Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e Internet
Secondo semestre, a.a. 2023/2024
Andrea Iannuzzi

Diario delle lezioni del corso di Geometria/Geometria e Algebra

Programma definitivo html

QUINDICESIMA SETTIMANA, 10-14 giugno 2024. Le coniche euclidee; la forma canonica del polinomio di secondo grado che le definisce si ottiene (sintetizzando) diagonalizzando la parte quadratica ed eliminando quanti piu' termini lineari possibili (nel caso delle coniche o uno o entrambi), classificazione euclidea di tutte le coniche euclidee (senza ripetizioni).
Classificazione delle coniche euclidee:
Coniche: matrice completa della conica e determinazione del tipo di conica tramite gli invarianti. Ellissi, parabole e iperboli come luoghi geometrici del piano euclideo, fuochi, direttrici, eccentricita', simmetrie e parametrizzazioni. Coniche a centro e determinazione del centro. Accenni sulle quadriche. Alcune proprieta' dell'iperboloide iperbolico: intersezioni con piani coordinati, simmetrie parametrizzazioni ottenute esplicitando il polinomio in forma normale o tramite sezionamento in piani paralleli ad un piano coordinato, le due schiere di rette nel caso dell'iperboloide iperbolico di rotazione. Qualche link sulle quadriche: Appunti 10 Esercizi 14, 15: 1, 2, 3a,b,c,d,g, 4, 5

QUATTORDICESIMA SETTIMANA, 3-7 giugno 2024. Le riflessioni ortogonali rispetto ad un sottospazio sono isometrie, cosi' come le permutazioni segnate delle coordinate (che non sono in generale diagonalizzabili). Le proiezioni su un sottospazio W finito dimensionale di V di dimensione non necessariamente finita: definizione e proprieta'. La proiezione di v e' il vettore di W "piu' vicino" a v. La matrice del cambiamento di base da una base ortogonale ad un'altra e' ortogonale se e solo se anche quest'ulltima base e' ortonormale. In particolare la matrice del cambiamento di base tra due basi ortonormali sono ortogonali. Segue che se un operatore e' rappresentato da una matrice ortogonale rispetto ad una base ortonomale, e' rappresentato da una matrice ortogonale rispetto a tutte le basi ortonormali (lo sapevamo gia' dalla caratterizzazione delle isometrie lineari). Segue anche che un endomorfismo e' un isometria lineare se e solo se trasforma una base ortonormale in una base ortonormale, fatto assai utile nella risoluzione di problemi concreti. Gli operatori autoaggiunti/simmetrici. Gli operatori autoaggiunti/simmetrici sono tali se e solo se sono rappresentati rispetto ad una base ortonormale da una matrice simmetrica, il teorema spettrale per operatori simmetrici (dimostrazione per n=2 e n=3) e sua conseguenza: una matrice e' simmetrica se e solo se si diagonalizza tramite una matrice ortogonale, gli autospazi sono a due a due ortogonali, il sottospazio ortogonale ad un autovettore e' invariante rispetto all'operatore simmetrico. Il prodotto hermitiano standard: norma e distanza indotta, ortogonalita' e basi ortonormali. Le isometrie lineari/operatori unitari: quelle/i che conservano il prodotto hermitiano. Sono isometrie lineari se e solo se rispetto ad una base ortonormale sono rappresentate da una matrice unitaria (senza dimostrazione, del tutto simile al caso ortogonale). Proprieta' delle matrici unitarie: le matrici unitarie sono tutte e sole quelle che conservano il prodotto hermitiano standard, loro caratterizzazione in termini delle righe/colonne (senza dimostrazione, del tutto simile al caso ortogonale), il determinante e gli autovalori sono numeri complessi di modulo 1. Il teorema spettrale per operatori unitari/matrici unitarie (senza dimostrazione). Gli operatori autoaggiunti/hermitiani sono tali se e solo se sono rappresentati rispetto ad una base ortonormale da una matrice hermitiana. Il teorema spettrale per operatori hermitiani e matrici hermitiane: un operatore/matrice e' hermitiano/a se e solo i suoi autovalori sono reali e si diagonalizza su base ortonormale/tramite matrice unitaria: dimostrazione solo per gli operatori hermitiani. La versione piu' generale del teorema spettrale vale anche per gli operatori anti-hermitiani, per i quali abbiamo enunciato il risultato; in questo caso gli autovalori sono imaginari puri. Il luogo degli zeri Z di una funzione f di Rn e il suo trasformato F(Z) tramite una biezione F:Rn -> Rn; l'insieme F(Z) e' il luogo degli zeri di f∘F-1. Le coniche euclidee.

Greco-Valabrega Vol I: capitolo VIII.1-VIII.5.7.
Esercizi 13
Esercizi svolti 14
Greco-Valabrega Vol I: capitolo VIII.8.5
Appunti 8 p. 1-2, 9


TREDICESIMA SETTIMANA, 27-31 maggio 2024. Radici di polinomi a coefficienti in un campo: i casi di C, R . Teorema fondamentale dell'algebra, lemma di divisione, fattori irriducibili in R e C, per K=R esiste almeno una radice se n e' dispari. Un endomorfismo (una matrice quadrata) e' diagonalizzabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico sono nel campo K e le molteplicita' algebriche coincidono con quelle geometriche. Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico, lo stesso determinante e la stessa traccia (ma non viceversa). I coefficienti del polinimo caratteristico: la traccia e il determinante di L sono ben definite e coincidono, rispettivamente, con la somma e il prodotto di tutte le radici, a_0 = det(f) e a_{n-1} =(-1)^{n-1} tr(f), ad esempio per n = 2 il polinomio coaratteristico e' dato da x^2 -tr(L)x+ det(L). Il gruppo delle isometrie di uno spazio euclideo. Esempio: le traslazioni. Le isometrie che fissano l'origine sono lineari e conservano il prodotto scalare (non dimostrato) Il gruppo ortogonale O(n, R). Proprieta' delle matrici ortogonali, loro caratterizzazione in termini delle righe/colonne. I possibili autovalori reali (vedremo poi quelli complessi) di una matrice ortogonale (di un isometria lineare) sono +1 oppure -1. L'applicazione lineare canonicamente associata ad una matrice quadrata reale A conserva il prodotto scalare standard se e solo se A e' ortogonale. Un endomorfismo lineare L di uno spazio euclideo finito dimensionale conserva il prodotto scalare se e solo se, rispetto ad una qualunque base ortonormale scelta, e' rappresentato da una matrice ortogonale. Tutte gli elementi del gruppo O(2, R). Le rotazioni attorno all'origine sono isometrie di R2 con det = 1 (isometrie dirette). Le isometrie lineari non dirette di R2 sono ribaltamenti rispetto ad un asse (sottospazio di dim 1). I sottospazi ortogonali agli autovettori, o piu' in generale a sottospazi vettoriali invarianti per l'isometria, sono anch'essi invarianti. Utile per scomporre in sottospazi invarianti rispetto all'isometria lo spazio euclideo (V,< , >). Forme normali del gruppo O(3, R); le isometrie canonicamente associate ad una matrice in O(3, R) sono rotazioni ortogonali intorno ad un certo asse (dirette) oppure tali rotazioni composte con una riflessione ortogonale rispetto al piano ortogonale a tale asse. Le isometrie di R3 con det 1 (dirette o movimenti rigidi) sono rotazioni ortogonali intorno ad un asse,le isometrie di R3 con det -1 (non dirette) sono rotazioni ortogonali intorno ad un asse composte con una riflessione ortogonale rispetto al piano ortogonale a tale asse. Dunque esiste una particolare base rispetto alla quale si rappresentano con matrici dalla forma accattivante. Per trovarle si parte da un autovettore (che esiste perche' 3 e' dispari). Rispetto ad altre basi, inclusa quella canonica, non e' detto che le matrici rappresentative abbiano un aspetto cosi' accattivante.

PROVE SCRITTE DI ANNI PASSATI

I appello pdf. II appello pdf. III appello pdf. IV appello pdf. V appello pdf. VI appello pdf

Greco-Valabrega Vol I: VI.6-VI.9
Appunti 7
Esercizi svolti 14

DODICESIMA SETTIMANA, 20-24 maggio 2023. L'isomorfismo di spazi vettoriali tra Hom(V,W) e Mm,n(K). L'isomorfismo di gruppi tra Aut(V) e GL(n,K). La matrice che rappresenta l'operatore identico rispetto a due basi distinte (matrice del combiamento di base). Esempi. La similitudine fra matrici. Cambiando coordinate le matrici che rappresentano un endomorfismo variano per similitudine, due matrici quadrate sono simili se e solo se rappresentano uno stesso endomorfismo. Matrici diagonalizzabili. Endomorfismi diagonalizzabili. Obiettivo: capire se un endomorfismo/una matrice quadrata e' diagonalizzabile o meno. Autovalori, autovettori, autospazi. Un endomorfismo e' diagonalizzabile se e solo ammette una base di autovettori. Autospazi distinti sono in somma diretta. Il caso delle proiezioni, delle riflessioni e delle rotazioni. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico e sono al piu' n = dim V. Se ci sono n radici distinte, allora f e' diagonalizzabile (caso piuttosto particolare). Un endomorfismo su V (una matrice quadrata) e' diagonalizzabile solo se la somma (diretta) di tutti gli autospazi coincide con V. Molteplicita' algebrica e molteplicita' geometrica di un autovalore: diseguaglianze fondamentali per tali molteplicita', con dimostrazione.

Greco-Valabrega Vol I: VI.6-VI.9
Esercizi 12
Esercizi svolti 13

UNDICESIMA SETTIMANA, 13-17 maggio 2024. Un sottospazio vettoriale W di uno spazio euclideo finito dimensionale coincide con lo spazio ortogonale allo spazio ortogonale a W (semplice applicazione di Grassmann). Dati k vettori a due a due ortogonali, questi sono linearmente indipendenti se e solo nessuno di loro e' nullo. La restrizione di un'applicazione lineare ad un sottospazio vettoriale e' un'applicazione lineare. Esistenza ed unicita' di un'applicazione lineare della quale si sono scelte arbitrarie immagini degli elementi di una fissata base del dominio. Estensioni lineari di applicazioni lineari, la matrice che rappresenta un'applicazione lineare rispetto a due basi fissate, una nel dominio e l'altra nel condominio: costruzione e rilevanza del suo ruolo. Esempi. Iniettivita' e suriettivita' di un'applicazione lineare f: V -> W in termini di una matrice A che la rappresenta: f e' iniettiva se e solo se il rango di A coincide con la dimensione di V, f e' suriettiva se e solo se il rango di A coincide con la dimensione di W. Ritroviamo il teorema della dimensione nel caso in cui anche il codominio abbia dimensione finita (sempre ottenibile sostituendolo con l'imagine). Caso degli isomorfismi lineari: la matrice rappresentativa e' quadrata e invertibile; La matrice rappresentativa dell'inversa e', scambiando il ruolo delle basi scelte, l'inversa di tale matrice. La proiezione su un sottospazio vettoriale W del dominio V lungo un sottospazio supplementare U, la proiezione ortogonale. La riflessione rispetto ad un sottospazio W lungo un sottospazio supplementare U, la riflessione ortogonale. L'isomorfismo di spazi vettoriali tra Hom(V,W) e Mm,n(K) La matrice associata alla composizione di applicazioni lineari. Notazioni per omomorfismi, endomorfismi, automorfismi (ovvero isomorfismi di V con se stesso).

Greco-Valabrega Vol I: VI.1-VI.5 (occhio alla differente notazione della matrice che rappresenta un'applicazione lineare rispetto a delle basi scelte)
Greco-Valabrega Vol I: capitolo VII.
Esercizi 9, 10
Esercizi svolti 12

DECIMA SETTIMANA, 6-10 maggio 2024. Spazi vettoriali euclidei (spazi metrici). Prodotto scalare, norma e loro proprieta`; angoli, ortogonalita`, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare; del tutto simile al caso dello spazio euclideo standard finito dimensionale. Esempio dello spazio delle funzioni continue su un intervallo chiuso munito di un possibile prodotto scalare. Caso finito dimensionale: basi ortogonali e basi ortonormali, formula per il prodotto scalare e per la norma in coordinate rispetto ad una base ortogonale, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (con dimostrazione). Ortogonale a un sottospazio vettoriale W di V e sua dimensione (fissando coordinate in V e una base di W si ricavano k equazioni omogenee che definiscono l'ortogonale a W). Calcolo del sottospazio ortogonale a W con Gram-Schmidt. Le soluzioni di un sistema omogeneo come supplementare ortogonale dello spazio generato dalle righe della matrice dei coefficienti. W coincide con lo spazio ortogonale allo spazio ortogonale a W (semplice applicazione di Grassmann). Fissando una base del sottospazio ortogonale a W si ricavano n-k equazioni omogenee che definiscono W stesso. Si era anche visto come ottenere n-k equazione omogenee che definiscono W utilizzando il teorema dei minori orlati, metodo piu' elegante. Applicazioni lineari: definizione ed esempi, prime proprieta'. Nucleo ed immagine sono sottospazi vettoriali, L lineare trasforma vettori l.d. in vettori l.d. Nel caso finito in cui il dominio e' finitamente generato, una tale L trasforma una base del dominio in generatori dell'immagine. Inoltre L e' iniettiva se e solo se il nucleo e' banale. Se L e' iniettiva trasforma vettori l.i. in vettori l.i. Caso dell'applicazione lineare LA tra spazi di vettori numerici definita da una matrice A di ordine mxn: l'immagine e' generata dalle colonne di A e quindi ha dimensione uguale al rango rk(A) di A. Il nucleo coincide con l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo la cui matrice dei coefficienti e' A, e dunque ha dimensione n-rk(A). Teorema della dimensione, sue conseguenze e sua interpretazione geometrica. Definizione di isomorfismo. Isomorfismi tra spazi vettoriali: nel caso di V e W di dimensione finita e uguale, per essere un isomorfismo e' sufficiente la sola iniettivita', oppure la sola suriettivita'.

Greco-Valabrega Vol I: capitolo VII.
Esercizi 6, 7, 8
Esercizi svolti 9, 10


NONA SETTIMANA, 29 aprile - 3 maggio 2024. Sviluppo di Laplace per righe e per colonne. Formula di Cramer per l'inversa (di una matrice quadrata invertibile). Risoluzione di sistemi lineari quadrati di rango massimo: teorema di Cramer. Risoluzione di sistemi lineari arbitrari compatibili con il metodo di Cramer. Esercizio: calcolare il determinante della matrice le cui entrate sono i complementi algebrici. Calcolo del rango in termini dei minori non nulli (dimostrato). Il principio dei minori orlati (senza dimostrazione). Come ottenere equazioni omogenee di un sottospazio vettoriale (di uno s.v. finitamente generato) utilizzando il teorema dei minori orlati. Dato un s.s.v. W dello spazio euclideo standard di dimensione n, il sottospazio vettoriale W ⟂ ortogonale a W, non solo e' in somma diretta con W ma e' un supplementare (dimostrato). Quindi W e W ⟂ sono uno supplementare dell'altro.

Appunti 6
Esercizi 11
Esercizi svolti 11


OTTAVA SETTIMANA, 22-23 aprile 2024. Inversa a destra di una matrice quadrata. Determinazione e unicita' dell'inversa a destra di una matrice quadrata invertibile (ovvero di rango massimo): il metodo di Gauss-Jordan. Anche l'inversa a sinistra esiste se e solo se il rango e' massimo. L'inversa a sinistra coincide con quella a destra, dunque non c'e' bisogno di specificare. Proprieta' delle trasposte di matici mxn e delle inverse di matrici quadrate. Il determinante come unica funzione multilineare alternante sulle righe normalizzata da | In|=1. |A| e' non nullo se e solo se il rango di A e' massimo, calcolo del determinante col metodo di Gauss, determinanti di matrici triangolari inferiori e superiori. Il gruppo simmetrico Sn: formula per il calcolo del determinante in termini delle sue entrate (usando le permutazioni). Regola di Sarrus per matrici 3x3, che non vale sulle 4x4, 5x5, 6x6 . . . . det(A) = det(trasposta di A). Il determinante e' anche l'unica applicazione multilineare alternante sulle sulle colonne tale che det( In)=1. Teorema di Binet (senza dimostrazione) e sua riformulazione sul gruppo delle matrici quadrate invertibili. det( A-1)=1/det(A). Circonferenze di R2 e rette a loro tangenti. Sfere di R3 e piani a loro tangenti. Le circonferenze di R3 come intersezione di una sfera con un piano: calcolo del raggio.

Greco-Valabrega Vol I: VIII 1, VIII 2
Esercizi svolti 1, 7 e 8, Greco-Valabrega Vol I: V.9


SETTIMA SETTIMANA, 15-19 aprile 2024. La trasposta di una matrice, matrici quadrate; diagonali, triangolari superiori, triangolari inferiori, simmetriche e anti-simmetriche. Matrici ridotte, ridotte e a scala, a scala fortemente ridotte. Il metodo di riduzione di Gauss. Ottenere basi a partire da un insieme di generatori utilizzando il metotdo di Gauss: il caso di Rn e il caso generale. Prodotto tra matrici, proprieta' (non-commutativita`, associativita`, distributivita`, la matrice identica), esempi, il caso delle matrici quadrate. Sistemi di equazioni lineari, in notazione compatta AX = B, teorema di Rouche'-Capelli. Sistemi lineari omogenei: l'insieme delle soluzioni e' un sottospazio vettoriale di dimension n-rk(A). Sistemi equivalenti e operazioni elementari. Risoluzione di sistemi ridotti e metodo di riduzione di un sistema con Gauss-Jordan. Basi di sottospazi vettoriali (somma, intersezione) tramite il metodo di riduzione di Gauss. Sistemi lineari compatibili AX=B: soluzioni = soluzione particolare + soluzioni di AX=O, ovvero sottospazio affine. Sistemi lineari omogenei: determinazione di una base dello spazio delle soluzioni. Discussione delle posizioni reciproche in R3 di due piani, un piano e una retta, due rette, studiando il sistema delle equazioni cartesiane tramite Rouche'-Capelli. Piani tra loro ortogonali in E3.

Greco-Valabrega Vol I: V.1-V.3, V.3.5, V.4.5
Greco-Valabrega Vol I: V.5, V.6, V.8
Appunti 1, 6
Esercizi 5bis
Esercizi svolti 1


SESTA SETTIMANA, 8-12 aprile 2024. Piani e rette ortogonali tra di loro. Fascio proprio di piani in R3. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Somma diretta di sottospazi vettoriali e loro dimensione, l'ortogonale W ad un sottospazio vettoriale U e' un supplementare di U? Caso di U sottospazio vettoriale di R3: U e' l'ortogonale al suo ortogonale W. Vale l'analogo risultato in dimensione maggiore. Formula di Grassmann vettoriale: conseguenze ed esempi, somma diretta: nel caso di due sottospazi vettoriali equivale ad essere l'intersezione banale. Distanza di un piano da: un punto, una retta a lui parallela, un piano a lui parallelo: formula in termini delle coordinate del punto e dell'equazione del piano. Distanza di una retta da: un punto, una retta a lei parallela. Distanza tra due rette sghembe. Lo spazio vettoriale delle matrici. Il rango per righe e' uguale a quello per colonne (per ora senza dimostrazione) rango delle matrici ridotte, trasformazioni elementari. Metodo di riduzione di Gauss.

Greco-Valabrega Vol I: II.1.4, II.1.5, II.5, II.6, IV.1-IV.3, V.1-V.3, V.3.5, V.4.5, V.9 esercizi di fine capitolo IV.5.1-IV.5.2
Esercizi svolti 6


QUINTA SETTIMANA, 4-4 aprile 2024. Regola della mano destra/sinistra in riferimenti destrorsi/sinistrorsi. Dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane di un piano in R3 e viceversa. Il determinante di una matrice 3x3 visto come prodotto misto, calcolo del volume di un parallelepipedo in R3. Equazioni di un fascio improprio di piani in R3. Determinazione di equazioni lineari omogenee per la giacitura di una retta. Equazioni cartesiane di una retta: dalle parametriche alle cartesiane e dalle cartesiane alle parametriche R3.

QUARTA SETTIMANA, 25-29 marzo 2024. Lemma di Steinitz e sue conseguenze; dimensione di uno spazio vettoriale. Proprieta' delle basi e dimensione di sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale finitamente generato. Piano per un punto con giacitura fissata, equazioni parametriche, piano per tre punti non allineati, piano contente una retta ed un punto che non le appartiene, Piano contenente due rette parallele distinte, Parallelismo tra piani e rette, lo spazio delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea non nulla in tre incognite, prodotto vettoriale in R3 e le sue proprieta': area di parallelogrammi.

Greco-Valabrega Vol I: II.4.1-II.4.3, II.7.1-7.3, III.6.1-6.3, III.8.2
Appunti 5, Esercizi di fine capitolo
Esercizi 5

TERZA SETTIMANA, 18-22 marzo 2024. Equazioni cartesiane della retta: vettori normali alla giacitura, Determinante di una matrice 2x2. Dalle equazioni cartesiane alle parametriche. Distanza di un punto da una retta. Spazi e sottospazi vettoriali, sottospazio generato da un numero finito di vettori. Insiemi di vettori linearmente indipendenti e insiemi di vettori linearmente dipendenti. Esempi ed esercizi. Un numero finito di vettori non nulli a due a due ortogonali sono linearmente indipendenti. Basi di uno spazio vettoriale finitamente generato. Metodo degli scarti successivi.

Esercizi 2: 1-5 Appunti 3, pag. 1-6: Esercizi di fine capitolo (da 2.B a 2.J)
Greco-Valabrega Vol I: III.2, III.3, III.4, III.5, Prop. 6.1, esercizi di fine capitolo
Greco-Valabrega Vol I: II.3, II.4
Apostol Sez. 2.6, 2.7, 2.9, 2.10, 2.12
Apostol esercizi sez. 2.8, sez. 2.11 1-5, sez. 2.14 1-3
Appunti 4., pag. 1-6; Esercizi di fine capitolo
Esercizi 3
Esercizi 4

SECONDA SETTIMANA, 11-15 marzo 2024. Norma di un vettore. Distanza tra due punti. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Ortogonalita' e identita' pitagorica. Angolo fra due vettori: determinazione dell'arccos. Proiezione di un vettore lungo una direzione e sua lunghezza. Ortogonalizzazione di un vettore rispetto ad un'altro non parallelo. Aree di triangoli e di parallelogrammi: il caso di R2 e il determinante di una matrice 2x2. Il sottospazio vettoriale generato da un vettore non nullo di Rn. Retta per un punto parallela ad un vettore direttore, la sua giacitura, equazioni parametriche. Indipendenza dal punto base e dal vettore direttore scelto. Retta per due punti. Il caso di R2: equazioni cartesiane della retta: usiamo un vettore normale alla giacitura.

Esercizi 1 Appunti 1, pag. 1-5;
Appunti 2, pag. 1-10; Esercizi di fine capitolo
Greco-Valabrega Vol I: II.1-II.3, III.1, III.2 (escluso Thm. 2.4)
Esercizi 2: 1-5
Appunti 3, pag. 1-6: Esercizi di fine capitolo (da 2.B a 2.J)
Greco-Valabrega Vol I: III.2, III.3, III.4, III.5, Prop. 6.1, esercizi di fine capitolo

PRIMA SETTIMANA, 4-8 marzo 2024. La nozione di gruppo. Classici esempi di gruppi abeliani. I gruppi di permutazioni: scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, prodotto di cicli. La nozione di campo: il campo dei razionali, dei reali e dei numeri complessi. Coniugio, modulo e inverso di un numero complesso non nullo. Teorema fondamentale dell'algebra (solo enunciato), campi finiti di ordine p, con p primo. Lo spazio vettoriale Kn delle ennuple ordinate a coefficienti/componenti/entrate nel campo K. Vettori applicati nello spazio, equipollenza tra vettori applicati: stessa direzione, stesso verso, stessa lunghezza. I vettori geometrici sono in biezione con Kn. Somma e differenza di vettori geometrici, prodotto di un vettore per uno scalare: proprieta' e interpretazione geometrica, la regola del parallelogramma. Il prodotto scalare standard in Rn e sue proprieta'.



LINEE GUIDA PER GLI SCRITTI

L'esame consiste di un compito scritto e di una prova orale, alla quale si e' ammessi solo se il compito e' sufficiente (almeno 18/30).
Il compito scritto verte sul programma svolto a lezione durante le settimane di corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sopra.
Gli esercizi assegnati settimanalmente e gli esercizi svolti a lezione fanno parte integrante del programma.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi.
Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni brevi ma complete.
Presentarsi con un documento di riconoscimento.
Non e' consentito uscire durante gli scritti.
Non sono consentiti libri, appunti.
Non sono consentiti strumenti di tipo on/off (calcolatrici, cellulari, tablets, orologi spaziali . . .).