Fondamenti di Matematica
(LM 85 bis - Facolta' di Scienze della formazione - LUMSA)

Obiettivi formativi Lo studio di alcuni elementi fondanti dell'aritmetica e della geometria permette e induce una riflessione sulla matematica e il suo ruolo educativo, nonche' sulle modalita' di insegnamento.
Contenuto del corso Teoria assiomatica della geometria
Elementi di teoria degli insiemi.
Definizioni di numero naturale. Costruzione degli insiemi numerici N, Z, Q, R. Algebra geometrica (Elementi di Euclide) e proprieta' delle operazioni. Percezione delle quantita' e sviluppo delle competenze matematiche nel bambino: Montessori e alcuni risultati delle neuroscienze.

Testi d'esame Elementi di Euclide, Libri I e II (vedi ad esempio il sito http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html su Euclide). Per una traduzione italiana commentata, e' possibile consultare anche 'Gli elementi' di Euclide, Curato da Frajese A., Maccioni M. Editore: UTET Collana: Classici della scienza (1996)
Dispense messe a disposizione su questo sito
Descrizione della verifica di profitto Prova scritta propedeutica e prova orale. Le due prove saranno convocate nello stesso giorno.


Programma attualmente svolto:
La nozione di sistema assiomatico: assiomi, regole di logica, definizioni e teoremi. Sistemi assiomatici completi. Modello per un sistema assiomatico. Esempi ed esercizi.
Proposizioni e paradossi . La logica delle proposizioni. (e' possibile consultare ad esempio le prime 13 pagine del documento del Prof. Garetto).Connettivi logici e quantificatori. Tavola di verita'.
Sillogismi condizionali o categorici e loro discussione. Insiemi, loro unione e intersezione, sottoinsieme complementare. Rappresentazione insiemistica dei sillogismi categorici.
La negazione, con particolare attenzione alle proposizioni in cui compaiono quantificatori.
Proposizioni aperte
Argomenti e dimostrazioni. Dimostrazione per assurdo.
Primo libro degli Elementi di Euclide. Il sistema assiomatico euclideo per la geometria piana: nozioni comuni e regole di logica; assiomi (1-4) e definizioni (fino alla definizione di angolo retto). Assiomi aggiuntivi non elencati da Euclide.
Prop. 1-12 con dimostrazione (ma Prop. 4 e 8 solo enunciato).
Enunciati senza dimostrazione: prop. 13, 14, 15, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 30.
Prop. 16, 17, 27, 28,29, 31 e le proposizioni dalla 32 in poi (in particolare, area di triangolo, trapezio, parallelogramma. Teorema di Pitagora).
Teorema di Talete. file Moltiplicazione di segmenti. file.
Teorema dell'angolo al centro.
Aritmetica: Numeri naturali, interi, razionali e reali. Frazioni e loro rappresentazione. Confronto con la scrittura decimale.
Operazioni e loro proprieta'.
Multipli e divisori. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Matodo delle divisioni successive per il calcolo del MCD. Numeri primi. Crivello di Eratostene file. I numeri primi sono infiniti (con dimostrazione). Teorema fondamentale dell'aritmetica. Criteri di divisibilita' per 2,3,4,5,9,10.
Rappresentazione dei dati: percentuali, istogrammi, areogrammi.
Introduzione alla probabilita'.

Programma per la prova orale: -discussione di un teorema a scelta del candidato tratto dal primo o dal secondo libro degli elementi di Euclide, oppure il teorema dell'angolo al centro o il teorema di Talete.
- un argomento a scelta di logica matematica;
- un argomento a scelta tra teorema fondamentale dell'aritmetica, criteri di divisibilita', numeri primi, massimo comune divisore e minimo comune multiplo, scrittura di un numero naturale in base arbitraria.
-elementi di probabilita'.