Università degli Studi di
Roma “Tor Vergata”
Macroarea Scienze MM.FF.
NN.
Corso di Studi in
Matematica (Laurea Triennale)
Corso di Geometria 4 –
II Semestre
Periodo 6 Marzo 2023 - 9 Giugno 2023
Docente Prof. Vincenzo Di Gennaro (digennar[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it)
Codocente Prof. Flaminio Flamini (flamini[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it)
Ciclo di lezioni impartite dal Prof. F. Flamini (10 ore frontali)
Giovedi
9 Marzo / ore 9:00-11:00 / Aula 1 (SOGENE).
Giovedi 16 Marzo / ore
9:00-11:00 / Aula 1 (SOGENE).
Giovedi 23 Marzo / ore
9:00-11:00 / Aula 1 (SOGENE).
Giovedi 30 Marzo / ore
9:00-11:00 / Aula 1 (SOGENE).
Giovedi 6 Aprile / ore
9:00-11:00 / Aula 1 (SOGENE).
Argomenti di massima svolti nel ciclo di 5 lezioni:
Quadriche nello spazio euclideo IE^3. Invarianti metrici ed
affini. Forme canoniche metriche ed affini delle quadriche. Studio della
geometria delle forme canoniche metriche (supporti, rigature, sezioni piane e
sezioni tangenziali, ecc). Classificazione di una
quadrica. Riduzione a forma canonica metrica e a forma canonica affine di una
quadrica. Esercizi
Materiale Didattico Utilizzato:
Capitolo 13 del testo “Matrici e Vettori”, Flamini-Verra, Carocci Editore, integrato con videolezioni
2021/2022 del Prof. Vincenzo Di Gennaro
Ricevimento studenti Prof. Flamini
Su appuntamento via Teams
(Dipartimento Matematica, Piano 1, Dente 1)
Programma sintetico del corso Geometria 4 guardare su:
1) pagina web del Docente Responsabile del Corso
(Prof. V. Di Gennaro)
2) canale Teams del corso
3) Guida dello Studente, al corso Geometria
4
Materiale Didattico Teoria ed Esercizi guardare
su:
1) pagina web del Docente Responsabile del Corso (Prof.
V. Di Gennaro)
2) canale Teams del corso
3) Guida dello Studente, al corso Geometria
4
Modalità di Esame/Frequenza/Obiettivi Didattici guardare
su:
1) pagina web del Docente Responsabile del Corso
(Prof. V. Di Gennaro)
2) canale Teams del corso
3) Guida dello Studente, al corso Geometria
4
Diario Argomenti Svolti nelle lezioni del Prof. Flamini
(anche sul canale TEAMS del Prof. Di Gennaro)
·
Giovedi 9 Marzo:
*Classi di proporzionalità di polinomi di secondo grado in
IR[x_1, x_2, x_3]. Quadriche di IE^3: equazioni cartesiane e supporti
*Forma quadratica di una quadrica, parte lineare di una quadrica
e termine noto di una quadrica. Matrice simmetrica completa associata ad una
quadrica ed equazione cartesiana matriciale. Matrice di Gram di una quadrica.
*Isometrie ed affinità di IE^3: matrice completa di un’isometria
o di un’affinità
*Quadriche isometriche od affinemente equivalenti.
*Proprietà metriche ed affini di una quadrica, i.e. invarianti metrici ed affini di una quadrica:
(1)
Il rango di una quadrica è un invariante metrico (equiv.
affine): quadriche generali, semplicemente degeneri, doppiamente degeneri
e triplamente degeneri
(2)
Il segno del determinante della
matrice completa di una quadrica è invariante metrico (equiv.
affine)
(3)
Il rango della forma quadratica
di una quadrica è invariante metrico (equiv. affine).
Quadriche generali: paraboloidi o quadriche a centro
(ellissoidi od iperboloidi). Quadriche
semplicemente degeneri: coni o cilindri
*Definizione di forma canonica metrica o forma
canonica affine di una quadrica
*Punti singolari e punti semplici (o
non-singolari o lisci)
di una quadrica a supporto non vuoto.
* Piano tangente in un punto semplice di una
quadrica: definizione.
*Esempi
·
Giovedi 16 Marzo:
*Definizione di piano tangente in un punto
semplice di una quadrica: motivazioni.
* L’intersezione di una quadrica con il piano tangente in un suo
punto liscio fornisce sempre una conica degenere contenuta nel piano tangente
nel punto semplice.
*Ellissoide (generale) a punti reali:
calcolo degli invarianti. Studio della geometria del supporto della forma
canonica metrica (centro di simmetria, assi di simmetria, piani di simmetria,
condizioni affinchè possa essere rotondo rispetto ad
uno degli assi fondamentali, ecc). Forma canonica
affine. Sezioni piane tangenziali
*Ellissoide (generale) immaginario:
calcolo degli invarianti. Forma canonica metrica e forma canonica affine.
*Iperboloide (generale) ad una falda od
iperbolico:
calcolo degli invarianti. Studio della geometria del supporto della forma
canonica metrica (centro di simmetria, assi di simmetria, piani di simmetria,
condizioni affinchè possa essere rotondo rispetto ad
uno degli assi fondamentali, ecc). Forma canonica affine.
Sezioni piane tangenziali
·
Giovedi 23 Marzo:
*Iperboloide (generale) ad una falda od iperbolico:
E’ doppiamente rigato (i.e. contiene due schiere di rette). Rette
di una stessa schiera sono sghembe mentre rette di schiere diverse si incidono.
Per ogni punto della quadrica passa una retta della prima schiera ed una della
seconda schiera.
*Paraboloide (generale) ellittico:
calcolo degli invarianti. Studio della geometria del supporto della forma
canonica metrica (vertice, asse di simmetria, piani di simmetria, condizioni affinchè possa essere rotondo rispetto all’asse di
simmetria, ecc). Forma canonica affine. Sezioni piane
tangenziali
*Paraboloide (generale) iperbolico o a sella:
calcolo degli invarianti. Studio della geometria del supporto della forma
canonica metrica (centro di simmetria, assi di simmetria, piani di simmetria).
Non è mai rotondo. E’ doppiamente rigato (i.e. contiene due
schiere di rette). Rette di una stessa schiera sono sghembe mentre rette di
schiere diverse si incidono. Per ogni punto della quadrica passa una retta
della prima schiera ed una della seconda schiera. Forma canonica affine.
Sezioni piane tangenziali
*Cono (semplicemente degenere)
puntiforme:
calcolo degli invarianti. Il supporto coincide con l’origine che e’ punto singolare del cono.
* Cono (semplicemente degenere) a punti reali:
calcolo degli invarianti. Studio della geometria del supporto della forma
canonica metrica (centro di simmetria, assi di simmetria, piani di simmetria).
Condizione affinchè sia rotondo rotondo.
E’ rigato (i.e. contiene una schiera di rette). Generatrici del
cono. Direttrici del cono. Sezioni piane tangenziali: il piano tangente è
costante lungo ciascuna generatrice e la generatrice e’
sezione tangenziale (parabola doppiamente degenere). Forma canonica affine.
·
Giovedi 30 Marzo:
*Cilindro (semplicemente degenere) a punti immaginari:
calcolo degli invarianti. Il supporto e’ vuoto. Forma
canonica affine.
* Cilindri (semplicemente degeneri) a punti reali Ellittico,
Parabolico ed Iperbolico: calcolo degli
invarianti. Studio della geometria del supporto della forma canonica metrica
(centro di simmetria, assi di simmetria, piani di simmetria). Condizione affinchè un cilindro possa essere rotondo. Sono rigati
(i.e. contengono una schiera di rette). Generatrici di un cilindro. Direttrici
di un cilindro. Non singolari. Sezioni piane tangenziali: il piano tangente è
costante lungo ciascuna generatrice e la generatrice e’
sezione tangenziale (parabola doppiamente degenere). Forma canonica affine.
* Quadriche doppiamente degeneri: calcolo degli invarianti. Coppie di piani
incidenti o complessi e coniugati oppure reali. Coppie di piani complessi
paralleli o coppie di piani reali paralleli. Singolarità.
* Quadriche triplamente degenere:
piano doppio. Tutti i punti sono singolari.
* Richiami, come nel caso delle coniche, per la riduzione a
forma canonica metrica di una quadrica: utilizzo del Teorema spettrale degli
operatori autoaggiunti per diagonalizzare
la matrice di Gram della quadrica, per poi applicare opportune traslazioni per
ridurre a forma canonica metrica. Riduzione a forma canonica affine: applicare
Sylvester alla forma quadratica della forma quadratica della forma canonica
metrica
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Giovedi 6 Aprile:
Svolgimento di esercizi di riepilogo su quadriche in IE^3: testi e svolgimenti