Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e Internet
Secondo semestre, a.a. 2024/2025
Andrea Iannuzzi

Diario delle lezioni del corso di Geometria/Geometria e Algebra



UNDICESIMA SETTIMANA, 12-16 maggio 2025. Estensioni lineari di applicazioni lineari, la matrice che rappresenta un'applicazione lineare rispetto a due basi fissate, una nel dominio e l'altra nel condominio: costruzione e rilevanza del suo ruolo. Esempi. Iniettivita' e suriettivita' di un'applicazione lineare f: V -> W in termini di una matrice A che la rappresenta: f e' iniettiva se e solo se il rango di A coincide con la dimensione di V, f e' suriettiva se e solo se il rango di A coincide con la dimensione di W. Ritroviamo il teorema della dimensione nel caso in cui anche il codominio abbia dimensione finita (e cio' e' sempre ottenibile sostituendo il codominio con l'immagine). Caso degli isomorfismi lineari: la matrice rappresentativa e' quadrata e invertibile; La matrice rappresentativa dell'inversa e', scambiando il ruolo delle basi scelte, l'inversa di tale matrice. La proiezione su un sottospazio vettoriale W del dominio V lungo un sottospazio supplementare U.
Con Leandro: isometrie tra spazi vettoriali con prodotto scalare come funzioni che preservano le distanze. Se un'isometria e' lineare allora tale proprieta' e’ equivalente a preservare il prodotto scalare. La linearita' e' automatica se l’isometria fissa l'origine (senza dimostrazione). Caratterizzazione delle isometrie come isomorfismi che trasformano basi ortonormali in basi ortonormali. Le matrici ortogonali, definizione e caratterizzazione come quelle le cui colonne (equivalentemente le righe) sono basi ortonormali rispetto al prodotto scalare standard. Fissata ad una base ortonormale, un endomorfismo e' un'isometria se e solo se la matrice associata e' ortogonale. Le matrici ortogonali hanno determinante +-1 e il prodotto di matrici ortogonali e' ortogonale. Un insieme di vettori non nulli a due a due ortogonali e' un insieme di vettori linearmente indidipendenti.

Greco-Valabrega Vol I: VI.1-VI.5 (occhio alla differente notazione della matrice che rappresenta un'applicazione lineare rispetto a delle basi scelte)
Greco-Valabrega Vol I: capitolo VII.
Esercizi 9, 10
Esercizi svolti 12

DECIMA SETTIMANA, 5-9 maggio 2025. Dato un s.s.v. W dello spazio euclideo standard di dimensione n, il sottospazio vettoriale W ⟂ ortogonale a W, non solo e' in somma diretta con W ma e' un supplementare (dimostrato). Quindi W e W ⟂ sono uno supplementare dell'altro. Ortogonale a un sottospazio vettoriale W di V e sua dimensione (fissando coordinate in V e una base di W si ricavano k equazioni omogenee che definiscono l'ortogonale a W). Calcolo del sottospazio ortogonale a W con Gram-Schmidt. Le soluzioni di un sistema omogeneo come supplementare ortogonale dello spazio generato dalle righe della matrice dei coefficienti. W coincide con lo spazio ortogonale allo spazio ortogonale a W (semplice applicazione di Grassmann). Fissando una base del sottospazio ortogonale a W si ricavano n-k equazioni omogenee che definiscono W stesso. Si era anche visto come ottenere n-k equazione omogenee che definiscono W utilizzando il teorema dei minori orlati, metodo piu' elegante. Applicazioni lineari: definizione ed esempi, prime proprieta'. Nucleo ed immagine sono sottospazi vettoriali, L lineare trasforma vettori l.d. in vettori l.d. Nel caso finito in cui il dominio e' finitamente generato, una tale L trasforma una base del dominio in generatori dell'immagine. Inoltre L e' iniettiva se e solo se il nucleo e' banale. Se L e' iniettiva trasforma vettori l.i. in vettori l.i. Caso dell'applicazione lineare LA tra spazi di vettori numerici definita da una matrice A di ordine mxn: l'immagine e' generata dalle colonne di A e quindi ha dimensione uguale al rango rk(A) di A. Il nucleo coincide con l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo la cui matrice dei coefficienti e' A, e dunque ha dimensione n-rk(A). Teorema della dimensione, sue conseguenze e sua interpretazione geometrica. Definizione di isomorfismo. Isomorfismi tra spazi vettoriali: nel caso di V e W di dimensione finita e uguale, per essere un isomorfismo e' sufficiente la sola iniettivita', oppure la sola suriettivita'. La restrizione di un'applicazione lineare ad un sottospazio vettoriale e' un'applicazione lineare. Esistenza ed unicita' di un'applicazione lineare della quale si sono scelte arbitrarie immagini degli elementi di una fissata base del dominio.

Greco-Valabrega Vol I: capitolo VII.
Esercizi 6, 7, 8
Esercizi svolti 9, 10


NONA SETTIMANA, 28-30 aprile 2025. Sviluppo di Laplace per righe e per colonne. Formula di Cramer per l'inversa (di una matrice quadrata invertibile). Risoluzione di sistemi lineari quadrati di rango massimo: teorema di Cramer. Risoluzione di sistemi lineari arbitrari compatibili con il metodo di Cramer (usato raramente). Esercizio: calcolare il determinante della matrice le cui entrate sono i complementi algebrici. Calcolo del rango in termini dei minori non nulli (dimostrato). Il principio dei minori orlati (senza dimostrazione). Come ottenere equazioni omogenee di un sottospazio vettoriale (di uno s.v. finitamente generato) utilizzando il teorema dei minori orlati (strategia piu' elegante di altre). Spazi vettoriali euclidei (spazi metrici). Prodotto scalare, norma e loro proprieta`; angoli, ortogonalita`, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare; dimostrazioni del tutto simili al caso dello spazio euclideo standard finito dimensionale. Esempio dello spazio delle funzioni continue su un intervallo chiuso munito di un prodotto scalare. Caso finito dimensionale: basi ortogonali e basi ortonormali, formula per il prodotto scalare e per la norma in coordinate rispetto ad una base ortonormale, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (con dimostrazione).

Appunti 6
Esercizi 11
Esercizi svolti 11


Settimana di Pasqua e Pasquetta. Auguri!
Recupereremo una lezione martedi' 29 aprile alle 14.00 in aula A1.


SETTIMA SETTIMANA, 14-18 aprile 2025. Sistemi lineari omogenei: l'insieme delle soluzioni e' un sottospazio vettoriale di dimension n-rk(A). Sistemi equivalenti e operazioni elementari. Risoluzione di sistemi ridotti e metodo di riduzione di un sistema con Gauss-Jordan. Basi di sottospazi vettoriali (somma, intersezione) tramite il metodo di riduzione di Gauss. Sistemi lineari compatibili AX=B: soluzioni = soluzione particolare + soluzioni di AX=O, ovvero sottospazio affine. Sistemi lineari omogenei: determinazione di una base dello spazio delle soluzioni. Discussione delle posizioni reciproche in R3 di due piani, un piano e una retta, due rette, studiando il sistema delle equazioni cartesiane tramite Rouche'-Capelli. Piani tra loro ortogonali in E3. Inversa a destra di una matrice quadrata. Determinazione e unicita' dell'inversa a destra di una matrice quadrata invertibile (ovvero di rango massimo): il metodo di Gauss-Jordan. Anche l'inversa a sinistra esiste se e solo se il rango e' massimo. L'inversa a sinistra coincide con quella a destra, dunque non c'e' bisogno di specificare. Proprieta' delle trasposte di matici mxn e delle inverse di matrici quadrate. Il determinante come unica funzione multilineare alternante sulle righe normalizzata da | In|=1. |A| e' non nullo se e solo se il rango di A e' massimo, calcolo del determinante col metodo di Gauss, determinanti di matrici triangolari inferiori e superiori. Il gruppo simmetrico Sn: formula per il calcolo del determinante in termini delle sue entrate (usando le permutazioni). Regola di Sarrus per matrici 3x3, che non vale sulle 4x4, 5x5, 6x6 . . . . det(A) = det(trasposta di A). Il determinante e' anche l'unica applicazione multilineare alternante sulle sulle colonne tale che det( In)=1. Teorema di Binet (senza dimostrazione) e sua riformulazione sul gruppo delle matrici quadrate invertibili. det( A-1)=1/det(A).

Greco-Valabrega Vol I: VIII 1, VIII 2
Esercizi svolti 1, 7 e 8, Greco-Valabrega Vol I: V.9


SESTA SETTIMANA, 7-11 aprile 2025. Lo spazio vettoriale delle matrici. Il rango per righe e' uguale a quello per colonne (senza dimostrazione) rango delle matrici ridotte, trasformazioni elementari. Metodo di riduzione di Gauss. La trasposta di una matrice, matrici quadrate; diagonali, triangolari superiori, triangolari inferiori, simmetriche e anti-simmetriche, hermitiane e anti-hermitiane. Matrici ridotte, ridotte e a scala, a scala fortemente ridotte. Il metodo di riduzione di Gauss. Ottenere basi a partire da un insieme di generatori utilizzando il metodo di Gauss: il caso di Rn e il caso generale. Prodotto tra matrici, proprieta' (non-commutativita`, associativita`, distributivita`, la matrice identica), esempi, il caso delle matrici quadrate. Sistemi di equazioni lineari, in notazione compatta AX = B, teorema di Rouche'-Capelli. L'insieme delle soluzioni di un sitema lineare omogeneo e' un sottospazio vettoriale.

Greco-Valabrega Vol I: V.1-V.3, V.3.5, V.4.5
Greco-Valabrega Vol I: V.5, V.6, V.8
Appunti 1, 6
Esercizi 5bis
Esercizi svolti 1


QUINTA SETTIMANA, 31 marzo - 4 aprile 2025. Determinazione di equazioni lineari omogenee per la giacitura di una retta. Equazioni cartesiane di una retta: dalle parametriche alle cartesiane e dalle cartesiane alle parametriche R3. Piani e rette ortogonali tra di loro. Fascio proprio di piani in R3. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Somma diretta di sottospazi vettoriali e loro dimensione, l'ortogonale W ad un sottospazio vettoriale U e' un supplementare di U? Caso di U sottospazio vettoriale di R3: U e' l'ortogonale al suo ortogonale W. Vale l'analogo risultato in dimensione maggiore. Formula di Grassmann vettoriale: conseguenze ed esempi, somma diretta: nel caso di due sottospazi vettoriali equivale ad essere l'intersezione banale. Sottospazi vettoriali tra loro supplementari (o anche uno complemento dell'altro) Distanza di un piano da: un punto, una retta a lui parallela, un piano a lui parallelo: formula in termini delle coordinate del punto e dell'equazione del piano. Distanza di una retta da: un punto, una retta a lei parallela. Distanza tra due rette sghembe. Circonferenze in E2 e rette tangenti. Sfere in E3 e piani tangenti. Raggio delle circonferenze ottenute come intersezione di sfere e piani.

Greco-Valabrega Vol I: II.1.4, II.1.5, II.5, II.6, IV.1-IV.3, V.1-V.3, V.3.5, V.4.5, V.9 esercizi di fine capitolo IV.5.1-IV.5.2
Esercizi svolti 6


QUARTA SETTIMANA, 24-28 marzo 2025. Dimostrazione del lemma di Steinitz. Proprieta' delle basi e dimensione di sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale finitamente generato. Piano per un punto con giacitura fissata, equazioni parametriche, piano per tre punti non allineati, piano contente una retta ed un punto che non le appartiene. Piano contenente due rette parallele distinte, Parallelismo, parallelismo tra piani e rette, lo spazio delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea non nulla in tre incognite, prodotto vettoriale in R3 e le sue proprieta': area di parallelogrammi. Regola della mano destra/sinistra in riferimenti destrorsi/sinistrorsi. Dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane di un piano in R3 e viceversa. Il determinante di una matrice 3x3 visto come prodotto misto, calcolo del volume di un parallelepipedo in R3. Equazioni di un fascio improprio di piani in R3.

Greco-Valabrega Vol I: II.4.1-II.4.3, II.7.1-7.3, III.6.1-6.3, III.8.2
Appunti 5, Esercizi di fine capitolo
Esercizi 5

TERZA SETTIMANA, 17-21 marzo 2025. Distanza di un punto da una retta nel piano euclideo. Proiezione ortogonale del punto sulla retta. Spazi e sottospazi vettoriali, sottospazio generato da un numero finito di vettori. Insiemi di vettori linearmente indipendenti e insiemi di vettori linearmente dipendenti. Esempi ed esercizi. Un numero finito di vettori non nulli a due a due ortogonali sono linearmente indipendenti. Basi di uno spazio vettoriale finitamente generato. Metodo degli scarti successivi. Metodo del completamento. Loro conseguenze. Lemma di Steinitz e sue conseguenze; dimensione di uno spazio vettoriale.

Esercizi 2: 1-5 Appunti 3, pag. 1-6: Esercizi di fine capitolo (da 2.B a 2.J)
Greco-Valabrega Vol I: III.2, III.3, III.4, III.5, Prop. 6.1, esercizi di fine capitolo
Greco-Valabrega Vol I: II.3, II.4
Apostol Sez. 2.6, 2.7, 2.9, 2.10, 2.12
Apostol esercizi sez. 2.8, sez. 2.11 1-5, sez. 2.14 1-3
Appunti 4., pag. 1-6; Esercizi di fine capitolo
Esercizi 3
Esercizi 4

SECONDA SETTIMANA, 10-14 marzo 2025. Il prodotto scalare standard in Rn e sue proprieta'. Norma di un vettore. Distanza tra due punti. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Ortogonalita' e identita' pitagorica. Angolo fra due vettori: determinazione dell'arccos. Proiezione di un vettore lungo una direzione e sua lunghezza. Ortogonalizzazione di un vettore rispetto ad un'altro non parallelo. Aree di triangoli e di parallelogrammi: il caso di R2 e il determinante di una matrice 2x2. Il sottospazio vettoriale generato da un vettore non nullo di Rn. Retta per un punto parallela ad un vettore direttore, la sua giacitura, equazioni parametriche. Indipendenza dal punto base e dal vettore direttore scelto. Retta per due punti. Il caso di R2: equazioni cartesiane della retta: vettori normali alla giacitura, Dalle equazioni cartesiane alle parametriche. E di nuovo dalle parametriche alle cartesiane unnullando il determinante di una matrice 2x2.

Esercizi 1 Appunti 1, pag. 1-5;
Appunti 2, pag. 1-10; Esercizi di fine capitolo
Greco-Valabrega Vol I: II.1-II.3, III.1, III.2 (escluso Thm. 2.4)
Esercizi 2: 1-5
Appunti 3, pag. 1-6: Esercizi di fine capitolo (da 2.B a 2.J)
Greco-Valabrega Vol I: III.2, III.3, III.4, III.5, Prop. 6.1, esercizi di fine capitolo

PRIMA SETTIMANA, 3-7 marzo 2025. La nozione di gruppo. Classici esempi di gruppi abeliani. I gruppi di permutazioni: scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, prodotto di cicli. La nozione di campo: il campo dei razionali, dei reali e dei numeri complessi. Coniugio, modulo e inverso di un numero complesso non nullo. Teorema fondamentale dell'algebra (solo enunciato), campi finiti di ordine p, con p primo. Lo spazio vettoriale Kn delle ennuple ordinate a coefficienti/componenti/entrate nel campo K. Vettori applicati nello spazio, equipollenza tra vettori applicati: stessa direzione, stesso verso, stessa lunghezza. I vettori geometrici sono in biezione con Kn. Somma e differenza di vettori geometrici, prodotto di un vettore per uno scalare: proprieta' e interpretazione geometrica, la regola del parallelogramma.



LINEE GUIDA PER GLI SCRITTI

L'esame consiste di un compito scritto e di una prova orale, alla quale si e' ammessi solo se il compito e' sufficiente (almeno 18/30).
Il compito scritto verte sul programma svolto a lezione durante le settimane di corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sopra.
Gli esercizi assegnati settimanalmente e gli esercizi svolti a lezione fanno parte integrante del programma.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi.
Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni brevi ma complete.
Presentarsi con un documento di riconoscimento.
Non e' consentito uscire durante gli scritti.
Non sono consentiti libri, appunti.
Non sono consentiti strumenti di tipo on/off (calcolatrici, cellulari, tablets, orologi spaziali . . .).