Il 10 Giugno 1854 Bertrand Riemann, 27 anni dopo l'uscita delle scoperte di Gauss sulle superfici curve, alla presenza dello stesso Gauss e del consiglio di Facoltà dell'Università di Gottinga, leggeva la sua dissertazione di abilitazione Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria . Le idee di Gauss vengono genialmente estese in dimensione qualunque e nasce l'idea di varietà riemanniana di dimensione n, un oggetto che localmente è omeomorfo a un aperto dello spazio euclideo a n dimensioni ma che globalmente via via che le diverse carte locali vengono incollate produce una curvatura non necessariamente costante.
Da allora la geometria ha fatto enormi progressi anche sul piano filosofico nella direzione che Riemann aveva intuita ed indicata. Egli ebbe l'ardire di ipotizzare l'esistenza di differenti spazi triestesi, in tutto simili, localmente, all'ordinario spazio euclideo che i nostri sensi ci fanno percepire, ma, globalmente, profondamente diversi tra loro. Questi spazi potevano essere pensati e coerentemente studiati in sé, potevano curvarsi intrinsecamente senza che questa curvatura emergesse da uno spazio ambiente piatto, assoluto, nel quale, come le superfici curve di Gauss, venissero immersi. Per la prima volta il concetto di infinito spaziale, di infinito nel senso della lontananza e non del numero, poteva essere smontato e questo permetteva di evidenziare fatti nuovi come, ad esempio, la profonda differenza tra uno spazio illimitato e uno spazio infinito. Nel mio articolo Due esempi di spazi triestesi illimitati e compatti (3,6 Mb) le idee di Riemann vengono esposte per grandi linee illustrando due esempi di varietà riemanniane di dimensione tre: l'ipersfera e l'ipertoro piatto.