Corso di Laurea in Ingegneria
Elettronica e Internet
Secondo semestre, a.a.
2024/2025
Andrea Iannuzzi
Diario delle lezioni del corso di Geometria/Geometria e Algebra
Settimana di Pasqua e Pasquetta. Auguri!
Recupereremo una lezione martedi' 29 aprile alle 14.00 in aula A1.
SETTIMA SETTIMANA, 14-18 aprile 2025.
Sistemi lineari omogenei:
l'insieme delle soluzioni e' un sottospazio vettoriale di dimension n-rk(A).
Sistemi equivalenti e operazioni elementari.
Risoluzione di sistemi ridotti e metodo di riduzione
di un sistema con Gauss-Jordan.
Basi di sottospazi vettoriali (somma, intersezione)
tramite il metodo di riduzione di Gauss.
Sistemi lineari compatibili AX=B:
soluzioni = soluzione particolare + soluzioni di AX=O, ovvero sottospazio affine.
Sistemi lineari omogenei: determinazione di una base dello spazio delle soluzioni.
Discussione delle posizioni reciproche in R3 di due piani,
un piano e una retta, due rette,
studiando il sistema delle equazioni cartesiane tramite Rouche'-Capelli.
Piani tra loro ortogonali in E3.
Inversa a destra di una matrice quadrata.
Determinazione e unicita' dell'inversa a destra di una matrice quadrata invertibile
(ovvero di rango massimo): il metodo di Gauss-Jordan.
Anche l'inversa a sinistra esiste se e solo se il rango e' massimo.
L'inversa a sinistra coincide con quella a destra, dunque non c'e' bisogno di specificare.
Proprieta' delle trasposte di matici mxn e delle inverse di matrici quadrate.
Il determinante come unica funzione multilineare alternante sulle righe normalizzata da | In|=1.
|A| e' non nullo se e solo se il rango di A e' massimo, calcolo del determinante col metodo di Gauss,
determinanti di matrici triangolari inferiori e superiori.
Il gruppo simmetrico Sn: formula per il calcolo del determinante in termini delle sue entrate
(usando le permutazioni).
Regola di Sarrus per matrici 3x3, che non vale sulle 4x4, 5x5, 6x6 . . . .
det(A) = det(trasposta di A).
Il determinante e' anche l'unica applicazione multilineare alternante sulle sulle colonne tale che det( In)=1.
Teorema di Binet (senza dimostrazione) e sua riformulazione sul gruppo delle matrici quadrate invertibili.
det( A-1)=1/det(A).
Greco-Valabrega Vol I: VIII 1, VIII 2
Esercizi svolti 1, 7 e 8, Greco-Valabrega Vol I: V.9
SESTA SETTIMANA, 7-11 aprile 2025.
Lo spazio vettoriale delle matrici.
Il rango per righe e' uguale a quello per colonne
(senza dimostrazione) rango delle matrici ridotte, trasformazioni
elementari. Metodo di riduzione di Gauss.
La trasposta di una matrice,
matrici quadrate; diagonali, triangolari superiori, triangolari inferiori,
simmetriche e anti-simmetriche, hermitiane e anti-hermitiane.
Matrici ridotte, ridotte e a scala, a scala fortemente ridotte.
Il metodo di riduzione di Gauss.
Ottenere basi a partire da un insieme di generatori utilizzando il metodo di Gauss:
il caso di Rn e il caso generale.
Prodotto tra matrici, proprieta' (non-commutativita`, associativita`, distributivita`,
la matrice identica), esempi, il caso delle matrici quadrate.
Sistemi di equazioni lineari, in notazione compatta AX = B, teorema di Rouche'-Capelli.
L'insieme delle soluzioni di un sitema lineare omogeneo e' un sottospazio vettoriale.
Greco-Valabrega Vol I: V.1-V.3, V.3.5, V.4.5
Greco-Valabrega Vol I: V.5, V.6, V.8
Appunti 1, 6
Esercizi 5bis
Esercizi svolti 1
QUINTA SETTIMANA, 31 marzo - 4 aprile 2025.
Determinazione di equazioni lineari omogenee per la giacitura di una retta.
Equazioni cartesiane di una retta: dalle parametriche alle cartesiane
e dalle cartesiane alle parametriche R3.
Piani e rette ortogonali tra di loro.
Fascio proprio di piani in R3.
Somma e intersezione di sottospazi vettoriali.
Somma diretta di sottospazi vettoriali e loro dimensione, l'ortogonale
W ad un sottospazio vettoriale U e' un supplementare di U?
Caso di U sottospazio vettoriale di R3: U e' l'ortogonale
al suo ortogonale W. Vale l'analogo risultato in dimensione maggiore.
Formula di Grassmann vettoriale: conseguenze ed esempi, somma diretta:
nel caso di due sottospazi vettoriali equivale ad essere l'intersezione banale.
Sottospazi vettoriali tra loro supplementari (o anche uno complemento dell'altro)
Distanza di un piano da: un punto, una retta a lui parallela, un piano a lui
parallelo: formula in termini delle coordinate del punto e dell'equazione del piano.
Distanza di una retta da: un punto, una retta a lei parallela.
Distanza tra due rette sghembe.
Circonferenze in E2 e rette tangenti. Sfere in E3
e piani tangenti. Raggio delle circonferenze ottenute come intersezione di sfere e piani.
Greco-Valabrega Vol I: II.1.4, II.1.5, II.5, II.6,
IV.1-IV.3, V.1-V.3, V.3.5, V.4.5, V.9
esercizi di fine capitolo IV.5.1-IV.5.2
Esercizi svolti 6
QUARTA SETTIMANA, 24-28 marzo 2025.
Dimostrazione del lemma di Steinitz.
Proprieta' delle basi e dimensione di sottospazi vettoriali
di uno spazio vettoriale finitamente generato.
Piano per un punto con giacitura fissata, equazioni parametriche,
piano per tre punti non allineati, piano contente una retta ed un punto
che non le appartiene.
Piano contenente due rette parallele distinte,
Parallelismo, parallelismo tra piani e rette, lo spazio delle
soluzioni di un'equazione lineare omogenea non nulla in tre incognite,
prodotto vettoriale in R3 e le sue proprieta': area
di parallelogrammi. Regola della mano destra/sinistra in
riferimenti destrorsi/sinistrorsi.
Dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane di un piano
in R3 e viceversa.
Il determinante di una matrice 3x3 visto come prodotto misto,
calcolo del volume di un parallelepipedo in R3.
Equazioni di un fascio improprio di piani in R3.
Greco-Valabrega Vol I: II.4.1-II.4.3, II.7.1-7.3, III.6.1-6.3,
III.8.2
Appunti 5, Esercizi di fine capitolo
Esercizi 5
TERZA SETTIMANA, 17-21 marzo 2025.
Distanza di un punto da una retta nel piano euclideo. Proiezione ortogonale
del punto sulla retta.
Spazi e sottospazi vettoriali, sottospazio generato da un
numero finito di vettori.
Insiemi di vettori linearmente indipendenti e insiemi di vettori
linearmente dipendenti. Esempi ed esercizi.
Un numero finito di vettori non nulli a due a due ortogonali sono
linearmente indipendenti. Basi di uno spazio vettoriale finitamente generato.
Metodo degli scarti successivi. Metodo del completamento. Loro conseguenze.
Lemma di Steinitz e sue conseguenze; dimensione di uno spazio vettoriale.
Esercizi 2: 1-5 Appunti 3, pag. 1-6: Esercizi di fine capitolo (da 2.B a 2.J)
Greco-Valabrega Vol I: III.2, III.3, III.4, III.5, Prop. 6.1, esercizi di fine capitolo
Greco-Valabrega Vol I: II.3, II.4
Apostol Sez. 2.6, 2.7, 2.9, 2.10, 2.12
Apostol esercizi sez. 2.8, sez. 2.11 1-5, sez. 2.14 1-3
Appunti 4., pag. 1-6; Esercizi di fine capitolo
Esercizi 3
Esercizi 4
SECONDA SETTIMANA, 10-14 marzo 2025.
Il prodotto scalare standard in Rn
e sue proprieta'.
Norma di un vettore. Distanza tra due punti.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare.
Ortogonalita' e identita' pitagorica. Angolo fra due vettori: determinazione
dell'arccos. Proiezione di un vettore lungo una direzione
e sua lunghezza.
Ortogonalizzazione di un vettore rispetto ad un'altro non parallelo.
Aree di triangoli e di parallelogrammi: il caso di
R2 e il determinante di
una matrice 2x2.
Il sottospazio vettoriale generato da
un vettore non nullo di Rn. Retta per un punto
parallela ad un vettore direttore, la sua giacitura,
equazioni parametriche. Indipendenza dal punto base e
dal vettore direttore scelto. Retta per due punti.
Il caso di R2:
equazioni cartesiane della retta: vettori normali alla giacitura,
Dalle equazioni cartesiane alle parametriche.
E di nuovo dalle parametriche alle cartesiane unnullando il
determinante di una matrice 2x2.
Esercizi 1
Appunti 1, pag. 1-5;
Appunti 2, pag. 1-10; Esercizi di fine capitolo
Greco-Valabrega Vol I: II.1-II.3, III.1, III.2 (escluso Thm. 2.4)
Esercizi 2: 1-5
Appunti 3, pag. 1-6: Esercizi di fine capitolo (da 2.B a 2.J)
Greco-Valabrega Vol I: III.2, III.3, III.4, III.5, Prop. 6.1, esercizi di fine capitolo
PRIMA SETTIMANA, 3-7 marzo 2025.
La nozione di gruppo. Classici esempi di gruppi abeliani. I gruppi di permutazioni: scrittura
di una permutazione in cicli disgiunti, prodotto di cicli.
La nozione di campo: il campo dei razionali, dei reali e dei numeri complessi. Coniugio, modulo
e inverso di un numero complesso non nullo. Teorema fondamentale dell'algebra (solo enunciato),
campi finiti di ordine p, con p primo.
Lo spazio vettoriale Kn delle ennuple ordinate a coefficienti/componenti/entrate
nel campo K. Vettori applicati nello spazio,
equipollenza tra vettori applicati: stessa direzione, stesso
verso, stessa lunghezza. I vettori geometrici sono in biezione con Kn.
Somma e differenza di vettori geometrici, prodotto di un vettore
per uno scalare: proprieta' e interpretazione geometrica, la
regola del parallelogramma.
LINEE GUIDA PER GLI SCRITTI
L'esame consiste di un compito scritto e di una prova orale, alla
quale si e' ammessi solo se il compito e' sufficiente (almeno 18/30).
Il compito scritto verte sul programma svolto a lezione durante le
settimane di corso: teoria ed esercizi, come specificato
nel programma dettagliato qui sopra.
Gli esercizi assegnati settimanalmente e gli esercizi svolti a lezione
fanno parte integrante del programma.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi.
Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni brevi ma complete.
Presentarsi con un documento di riconoscimento.
Non e' consentito uscire durante gli scritti.
Non sono consentiti libri, appunti.
Non sono consentiti strumenti di tipo on/off (calcolatrici, cellulari,
tablets, orologi spaziali . . .).