Fisica Matematica II

1. Si risolva il seguente problema di Cauchy
   

   u2ux+uy = 0

   
   

   u(x,0) = x.

2. Sia j:\mathbb R₊®\mathbb R₊, \operatornamesuppj Ì [0,1] e, per ogni x Î \mathbb Rⁿ
   

   je(x): = j(e-1||x||) en ó õ \mathbb Rn  j(||y||)dy .

   Si dimostri che, per ogni f Î C⁰(\mathbb Rⁿ,\mathbb R)
   

   lim e® 0  ó õ \mathbb Rn  je(x-y)f(y)f(y)dy = f(x).

3. Si risolva il seguente problema di Dirichlet nel dominio W: = [-1,1]²
   

   Du = 0

   
   

   u(-1,y) = u(1,y) = 0    "y Î [-1,1]

   
   

   u(x,-1) = u(x,1) = sin(px)   "x Î [-1,1].

4. Si calcoli il Laplaciano in coordinate polari in \mathbb R³ e si trovino le equazioni per la parte radiale e angolare di funzioni armoniche.