, e' possibile fare in modo che tutti i pivot siano uguali ad 1. Le matrici quadrate di rango massimo sono invertibili (con calcolo della matrice inversa mediante trasformazioni elementari). Applicazioni alla risoluzione di sistemi lineari. Formula di Grassmann per sottospazi f.g. di uno spazio vettoriale. Ricerca effettiva di dimensione e base di unione e somma di due sottospazi. Somma diretta di due sottospazi.
Ottava settimana Esercizi ed esempi sull'intersezione di sottospazi. Somma diretta di un numero finito di sottospazi. Determinante di una matrice quadrata: proprieta' universali, formula di Leibniz, sviluppo di Laplace rispetto ad una riga o a una colonna. Una matrice quadrata e' invertibile se e solo se ha determinante non nullo. Matrice dei cofattori. Formula esplicita della matrice inversa. Teorema di Cramer. Teorema di Binet. Determinante della matrice trasposta e della matrice inversa. Caratterizzazione del rango attraverso lo studio dei minori. Teorema di Kronecker o degli orlati. Applicazioni alla ricerca di equazioni cartesiane per un sottospazio assegnato tramite una base. Soluzioni di un sistema omogeneo in n incognite e di rango n-1.
Nona settimana Spazi e sottospazi affini. Riferimenti affini. Sottospazi congiungenti. Punti indipendenti. Equazioni parametriche e cartesiane. Fasci di iperpiani. [dispense]
Decima settimana Mutua posizione di sottospazi. Formula di Grassmann affine. Applicazioni lineari. Nucleo e Immagine. Caratterizzazione di iniettivita' e suriettivita' per applicazioni lineari. Teorema della fibra. Applicazioni lineari definite su una base.
Undicesima settimana Teorema fondamentale dell'algebra lineare. Matrice associata ad una applicazione lineare. Composizione di applicazioni lineari. Cambio di base.
Dodicesima settimana Affinita': definizione e prime proprieta'. Spazi affini sullo stesso campo e aventi la stessa dimensione finita sono isomorfi. Cambi di riferimento affine. [Si consiglia di consultare le dispense sia per gli aspetti di teoria che per l'ampia offerta di esercizi svolti o da svolgere]
Esercizi complessivi di ripasso relativi al programma finora svolto. Si consiglia di approfittare di tali esercizi anche per esercitarsi nell'esposizione e nella redazione attenta. Chi desidera, mi puo' far avere lo svolgimento, in modo che io possa fornire consigli sul contenuto e sulle modalita' di esposizione. esercizi di ripasso sul programma finora svolto
Tredicesima settimana Prodotti scalari definiti positivi. Ortogonalita'. Basi ortonormali. Proiezione lungo un vettore. Metodo di ortogonalizzazione di Gram Schmidt. Spazi euclidei. Orientazione, angoli, distanza. Isometrie. Prodotto esterno, area e volume.