Diario settimanale delle lezioni di

Metodi e Modelli

dei Mercati Finanziari

a.a. 2007/2008

PARTE I: OPZIONI EUROPEE E METODI MONTE CARLO

settimana	contenuto lezioni
1	Richiami di calcolo stocastico: integrale di Ito, processi di Ito, formula di Ito, teorema di rappresentazione delle martingale Browniane. [cfr. Baldi, Capitoli 6,7 e 8; Lamberton e Lapeyre, Capitolo 3]
2	Equazioni differenziali stocastiche: teorema di esistenza ed unicità, markovianità della soluzione; il moto browniano geometrico; la formula di Ito per diffusioni. Il modello di Black e Scholes. Stragie autofinanzianti, ammissibili, replicanti. Portafoglio replicabile. Prezzo delle opzioni europee. Le formule di Black e Scholes per il prezzo di opzioni call e put. [cfr. Baldi, Capitoli 6,7 e 8; Lamberton e Lapeyre, Capitolo 3, 4]
3	Equazione alle derivate parziali associata alla funzione-prezzo quando il payoff è funzione del sottostante a maturità e rappresentazione della strategia di copertura. Il modello di Garman-Kohlhagen (opzioni su valuta estera): prezzo e copertura. Opzioni di scambio (introduzione). [cfr. Lamberton e Lapeyre, Capitolo 4; Problemi 2 e 3 al Cap. 4]
4	Opzioni di scambio. Opzioni composte (call su call): prezzo e copertura; copertura tramite titolo non rischioso e call sottostante. Le opzioni asiatiche: formula del prezzo e della copertura. [cfr. Lamberton e Lapeyre, Capitolo 4; Problemi 3, 5, 7 al Cap. 4]
5	Uso delle strategie con consumo. Modelli di diffusione per i mercati finanziari. Strategie autofinanzianti e ammissibili. Misure equivalenti a quella del mercato. [cfr. Lamberton e Lapeyre, Problema 4 al Capitolo 4; Appunti]
6	Misure di martingala equivalenti; arbitraggio; strategie replicanti. Completezza del mercato; equazione alle derivate parziali associata al prezzo di un’opzione europea; le greche di un’opzione europea. Formule di rappresentazione per soluzioni di edp paraboliche in un dominio limitato (problema di Cauchy-Dirichlet): introduzione e risultati preliminari. [cfr. Appunti; Baldi, Cap. 9, Par 1 e 2 (Teor. 9.5 senza dim.)]
7	Formule di rappresentazione per soluzioni di edp paraboliche in un dominio limitato (problema di Cauchy-Dirichlet) e su R^n (problema di Cauchy); formula di Feynman-Kac. Connessioni con la finanza: la funzione prezzo di un’opzione europea con “buon”payoff è soluzione di una edp parabolica, e viceversa. [cfr. Baldi, Cap. 9 Par. 2 e 3; vedere anche Cap. 10] Generalità sui metodi Monte Carlo. Stimatore Monte Carlo della media; intervalli di confidenza. [cfr. Appunti su metodi Monte Carlo in Finanza, Cap. 1]
8 totale: 43 ore	Generazione del moto browniano e del moto browniano geometrico. Calcolo numerico con Monte Carlo del prezzo di opzioni call/put: standard, asiatiche, di scambio. Confronti con la formula esatta o con formule di parità. Calcolo numerico della delta: differenze finite e con metodo Monte Carlo tramite rappresentazione delle derivate in termini di aspettazione. Implementazione e confronto tra i due metodi. Algoritmo per la copertura delle opzioni europee. [cfr. Appunti su metodi Monte Carlo in Finanza, Cap. 2 e Cap. 3]

PARTE II: le ulteriori 13 ore a disposizione del corso seguono un corso di letture su un argomento a scelta tra

· OPZIONI AMERICANE [cfr. Appunti]

· INTRODUZIONE AL CALCOLO DI MALLIAVIN E APPLICAZIONI IN FINANZA [cfr. Appunti: per richiederli inviare un messaggio al docente a caramell@mat.uniroma2.it ]