Fisica Matematica II

1. Si determini la soluzione u(x,t) di
   

   uxx-u = ut    x Î (0,1);  t > 0

   
   

   u(x,0) = 1    x Î (0,1)

   
   

   u(1,t) = e-t;  ux(0,t) = e-t    t > 0.

2. Si determini la soluzione u(x,t) di
   

   utt = uxx+x    x Î (0,1);  t > 0

   
   

   u(x,0) = 0;  ux(x,0) = 0    x Î (0,1)

   
   

   u(0,t) = 0;  u(1,t) = 0      t > 0.

3. Date le funzioni f_a(x) = Ö{[(p)/2]} e^-|x|a, a > 0, siano [^f]_a le loro trasformate di Fourier. Si calcoli
   

   lim a® 0  ó õ \mathbb R  ^ f   a  (x) g(x) dx

   per ogni g Î L^¥(\mathbb R)ÇC⁰(\mathbb R).
4. Si consideri l'equazione
   

   utt-uxx = 0     x Î \mathbb R;  t > 0

   
   

   u(x,0) = g(x);  ux(x,0) = 0,

   con supp g Ì [-1,1]. Si definisca l'energia e(t) contenuta nell'intervallo [-1,1] al tempo t
   

   e(t): = ó õ 1 -1  ut(y,t)2+ux(y,t)2   dy.

   Si dimostri che e(t) £ e(0) per ogni t ³ 0.