Analisi Matematica I

Primo Esonero

A

¹

1. Si verifichi che la funzione f(x) = e^x+1 è monotona crescente (cioè se x ³ y allora f(x) ³ f(y)).

2. Si calcoli il limite
   

   lim n®¥  n ì í î æ ç è 1+ 1 n ö ÷ ø [1/4]   -1 ü ý þ .

3. Si studi la convergenza della serie
   

   ¥ å n = 1  n! 2-n2 .

4. Si consideri la funzione
   

   f(x) = 1 2 -e-x2.

   Si dimostri che l'equazione f(x) = 0 ha almeno due soluzioni in \mathbb R.

5. Si consideri la funzione
   

   f(x) = e[1/2] Öx+3   per x Î \mathbb R+.

   Si determini f^-1.
6. Sia a = 0.[`123] dove la barra sopra 123 significa che le cifre sono ripetute indefinitivamente (cioè a = 0.123123123...). Si dimostri che a Î \mathbb Q.