Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale, Elettronica e Internet
Secondo semestre, a.a. 2022/2023

Diario delle lezioni del corso di Geometria/Geometria e Algebra

Programma definitivo html

QUINDICESIMA SETTIMANA, 12-16 giugno 2023. I sottospazi ortogonali agli autovettori, o piu' in generale a sottospazi vettoriali invarianti per l'isometria, sono anch'essi invarianti. Utile per scomporre in sottospazi invarianti rispetto all'isometria lo spazio euclideo (V,< , >). Le isometrie di R3 con det 1 (dirette o movimenti rigidi) sono rotazioni intorno ad un asse,le isometrie di R3 con det -1 (non dirette) sono rotazioni intorno ad un asse composte con una riflessione ortogonale rispetto al piano ortogonale a tale asse. Dunque esiste una particolare base rispetto alla quale si rappresentano con matrici dalla forma "elementare". Per trovarla si parte da un autovettore (che esiste perche' 3 e' dispari). Rispetto ad altre basi, inclusa quella canonica, non e' detto che le matrici rappresentative abbiano un aspetto accattivante. Le riflessioni ortogonali rispetto ad un sottospazio sono isometrie, cosi' come le permutazioni segnate delle coordinate (che non sono in generale diagonalizzabili). Le proiezioni su un sottospazio W finito dimensionale di V di dimensione non necessariamente finita: definizione e proprieta'. La proiezione di v e' il vettore di W "piu' vicino" a v. Gli operatori autoaggiunti/simmetrici sono tali se e solo se sono rappresentati rispetto ad una base ortonormale da una matrice simmetrica, il teorema spettrale per operatori simmetrici (dimostrazione per n=2 e n=3) e sua conseguenza: una matrice e' simmetrica se e solo se si diagonalizza tramite una matrice ortogonale: si usa che le matrici del cambiamento di base tra due basi ortonormali risultano essere proprio quelle ortogonali.

Greco-Valabrega Vol I: capitolo VIII.1-VIII.5.7.
Esercizi 13
Esercizi svolti 14
Il luogo degli zeri Z di una funzione f di Rn e il suo trasformato F(Z) tramite una biezione F:Rn -> Rn; l'insieme F(Z) e' il luogo degli zeri di f∘F-1. Le coniche euclidee, la forma canonica del polinomio di secondo grado che le definisce si ottiene (sintetizzando) diagonalizzando la parte quadratica ed eliminando quanti piu' termini lineari possibili (nel caso delle coniche o uno o entrambi), classificazione euclidea di tutte le coniche euclidee (senza ripetizioni).
Classificazione delle coniche euclidee:
Coniche: matrice completa della conica e determinazione del tipo di conica tramite gli invarianti.

Se siete interessati alle quadriche (non discusse a lezione): Appunti 10 Esercizi 14, 15: 1, 2, 3a,b,c,d,g, 4, 5

QUATTORDICESIMA SETTIMANA, 5-9 giugno 2023: Autospazi distinti sono in somma diretta. Un endomorfismo su V (una matrice quadrata) e' diagonalizzabile solo se la somma (diretta) degli autospazi coincide con V. Una matrice diagonalizzante si ottiene mettendo gli autovettori che formano una base in colonna. Il caso delle riflessioni e delle rotazioni. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico e sono al piu' n=dim V. Se ci sono n radici distinte, allora f e' diagonalizzabile. Radici di polinomi a coefficienti in un campo: i casi di C, R . Teorema fondamentale dell'algebra, lemma di divisione, fattori irriducibili in R e C, per K=R esiste una radice se n e' dispari.

Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. Un endomorfismo (una matrice quadrata) e' diagonalizzabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico sono nel campo K e le molteplicita' algebriche coincidono con quelle geometriche. Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico, lo stesso determinante, la stessa traccia (ma non viceversa). I coefficienti del polinimo caratteristico: la traccia e il determinante di T sono ben definite e coincidono, rispettivamente, con la somma e il prodotto di tutte le radici, c_0 = det(f) e c_{n-1} =(-1)^{n-1} tr(f), ad esempio per n = 2 il polinomio coaratteristico e' dato da x^2 -tr(f)x+ det(f). Il gruppo delle isometrie di uno spazio euclideo. Esempio: le traslazioni. Le isometrie che fissano l'origine sono lineari e appresentate, rispetto ad una base ortonormale, da matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale O(n, R). Proprieta' delle matrici ortogonali, caratterizzazione in termini delle righe/colonne. I possibili autovalori reali (vedremo poi quelli complessi) di una matrice ortogonale (di un isometria lineare) sono +1 oppure -1. Le rotazioni attorno all'origine sono isometrie di R2 con det = 1 (isometrie dirette). Le isometrie non dirette sono ribaltamenti rispetto ad un asse (sottospazio di dim 1).

PROVE SCRITTE DI ANNI PASSATI

I appello pdf. II appello pdf. III appello pdf. IV appello pdf. V appello pdf. VI appello pdf

Greco-Valabrega Vol I: VI.6-VI.9
Appunti 7
Esercizi 11, 12
Esercizi svolti 12, 13, 14

TREDICESIMA SETTIMANA, 29 giugno-1 giugno 2023. Isomorfismi tra spazi vettoriali: condizioni equivalenti nel caso di V e W dimensione finita uguale. La restrizione di un'applicazione lineare ad un sottospazio vettoriale definisce un'applicazione lineare, esistenza ed unicita' di un'applicazione lineare di cui si sono scelte arbitrarie immagini degli elementi di una fissata base del dominio. Estensioni lineari di applicazioni lineari, la matrice che rappresenta un'applicazione lineare rispetto a due basi fissate, una nel dominio e l'altra nel condominio. Esempi. Iniettivita' e suriettivita' di un'applicazione lineare f: V -> W in termini di una matrice A che la rappresenta: f e' iniettiva se e solo se il rango di A coincide con la dimensione di V, f e' suriettiva se e solo se il rango di A coincide con la dimensione di W. La proiezione su W lungo un sottospazio complementare U, la proiezione ortogonale. La riflessione rispetto ad un sottospazio W lungo un sottospazio complementare U, la riflessione ortogonale. L'isomorfismo di spazi vettoriali tra Hom(V,W) e Mm,n(K) La matrice associata alla composizione di applicazioni lineari, il caso degli isomorfismi lineari, endomorfismi di uno spazio vettoriale, l'inverso di un' isomorfismo f e' determinato dall'inversa della matrice che rappresenta f. La matrice del cambio di coordinate. Esempi. La similitudine fra matrici. Cambiando coordinate le matrici che rappresentano un endomorfismo variano per similitudine, due matrici qudrate sono simili se e solo se rappresentano uno stesso endomorfismo. Matrici diagonalizzabili. Autovalori, autovettori, autospazi. Un endomorfismo e' diagonalizzabile se e solo ammette una base di autovettori.

Greco-Valabrega Vol I: VI.1-VI.5 (occhio alla differente notazione della matrice che rappresenta un'applicazione lineare rispetto a delle basi scelte)
Greco-Valabrega Vol I: capitolo VII.
Esercizi 9, 10
Esercizi svolti 12

Dodicesima settimana, 22-26 maggio 2023. Ortogonale a un sottospazio e la sua dimensione (con dimostrazione). Calcolo dell'ortogonale con sistema di equazioni e con Gram-Schmidt (non serve completare a base, ma basta generare tutto lo spazio). Le soluzioni di un sistema omogeneo come complemento ortogonale dello spazio generato dalle righe della matrice dei coefficienti e calcolo tramite Gram-Schmidt. W coincide con lo spazio ortogonale allo spazio ortogonale a W. Determinazione di equazioni omogenee che definiscono un sottospazio vettoriale assegnato tramite il calcolo dell'ortogonale oppure con minori orlati. Applicazioni lineari: definizione ed esempi, prime proprieta'. Nucleo ed immagine come sottospazi, f lineare trasforma generatori del dominio in generatori dell'immagine e manda vettori l.d in vettori l.d. f iniettiva se e solo se il nucleo e' banale, f iniettiva trasforma insiemi di vettori l.i. in vettori l.i. Caso dell'applicazione lineare tra spazi di vettori numerici definita da una matrice A, teorema della dimensione e sue conseguenze. Definizione di Isomorfismo e gli isomorfismi conservano la dimensione.

Greco-Valabrega Vol I: capitolo VII.
Esercizi 8
Esercizi svolti 9, 10


UNDICESIMA SETTIMANA, 15-19 maggio 2023. Determinante della matrice dei complementi algebrici. Il determinante in dimensione 2 e 3 come area e volume. Calcolo del rango in termini dei minori non nulli (dimostrato). Il principio dei minori orlati (senza dimostrazione). Spazi vettoriali euclidei (spazi metrici). Prodotto scalare, norma e loro proprieta`; angoli, ortogonalita`, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare. Esempio dello spazio metrico delle funzioni continue e prodotto scalare su esso. Basi ortogonali e basi ortonormali, un insieme di vettori ortogonali non รจ linearmente indipendente solo se non contiene il vettore nullo (con dimostrazione), formula per le coordinate di un vettore rispetto ad una base ortogonale tramite proiezioni, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (con dimostrazione).

Esercizi 6, 7


Decima settimana, 8-12 maggio 2023. Inversa sinistra (se e solo se destra) di matrici quadrate. Proprieta' della trasposizione. Il determinante come unica funzione multilineare alternante sulle righe normalizzata da |I_n|=1. |A| e' non nullo se e solo se il rango di A e' massimo, determinanti di matrici triangolari, il gruppo simmetrico Sn: formula per il calcolo del determinante usando le permutazioni. Regola di Sarrus per matrici 3x3, che non vale sulle 4x4. det(A) = det(trasposta di A), dunque il determinante e' multilineare alternante sia sulle righe che sulle colonne. Sviluppo di Laplace (idea di dimostrazione) per righe e per colonne. Teorema di Binet. Formula di Cramer per l'inversa di una matrice invertibile. Risoluzione di sistemi lineari quadrati di rango massimo: teorema di Cramer. Risoluzione di sistemi lineari arbitrari compatibili con il metodo dell'inversa.

Appunti 6
Esercizi 11
Esercizi svolti 11


Nona settimana, 2-5 maggio 2023. Sistemi equivalenti e operazioni elementari. Risoluzione di sistemi ridotti e metodo di riduzione di Gauss. Matrici a scala e fortemente ridotte. Risoluzione di un sistema con Gauss-Jordan. Basi di sottospazi vettoriali (somma, intersezione) tramite il metodo di riduzione di Gauss. Sistemi lineari compatibili AX=B: soluzioni = soluzione particolare + soluzioni di AX=O, ovvero sottospazio affine. Sistemi lineari omogenei: determinazione di una base dello spazio delle soluzioni. Discussione delle posizioni reciproche di due piani, un piano e una retta, due rette, studiando il sistema delle equazioni cartesiane tramite Rouche'-Capelli. Inversa a destra di una matrice quadrata di rango massimo. Determinazione e unicita' dell'inversa a destra di una matrice quadrata invertibile di rango massimo: il metodo di Gauss-Jordan. L'inversa a sinistra esiste se il rango e' massimo e coincide con quella a destra.

Greco-Valabrega Vol I: VIII 1, VIII 2
Appunti 1, appunti 6 Esercizi svolti 1, 7 e 8, Greco-Valabrega Vol I: V.9


OTTAVA SETTIMANA, 27 aprile 2023: Ottenere basi a partire da un insieme di generatori utilizzando il metotdo di Gauss: il caso di Rn e il caso generale. Prodotto tra matrici, proprieta' (non-commutativita`, associativita`, distributivita`) ed esempi, il caso delle matrici quadrate. Matrice identica, definizione di inversa di una matrice. Sistemi di equazioni lineari, in notazione compatta AX = B, teorema di Rouche'-Capelli. Sistemi lineari omogenei: l'insieme delle soluzioni e' un sottospazio vettoriale.

Greco-Valabrega Vol I: V.5, V.6, V.8
Appunti 6


SETTIMA SETTIMANA, 17-21 aprile 2023: Distanza di un piano da: un punto, una retta a lui parallela, un piano a lui parallelo: formula in termini delle coordinate del punto e dell'equazione del piano. Distanza di una retta da: un punto, una retta a lei parallela. Distanza tra due rette sghembe. Circonferenze di R2 e rette a loro tangenti. Sfere di R3 e piani a loro tangenti. Le circonferenze di R3 come intersezione di una sfera con un piano: calcolo del raggio. Lo spazio vettoriale delle matrici, la trasposta di una matrice, matrici quadrate; diagonali, triangolari superiori, triangolari inferiori, simmetriche e anti-simmetriche. Il rango per righe e' uguale a quello per colonne (per ora senza dimostrazione) rango delle matrici ridotte, trasformazioni elementari. Metodo di riduzione di Gauss. Matrici a scala e fortemente ridotte.

Greco-Valabrega Vol I: V.1-V.3, V.3.5, V.4.5
Appunti 6
Esercizi 5bis
Esercizi svolti 1


SESTA SETTIMANA, 11-14 aprile 2023. Piani e rette ortogonali tra di loro. Lo spazio delle soluzioni di due equazioni lineari omogenee linearmente indipendenti in tre incognite ha dimensione uno, determinazione di un generatore tramite il prodotto vettoriale. Dalle equazioni cartesiane di una retta in R3 alle parametriche. Il determinante di una matrice 3x3 come prodotto misto dei vettori riga, volume dei parallelepipedi in R3. Fascio di piani proprio. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Somma diretta di sottospazi vettoriali e loro dimensione, l'ortogonale W ad un sottospazio vettoriale U e' un supplementare di U? Caso di U sottospazio vettoriale di R3: U e' l'ortogonale al suo ortogonale W. Vale l'analogo risultato in dimensione maggiore. Formula di Grassmann vettoriale: conseguenze ed esempi, somma diretta: nel caso di due sottospazi vettoriali equivale ad essere l'intersezione banale.

Greco-Valabrega Vol I: II.1.4, II.1.5, II.5, II.6, IV.1-IV.3, V.1-V.3, V.3.5, V.4.5, V.9 esercizi di fine capitolo IV.5.1-IV.5.2
Esercizi svolti 6


QUINTA SETTIMANA, 3-7 aprile 2023. Proprieta' delle basi e dimensione di sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale finitamente generato. Piano per un punto con giacitura fissata, equazioni parametriche, piano per tre punti non allineati, piano contente una retta ed un punto che non le appartiene, Piano contenente due rette parallele distinte, Parallelismo tra piani e rette, lo spazio delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea non nulla in tre incognite, prodotto vettoriale in R3 e le sue proprieta': area di parallelogrammi, regola della mano destra/sinistra in riferimenti destrorsi/sinistrorsi. Dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane di un piano in R3 e viceversa, fascio di piani improprio. Il determinante di una matrice 3x3. Detereminazione di equazioni lineari omogenee per la giacitura di una retta. Equazioni cartesiane di una retta: dalle parametriche alle cartesiane.

Greco-Valabrega Vol I: II.4.1-II.4.3, II.7.1-7.3, III.6.1-6.3, III.8.2
Appunti 5, Esercizi di fine capitolo
Esercizi 5


QUARTA SETTIMANA, 27-31 marzo 2023. Spazi e sottospazi vettoriali, sottospazio generato da un numero finito di vettori. Insiemi di vettori linearmente indipendenti e insiemi di vettori linearmente dipendenti. Esempi ed esercizi. Un numero finito di vettori non nulli a due a due ortogonali sono linearmente indipendenti. Basi di uno spazio vettoriale finitamente generato. Metodo degli scarti successivi. Metodo del completamento della base. Lemma di Steinitz e sue conseguenze; dimensione di uno spazio vettoriale.

Greco-Valabrega Vol I: II.3, II.4
Apostol Sez. 2.6, 2.7, 2.9, 2.10, 2.12
Apostol esercizi sez. 2.8, sez. 2.11 1-5, sez. 2.14 1-3
Appunti 4., pag. 1-6; Esercizi di fine capitolo
Esercizi 3
Esercizi 4


TERZA SETTIMANA, 20-24 marzo. Oortogonalizzazione di un vettore rispetto ad un'altro non parallelo. Aree di triangoli e di parallelogrammi: il caso di R2 e il determinante di una matrice 2x2. Il sottospazio vettoriale generato da un vettore non nullo di Rn. Retta per un punto parallela ad un vettore direttore, la sua giacitura, equazioni parametriche. Indipendenza dal punto base e dal vettore direttore scelto. Retta per due punti. Il caso di R2: equazioni cartesiane della retta: vettori normali alla giacitura, determinante di una matrice 2x2. Dalle equazioni cartesiane alle parametriche. Distanza di un punto da una retta.

Esercizi 2: 1-5 Appunti 3, pag. 1-6: Esercizi di fine capitolo (da 2.B a 2.J)
Greco-Valabrega Vol I: III.2, III.3, III.4, III.5, Prop. 6.1, esercizi di fine capitolo

SECONDA SETTIMANA, 7-11 marzo. Lo spazio delle ennuple reali Rn. Vettori applicati nello spazio, vettori geometrici, direzione, verso e lunghezza, somma e differenza di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare: proprieta' e interpretazione geometrica, la regola del parallelogramma. Il prodotto scalare standard in Rn. Norma di un vettore. Distanza tra due punti. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Ortogonalita' e identita' pitagorica. Angolo fra due vettori: determinazione dell'arccos. Proiezione di un vettore lungo una direzione e sua lunghezza.

Esercizi 1 Appunti 1, pag. 1-5;
Appunti 2, pag. 1-10; Esercizi di fine capitolo
Greco-Valabrega Vol I: II.1-II.3, III.1, III.2 (escluso Thm. 2.4)

PRIMA SETTIMANA, 6-10 marzo 2023. La nozione di gruppo. Classici esempi di gruppi abeliani. I gruppi di permutazioni: scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, prodotto di cicli, permutazioni pare e dispari. La nozione di campo: il campo dei razionali, dei reali e dei numeri complessi, coniugio, modulo e inverso di un numero complesso non nullo, teorema fondamentale dell'algebra (solo enunciato), campi finiti di ordine p, con p primo.



LINEE GUIDA PER GLI SCRITTI

L'esame consiste di un compito scritto e di una prova orale, alla quale si e' ammessi solo se il compito e' sufficiente (almeno 18/30).
Il compito scritto verte sul programma svolto a lezione durante le settimane di corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sopra.
Gli esercizi assegnati settimanalmente e gli esercizi svolti a lezione fanno parte integrante del programma.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi.
Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni brevi ma complete.
Presentarsi con un documento di riconoscimento.
Non e' consentito uscire durante gli scritti.
Non sono consentiti libri, appunti.
Non sono consentiti strumenti di tipo on/off (calcolatrici, cellulari, tablets, orologi spaziali . . .).