spesa(X) = 2520

in questo contesto, è quindi di primo grado e possiamo risolverla col metodo della falsa posizione. Se il prezzo X del feltro fosse ad esempio 24 ducati (la falsa posizione, il "bastone", quello che ti pare come dice Tartaglia) avremmo come spesa complessiva:

24x6 = 144 ducati per il feltro,
(24x3)x8 = 72x8 = 576 ducati per il panno di Bologna
(72+36) x12 = 108 x12 = 1296 ducati per il panno scarlatto
la spesa totale sarebbe dunque 2016 ducati

spesa(24) = 2016

e allora

X : 24 = 2520 : 2016

Il rapporto tra il costo del feltro e 24 é lo stesso del rapporto tra 2520 e 2016. Poiché 2520 é un po’ più grande di 2016 possiamo dire che il feltro sará un po’ più caro di 24 ducati. Per vedere di quanto é più caro dobbiamo studiare il rapporto 2520:2016 confrontando meglio i due numeri:
2016 entra una volta sola in 2520 con resto 504
504 entra in 2016 esattamente 4 volte quindi
2520 é uguale a 2016 più 1/4 di 2016 analogamente
X é ugunale a 24 più un quarto di 24 cioé

X=30 ducati.

Naturalmente X poteva calcolarsi direttamente usando la regola delle tre cose, come veniva chiamata nelle scuole d'abbaco rinascimentali, che permetteva, note tre cose, di calcolare il quarto proporzionale:

Nel nostro caso dunque la soluzione diventa

La trattazione "moderna" avrebbe impostato il problema cercando prima di tutto di esplicitare l’operatore lineare spesa(X) = kX calcolando la costante k, per poi applicare la "formula risolutiva".

Per calcolare k si opera su una "incognita" X (la cosa come diranno gli arabi o il tanto come dirà Bombelli) trattandola come un numero, con tutte le regole che si usano sui numeri, ma senza attribuirle il "falso" valore 24 come abbiamo fatto prima. Si otterrebbe quindi, usando ora le tecniche del calcolo letterale:

Xx6 = 6X ducati per il feltro,
(Xx3)x8 = Xx24 = 24X ducati per il panno di Bologna
(1+ 1/2) x3X x12= 54X ducati per il panno scarlatto
la spesa totale sarebbe dunque 6X + 24 X + 54X

spesa(X) = 84X

l’operatore spesa(X) consiste nel moltiplicare X per 84. Dunque il costo del feltro sará 2520/84 ducati cioé 30 ducati.

Quest'altro problema è preso dallo stesso trattato di Tartaglia

Problema 74 Uno signor si è intorno a una rocca e perche l'ha avuto per spia, ch'ella è molto ben fornita, si che volendola aver per assedio vi starebbe troppo tempo attorno, e però questo signore manda a chiamare duoi picca predi, dei quali duoi uno ne venne prima e il signor gli disse và guardar quella rocca e sappime dir in quanto tempo tu la caverai, costui và e fa suo conto, ch'ella è longa braccia 120 e che lui la cavarà in giorni 40, infra questo mezo venne l'altro picca preda, il signor gli disse quello che avea ancor detto all'altro, costui và anchora lui e considera molto bene la grossezza e la longhezza della detta rocca e fa suo conto che ogni 6 giorni ne caverà braccia 15 e mezzo, così riferisse al signor. All'hora il signor gli disse à tutti duoi, andate, e lavorate tutti duoi insieme secondo gli oblighi fatti, in quanti giorni gli cavarà la detta rocca.

Il problema si riduce a questo:
Abbiamo la muraglia di una fortezza che è larga 120 braccia,
un primo cavatore che buca l'intera muraglia in 40 giorni
un secondo cavatore che buca 15 braccia e mezzo in 6 giorni
Lavorando insieme quanto tempo ci vuole a bucare tutta la muraglia?

Se X sono i giorni di lavoro scavo(X) è la lunghezza dello scavo che si è riusciti a realizzare in X giorni. L'operatore si assume lineare. In questo caso la cosa è dubbia e può essere interessante, dal punto di vista didattico, una discussione su questa ipotesi in un qualche modo assunta per poter risolvere, almeno in prima approssimazione, il problema. Il primo cavatore buca 3 braccia al giorno, il secondo 31 in 12, dunque

scavo(12) = 31 + 36 = 67.

Per la linearità dell'operatore

X : 12 = 120 : 67 ecc.

Concludiamo questa rassegna con questo strano problema

Problema 134 Uno cittadino ha un solo capretto, e se ne vuol donare uno per uno al padre, e uno al figliuolo dimando come fara.

Questa attitudine al calcolo coi radicali piuttosto consolidata all’epoca, consentiva a Bombelli di fare un passo in avanti fondamentale e molto ardito, quello di considerare anche espressioni del tipo operando su queste espressioni, che hanno perduto il loro contenuto numerico ma che conservano quello simbolico, in modo formale come veniva fatto per i binomi irrazionali. Ovviamente nel fare i calcoli si dovrà continuare a usare le solite proprietà dell’aritmetica tenendo conto della regola

che Bombelli esprime a parole dicendo:

più di meno via più di meno fa meno.

Più di meno è il modo, lungamente pensato, sofferto col quale Bombelli battezza l'unità immaginaria. I numeri complessi così introdotti, vengono utilizzati per risolvere il così detto caso irriducibile per le equazioni di terzo grado, il caso in cui, nella formula risolutiva di Cardano comparivano delle quantità negative sotto radicale, pur avendo l’equazione una radice reale. Le quantità immaginarie, nel corso del calcolo algebrico, potevano semplificarsi dando alla fine un risultato reale, a volte intero, come soluzione dell’equazione. Malgrado questo successo, l’introduzione dei numeri complessi e la rottura di questa doppia valenza del "numero", quantitativa e formale, a favore di quest’ultima, non fu certo facile. La coerenza dell’aritmetica era fortemente fondata su quella della geometria euclidea che forniva dimostrazioni certe, ma che permetteva di rappresentare solo grandezze numeriche reali e positive. Lo stesso Bombelli esprime una qualche perplessità di fronte a questa sorta di Radice molto frequente nello studio delle equazioni:

...la quale parerà a molti più tosto sofisticata che reale, e tale opinione ho tenuto anch’io, sin che ho trovato la sua dimostrazione in linee ...

ciò che trova Bombelli è in realtà una costruzione geometrica che consente di dimostrare l’esistenza di soluzioni reali per equazioni cubiche di tipo irriducibile, la qual cosa non fuga e non fugherà per molti anni a venire i dubbi sulla legittimità di questi nuovi enti, numeri dotati di una inclinazione, come dirà Sinisgalli ¹.

Dice testualmernte Bombelli

Quando li Tanti saranno uguali al numero partasi il numero per la quantità delli Tanti e quello che ne verrà sarà la valuta di .

L’incognita, cambiando nome, sarà detta da Bombelli il Tanto invece della Cosa, come era nella trdizione precedente di origine araba, e per esso sarà coniato il nuovo simbolo , definendo, come abbiamo detto, il modo di operare con esso.

4X = 20

applicando la formula si ottiene X=5.
Secondo esempio:

16-2X = 8

come prima cosa lievisi il -   e questo si può fare

...per la infallibile propositione: se a cose eguali si aggionge cose eguali le somme saranno eguali et se da cose eguali si lieva cose eguali, li restanti saranno eguali...

aggiungendo 2X (il passo non ovvio perché 2X non è una quantità ma un simbolo) si ottiene

16 = 8 + 2X

bisogna ora sommare i termini simili, della stessa natura,
...habbiamo 8 da una parte e dall’altra 16 che (per essere ambedue numeri) bisogna levare il minore...

resterà allora

2X = 8

e quindi, applicando la regola, si ottiene X=4.

Gli esempi successivi, scritti con la nostra simbologia, sono:

A questo punto Bombelli aggiunge delle dimostrazioni che consentono di "costruire" la soluzione con un metodo geometrico. Non è chiaro se lui reputi o meno necessarie queste dimostrazioni e si accontenti del contesto algebrico:

E benchè questa scientia sia Aritmetica (come la chiamano Diofante Autore Greco e gli Indiani) però non resta che il tutto non si possi provare per figure geometriche (come fa Euclide nel secondo, sesto, decimo). Però volendo che il Lettore resti in tutto soddisfatto mi sono risoluto porre tutte le dimostrazioni dello aguagliare, cioè Capitolo per Capitolo, tanto in linea senza numero quanto in linea composto di numero e questa parte non è men bella che dilettevole...

Pensiamo che, da un punto di vista didattico, sia utile, al di là del problema teorico sui fondamenti dell’algebra, fornire, come fa Bombelli, anche l’approccio geometrico tenendo sempre presente la necessità di far interagire i due aspetti: quello del calcolo algebrico e quello della sua rappresentazione per immagini.
Proponiamo, in questo caso, attraverso l’uso di immagini dinamiche, le due vie indicate da Bombelli tanto in linea senza numero, cioè pensando i coefficienti a, b e l’incognita X come grandezze geometriche, quanto in linea composto di numero cioè pensando ai coefficienti a e b come numeri rappresentati da segmenti che, rispetto a una fissata unità di misura, hanno quella assegnata lunghezza.

Il problema geometrico, che traduce nel suo linguaggio l’equazione aX=b, consiste nel trovare il lato X di un rettangolo che abbia l’altro lato uguale ad un segmento assegnato a e l’area uguale all’area b di un rettangolo pure assegnato. Nella figura animata seguente b è rappresentata dall’area azzurra e a dal segmento nero. Muovendo il bottone rosso possiamo dilatare l'area del rettangolo grigio che ha il lato a fisso. La soluzione X dell'equezione viene determinata quando l'area aX del rettangolo grigio è uguale all'area b assegnata.