Geometria 3, a.a. 2019-2020, codice Insegnamento 8066583, corso di Laurea in Matematica
7 CFU, 56 ore di lezione frontale; sono previste due ore settimanali di attivita' tutoriale. Codocente dell'insegnamento e' il Prof. Flaminio Flamini
Insegnamento erogato in modalita' convenzionale
Obiettivi formativi: -Conoscenza e comprensione: apprendere le nozioni di base relative alla topologia generale ed algebrica (spazi topologici, compattezza, connessione, omotopia, gruppo fondamentale, rivestimenti); leggere e comprendere risultati di base relativi a tali argomenti.
-Capacita' di applicare conoscenza e comprensione: saper verificare, utilizzando le definizioni e le relative caratterizzazioni, la continuità delle funzioni tra spazi topologici, gli assiomi di separazione, la compattezza, la connessione, la connessione per archi, l'omotopia, saper determinare il gruppo fondamentale; saper inoltre applicare le nozioni di topologia apprese alla risoluzione di problemi.
-Autonomia di giudizio: saper riconoscere alcune proprietà topologiche e la correttezza di un ragionamento in ambito della topologia, saper costruire esempi e controesempi.
-Abilita' comunicative: esporre e argomentare la soluzione di problemi; essere, inoltre, in grado di discutere e riprodurre correttamente dimostrazioni di risultati di base relativi a spazi topologici, funzioni continue, compattezza, connessione e connessione per archi, azioni di gruppo, rivestimenti.
-Capacita' di apprendere: saper individuare strategie di soluzione e strategie di analisi e dimostrazione in situazioni analoghe a quelle affrontate nel corso
2)Programma: Spazi metrici. Spazi topologici. Funzioni continue tra spazi topologici. Topologia indotta. Topologia quoziente. Azione di gruppo. Spazi prodotto. Spazi compatti. Spazi di Hausdorff. Spazi connessi. Varieta' topologiche. Classificazione delle superfici. Spazi connessi per cammini. Omotopia di funzioni continue. Il gruppo fondamentale. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Spazi di rivestimento. Il gruppo fondamentale di uno spazio di rivestimento. Il gruppo fondamentale di uno spazio di orbite.

Testi di riferimento C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli (consultare anche il sito pagina dell'insegnamento) su Didattica Web e la pagina curata dal Prof. Flamini relativa agli esercizi di tutorato [ sito]


Modalita' di verifica: L'insegnamento prevede una prova scritta propedeutica e una prova orale. Tramite tali prove, sono verificate l'autonomia e la consapevolezza nell'utilizzo delle tecniche apprese, la completezza e la chiarezza espositiva, la capacità di sintesi. Nella prova scritta, lo studente risolve alcuni problemi, applicando e adattando i metodi appresi e motivando la propria strategia risolutiva. Nella prova orale, lo studente illustra e discute alcune definizioni e la dimostrazione di teoremi appresi nell'ambito del corso, oppure espone applicazioni o dimostrazioni relative a situazioni analoghe o collegate a quelle studiate nel corso.

Esito complessivo delle prove parziali: Ciamberlano 23, Federici 24, Fronza insufficiente, Iervese insufficiente, Iovine 22, Lin 25, Lo Vetere ammesso all'orale con 15, Pastorini 26, Pera 22, Tittarelli 20, Tomeo 27, Tortolano 30, Valeri 18. Il superamento del complesso delle prove parziali permette l'esonero dalla prova scritta nella sessione invernale. Chi desidera, puo' svolgere la prova scritta degli appelli anche se ha superato le prove parziali.
Esito della prova scritta del primo appello della sessione estiva anticipata: Caprioli 10, Chialastri 18, Forte 20, Giannatoni 22, Lo Vetere mantiene il voto delle prove di esonero, Proia 17, Ricci 21.
Esito della prova scritta del secondo appello della sessione estiva anticipata: Caprioli 24, Carretta 10, Federici 27, Fronza 22, Iervese 13, Lo Vetere 17, Romoli 10, Simoncelli 23.
Le prove orali del secondo appello si svolgono nelle giornate di giovedi 27 febbraio (mattina), martedi 3 marzo e giovedi 5 marzo.
Gli studenti convocati per il 27 febbraio (ore 9, aula 27) sono: Iovine, Lin, Ricci, Valeri, Tomeo.
Studenti convocati per il 3 marzo (studio Prof. Tovena): ore 14:15 Federici, ore 14:45 Fronza, ore 15:15 Lo Vetere, ore 16 Simoncelli, ore 16:30 Tittarelli, ore 17 Chialastri
Studenti convocati per il 5 marzo (studio Prof. Tovena): ore 15:00 Romoli, ore 15:45 Caprioli, 16:15 Iervese.
Appelli d'esame: Le date degli appelli vengono riportate nel sito del Corso di studio [ sito]
Si sconsiglia di sostenere la prova orale con voto inferiore a 10.


Diario delle lezioni
Prima settimana 30 settembre: Spazi metrici. Sottoinsiemi limitati e dischi aperti. Metrica discreta.
2 ottobre: Applicazioni continue tra spazi metrici. Continuita' della distanza da un punto fissato. Aperti in uno spazio metrico. I dischi aperti sono aperti. L'unioine arbitraria di sottospazi aperti e' un aperto.
3 ottobre: l'intersezione finita di sottospazi aperti e' aperta. Topologia indotta da una metrica. Caratterizzazione della continuita' tramite l'antiimmagine degli aperti. Spazi topologici. Metriche topologicamente equivalenti; metrica d_\infty e metrica L_1 del taxi o di Manhattan. Ogni spazio metrizzabile e' di Hausdorff. Topologia concreta. Esempio di uno spazio topologico non metrizzabile.

Seconda settimana 7 ottobre: Confronto tra topologie (topologie meno fini e piu' fini). Topologia cofinita. Insiemi chiusi e proprieta' della famiglia dei chiusi. Interno e chiusura di un sottoinsieme di uno spazio topologico. Punti di aderenza. Insiemi densi. [cap. 2 del libro di testo]
9 ottobre: tutorato (Prof. Flamini)
10 ottobra: (Prof. Flamini) Topologia delle semirette sinistre (destre) aperte. Topologia del limite inferiore (superiore), reticolo di topologie su IR. Chiusura di (a,b) nelle varie topologie studiate su IR. Frontiera di un sottoinsieme in uno spazio topologico qualsiasi: varie definizioni equivalenti. Utilizzo della frontiera per caratterizzare un chiuso (un aperto). Esterno di un sottoinsieme. Applicazioni continue tra spazi topologici. Composizione di applicazioni continue e' continua. Continuita' mediante le controimmagini di chiusi [cap. 3 del libro di testo]

Terza settimana14 ottobre: Una funzione e' continua se e solo se, per ogni sottoinsieme, l'immagine della chiusura e' contenuta nella chiusura dell'immagine. Continuita' in un punto. Omeomorfismi. Funzioni aperte e chiuse.
16 ottobre: Basi e prebasi di una topologia. Caratterizzazione di base e prebase per una topologia. Caratterizzazione delle applicazioni continue tramite antiimmagine di una prebase. Topologia prodotto. Il prodotto di due spazi metrizzabili e' metrizzabile. Restrizione di una metrica a un sottoinsieme. Sottospazi topologici e topologia indotta su un sottoinsieme. Ogni sottospazio di uno spazio metrizzabile e' metrizzabile.
17 ottobre: Tutorato (Prof. Flamini)

Quarta settimana 21 ottobre: Continuita' di somma e prodotto di applicazioni continue a valori reali. Proprieta' universale della topologia indotta. Esempi di omeomorfismi tra sottospazi: in IR dotato di tolopologia euclidea, gli intervalli chiusi e limitati sono tra loro omeomorfi, (1, +\infty) omeomorfo a (0,1), IR omeomorfo a (0, +\infty).
23 ottobre: Le proiezioni da uno spazio prodotto XxY ai fattori sono continue e aperte. Proprieta' universale della topologia prodotto. Grafico di una funzione. Il grafico di una funzione continua e' omeomorfo al dominio. Esempi di omeomorfismi. Esercizi.
24 ottobre: Tutorato (Prof. Flamini)

Quinta settimana 28 ottobre: Proiezione stereografica. Famiglia degli intorni di un punto. Sistema fondamentale di intorni di un punto e di un sottoinsieme. Caratterizzazione della continuita' tramite antiimmagine degli intorni. Punti isolati e di accumulazione. Derivato di un sottoinsieme. Sottoinsiemi perfetti.
30 ottobre: ricoprimenti e ricoprimenti aperti. Primo e secondo assioma di numerabilita'. Ogni spazio metrizzabile e' N1. Raffinando o indebolendo la topologia e' possibile che la proprieta' di essere N2 si perda: IR e' N2 rispeto alla topologia euclidea, non e' N1 ne' N2 per la topologia cofinita, e' N1 ma non N2 per la topologia di Sorgenfrey.
31 ottobre: Tutorato (Prof. Flamini): Caratterizzazione degli spazi T2 tramite la chiusura della diagonale. Se il codominio e' T2, il luogo di coincidenza di due funzioni continue e' chiuso. Se il codominio e' T2, due funzioni continue che coincidono su un sottoinsieme denso coincidono ovunque. Se il codominio e' T2, il grafico e' chiuso.

Sesta settimana:4 novembre: Successioni e limiti. Spazi separabili. Spazi T0, T1, T2, T3, T4 e completamente regolari. Uno spazio e' T0 se e esolo se la chiusura di punti distinti e' distinta. Uno spazio e' T1 se e solo se i punti sono chiusi. Uno spazio e' T3 se e solo se gli intorni chiusi costituiscono un sistema fondamentale di intorni. Uno spazio e' T4se e solo se ogni intorno di un chiuso C contiene un intorno chiuso di C. Ogni sottospazio di uno spazio T2 e' T2. Il prodotto finito di spazi e' T2 se e solo se i fattori sono T2. [cap. 8 del libro]
6 novembre: Ogni spazio metrizzabile e' normale. Ogni spazio regolare a base numerabile e' normale. Teorema e Lemma di Urysohn (solo enunciato). Ricoprimenti e sottoricoprimenti. Spazi compatti ed esempi.
7 novembre: La compattezza e' una proprieta' che si conserva per omeomorfismo. Sottoinsiemi compatti. Un sottoinsieme e' compatto se e solo se e' compatto rispetto alla topologia indotta. L'unione finita di sottoinsiemi compatti e' compatta. L'immagine di un compatto tramite una funzione continua e' compatta. Ogni sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto e' a sua volya compatto. La retta reale, con topologia euclidea, non e' compatta. Gli intervalli chiusi e limitati della retta reale sono compatti rispetto alla topologia euclidea. I compatti delle retta reale con topologia euclidea sono tutti e soli sottoinsiemi che sono chiusi e limitati.

Settima settimana
11 novembre: Tutorato (Prof. Flamini)

13 novembre: Ogni applicazione continua da un compatto alla retta reale euclidea ammette minimo e massimo. Ogni compatto di uno spazio di Hausdorff e' chiuso. I compatti di uno spazio metrico sono chiusi e totalmente limitati. [Teor. 8.8] Un'applicazione continua da uno spazio compatto a uno spazio T2 e' un omeomorfismo se e solo se e' biettiva. Applicazioni chiuse a fibra compatta: ogni funzione da uno spazio compatto a uno spazio T2 e' chiusa a fibre compatte; ogni applicazione chiusa a fibre compatte con codominio compatto, ha anche dominio compatto.
14 novembre: Teorema di Wallace. Se X e' compatto, la proiezione da XxY in Y e' chiusa a fibre compatte. Un prodotto finito di spazi e' compatto se e solo se sono compatti i fattori. Teorema di Heine-Borel. In uno spazio compatto, ogni sottoinsieme infinito ha almeno un punto di accumulazione. Ogni spazio metrico separabile e' a base numerabile. Ogni spazio metrico totalmente limitato e' a base numerabile. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti [enunciato]

Ottava settimana
18 novembre: Prodotti infiniti. Teorema di Tychonoff [solo enunciato]. Esercizi: una famiglia discendente numerabile di chiusi compatti non vuoti e' non vuota; in un compatto, ogni successione ammette almeno un punto di accumulazione; caratterizzazione di compatti in IR rispetto alla topologia delle semirette aperte illimitate a sinistra; l'intersezione di due compatti puo' non essere compatta.
20 novembre: Funzioni continue tra spazi topologici infiniti con topologia cofinita. Compattificazione di Alexandroff di uno spazio topologico X: e' T2 se e solo se X e' T2 e ogni punto di X ha un intorno compatto; ogni compatto T2 X e' omeomorfo alla compattificazioone di Alexandroff dello spazio ottenuto da X eliminando un punto. La compattificazione di Alexandroff di IR^n con topologia euclidea e' omeomorfa alla superficie sferica S^n.
21 novembre: Tutorato (Prof. Flamini)

Nona settimana
25 novembre: Esercizi sul prodotto di spazi topologici. [cap. 9] Spazi connessi. Uno spazio e' connesso se e solo se le uniche applicazioni continue a valori in uno spazio discreto con almeno due elementi, sono le costanti. L'immagine di uno spazio connesso tramite una applicazione continua e' anch'essa conne$ Se due spazi topologici sono omeomorfi, uno e' connesso se e solo se lo e' anche l'altro. Gli intervalli chiusi e limitati di R con la topologia euclidea sono connessi.
27 novembre: Esercizi. L'unione di connessi tali che uno di essi interseca tutti gli altri e' connessa. R e' connesso. S^1 non e' omeomorfo a un intervallo chiuso e limitato di R.
28 novembre: prova intermedia, durante la quale e' possibile consultare libro di testo e appunti.

Decima settimana
2 dicembre: XxY e' connesso sse X e Y sono connessi. Componenti connesse e omeomorfismi. Lemma di incollamento. [cap. 12] Archi e loro composizione. Connessione per archi. L'immagine di un connesso per archi tramite una applicazione continua e' connesso per archi.
R^n e' connesso per archi, come anche i sottoinsiemi convessi o stellati. Caratterizzazione di sottoinsiemi di R connessi per archi.
4 dicembre: Ogni spazio connesso per archi e' anche connesso. Ogni applicazione continua da S^n in R assume lo stesso valore su (almeno) una coppia di punti antipodali. Se una applicazione continua, suriettiva, con codominio connesse e fibre connesse, e' aperta o chiusa, allora il dominio e' connesso. [cap. 5] Topologia quoziente e sua proprieta' universale. La topologia quoziente e' la topologia piu' fine che rende continua la proiezione canonica. Struttura topologica sullo spazio proiettivo. Se una applicazione continua e suriettiva e' aperta o chiusa, il codominio ha la topologia quoziente. Se una applicazione continua e suriettiva ha dominio compatto e codominio T2, allora il codominio ha la topologia quoziente. Applicazioni suriettive e relazioni di equivalenza.
5 dicembre: Tutorato (Tovena)


Undicesima settimana
9 dicembre: Rivestimento universale di S^1 e sua restrizione a [0,1] e a [0,1). Restringendo a un sottoinsieme A il dominio di una applicazione quoziente in modo che l'applicazione resti suriettiva, la restrizione e' ancora una applicazione quoziente se A e' aperto e la funzione e' aperta (analogamente, se A e' chiuso e l'applicazione e' chiusa). Identificazioni. Teorema dei modelli. Fattorizzabilita' di una applicazione tramite il passaggio a quoziente. Passaggio a quoziente modulo un sottospazio. Cilindro e nastro di Moebius come quoziente di un quadrato.
11 dicembre: Toro come quoziente di un quadrato. Bouquet di circonferenze. Teorema 8.11: Se una applicazione quoziente ha dominio compatto T2 ed e' chiusa, allora anche il codominio e' compatto T2. Il quoziente X/A di uno spazio T2 modulo un sottoinsieme chiuso A e' T2. [cap. 5] Azione di un gruppo. G-insiemi e G-spazi. In un G-spazio, la proiezione canonica sullo spazio quoziente e' aperta. Esempi di G-spazi e loro modelli: R/Z omeomorfo a S^1, S^1/<+1, -1> omeomorfo a P^1, R^n/Z^n omeomorfo a (S^1)^n. Se il gruppo G e' finito, il quoziente di un G-spazio compatto T2 e' compatto e T2.
12 dicembre: Tutorato (Prof. Flamini)

Dodicesima settimana
16 dicembre: Teorema 12.9: ogni sottoinsieme di IR^n aperto non vuoto connesso e' connesso per archi.
[cap. 13] Omotopia di applicazioni continue. Un'applicazione continua definita su S^1 e' omotopa a una costante se e solo se si estende con continuita' al disco. Cammini e omotopia. Spazi topologici con lo stesso tipo di omotopia. Spazi contraibili. Omotopia relativa a un sottoinsieme.
retratti, retratti di deformazione e retratti di deformazione forte.
18 dicembre: [cap. 14] Cammini equivalenti. Omotopia e prodotto di cammini. [cap. 15] Cammini chiusi. Gruppo fondamentale di uno spazio topologico connesso per archi rispetto a un punto base. Il gruppo fondamentale dipende dal punto base solo a meno di isomorfismo. Morfismo tra gruppi fondamentali indotto da una applicazione continua tra spazi connessi per archi. Teorema 15.2. Spazi topologici con lo stesso tipo di omotopia hanno gruppo fondamentale isomorfo.
19 dicembre: Tutorato (Prof. Flamini)

Tredicesima settimana
7 gennaio: Il gruppo fondamentale di un prodotto spazi connessi p.a. e' isomorfo al prodotto dei gruppi dei fattori. Il gruppo fondamentale di S^1 e' isomorfo a Z. Gruppo fondamentale del cilindro e del toro. Teorema del punto fisso di Brower. Retrazioni e gruppo fondamentale. Gruppo fondamentale di R^2 privato di un punto. Numero di Lebesgue di un ricoprimento. Introduzione al teorema di Seifert - Van Kampen.
9 gennaio: Gruppo libero generato da due gruppi. Teorema di Seifert-Van Kampen per uno spazio connesso per archi che sia unione di due aperti c.p.a. la cui intersezione sia non vuota e connessa p.a.: generatori e (senza dimostrazione) relazioni. Caso in cui uno degli aperti e' semplicemente connesso o l'intersezione tra i due aperti e' semplicemente connessa: S^n (n>1) e' semplicemente connesso. R^n (n>2) privato di un numero finito di punti e' semplicemente connesso. Gruppo fondamentale della figura a 8, del bouquet di circonferenze, dell'incollamento per un punto di due spazi (se il punto di incollamento ha intorno aperto contraibile).

Quattordicesima settimana
13 gennaio: Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi reali e complessi. Applicazione del Teorema di Van Kampen allo studio del gruppo fondamentale del toro e ai quozienti di un poligono.
15 gennaio: Topologia di Zariski. Azione di gruppo libera e propriamente discontinua. L'azione di Z_2 su S^n (n>=1) definita dal passaggio all'antipodo e' libera e propriamente discontinua Rivestimenti. L'applicazione quoziente R -> R/Z e' un rivestimento. Teorema 19.3 e corollario 19.4 (senza dimostrazione).
16 gennaio: Tutorato
18 gennaio: seconda prova parziale.