Spazi di Sobolev e soluzioni deboli - A.A. 2022/23

LIBRI DI TESTO CONSIGLIATI:

I testi di riferimento principali sono:
[E] L.C. Evans, Partial differential equations, AMS, per la parte su spazi di Sobolev e PDE,
[C] P. Cannarsa, Lecture notes on control, dynamics and optimization (dispense disponibili sul canale Teams) per la parte finale sui semigruppi di operatori ed equazioni di evoluzione.

Altri utili testi di riferimento sono:
[B] H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer, oppure
H. Brezis, Analisi Funzionale, Liguori, (traduzione italiana di una versione precedente del testo),
[S] S. Salsa, Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni, Springer.

Per i prerequisiti di teoria della misura e di analisi funzionale, si può consultare
[CD] P. Cannarsa, T. D'Aprile, Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale, Springer.

E' disponibile il diario delle lezioni.

Programma dettagliato del corso

Nota: Salvo indicazione contraria, i teoremi sono da intendersi con dimostrazione. Per i teoremi indicati con un asterisco (*) o con due (**) è sufficiente conoscere le idee principali della dimostrazione, senza i dettagli tecnici del procedimento. E' richiesto tuttavia di imparare nei dettagli almeno una dimostrazione, a piacere, tra quelle con due asterischi (**).

1) Derivate deboli (distribuzionali), definizione ed esempi. Spazi di Sobolev W^1,p e W ₀^1,p, definizione, esempi, prime proprietà e completezza [E, par. 5.2]. Funzioni di Sobolev in una variabile e funzioni assolutamente continue [B, Teor. 8.2]. Richiami sulle convoluzioni [E, appendice C.5]. Approssimazione mediante convoluzione di funzioni di Sobolev in sottoinsiemi compatti del dominio [E, par. 5.3.1]. Densità delle funzioni C^∞ fino alla frontiera (*) [E, par. 5.3.3]. Funzioni lipschitziane e funzioni W^1,∞ [E, par. 5.8.2.b] Prodotti e composizioni tra funzioni regolari e di Sobolev (*) [Brezis Prop IX.4, IX.5 e IX.6, E es. 17 e 18 alla fine del cap. 5]. Estensioni di funzioni di Sobolev (*) [E, par. 5.4]. Tracce di funzioni di Sobolev (con cenno di dim.) [E, par. 5.5].

2) Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev (**), disuguaglianza di Poincaré, disuguaglianza di Morrey (**) e teoremi di immersione. [E, par. 5.6]. Lo spazio di Banach delle funzioni hölderiane [E, 5.1]. Disuguaglianza di interpolazioni tra spazi L^p [E, appendice B.2.h]. Teorema di compattezza di Rellich-Kondrachov [E, par. 5.7]. Rapporti incrementali e appartenenza a spazi di Sobolev [E, par. 5.8.2a]. Teorema di differenziazione di Lebesgue (senza dim.) [E, appendice E.4]. Derivabilità q.o. e teorema di Rademacher. [E, par. 5.8.2b, 5.8.3]. Lo spazio H^-1 [E, par. 5.9.1].

3) Equazioni ellittiche lineari, definizione di soluzioni deboli [E, par. 6.1]. Teorema di Lax-Milgram (senza dim.). Stime dell'energia, esistenza di soluzioni deboli. Alternativa di Fredholm per operatori ellittici, spettro di un operatore ellittico [E, par. 6.2]. Esistenza di una base di autofunzioni [E, par. 6.5.1, teor. 1]. Caratterizzazione del primo autovalore come minimo del quoziente di Rayleigh (*) [E, par. 6.5.1, teor. 2(i)]. (NB si suppongono note da altri corsi le proprietà degli operatori compatti, la teoria di Fredholm e il teorema spettrale per operatori compatti simmetrici). Regolarità delle soluzioni all'interno del dominio. (**). Regolarità delle soluzioni fino alla frontiera (con cenno di dim.). Regolarità successiva, derivabilità di ordine arbitrario in presenza di dati regolari (senza dim.) [E, par. 6.3].

4) Principio di massimo debole e forte per equazioni ellittiche, lemma di Hopf [E, par. 6.4.1 e 6.4.2]. Principio di massimo debole per equazioni paraboliche [E, 7.1.4a], anche in presenza di termini di ordine zero [E, problema 8 del cap. 7]. Principio di massimo forte per equaz. paraboliche (senza dim.) [E, 7.1.4c]. Teoremi di confronto per sopra/sottosoluzioni e di unicità per soluzioni [fatto a lezione, l'idea e' quella dei Teor. 2.2.5 e 2.3.5 di E].

5) Integrazione di funzioni a valori in spazi di Banach (senza dim.) [C appendice A]. Semigruppi uniformemente continui e loro generatori, definizione e proprietà. L'esponenziale di un operatore lineare e continuo è un semigruppo u.c. e le sue traiettorie risolvono il problema di Cauchy associato. [C, par. 1.1] Semigruppi fortemente continui, definizione e proprietà [C, par. 1.2, 1.3]. Il semigruppo delle traslazioni generato dalla derivata prima [C esercizio 5]. Operatori chiusi, teorema del grafico chiuso [E appendice D.3, CD Cor. 6.26]. Il generatore di un semigruppo f.c. è un operatore chiuso. Le traiettorie di un semigruppo f.c. sono le soluzioni classiche del problema di Cauchy associato. [C par. 1.4] Spettro e risolvente di un operatore chiuso [C, par. 1.5, escluso Teor. 4]. Teorema di Hille-Yosida (**) [C, par. 1.6]. Applicazioni: esistenza di soluzioni per equazioni paraboliche [E, par. 7.4.3 a] oppure [C esempio 9] e per equazioni iperboliche [E, par. 7.4.3 b], oppure [C, esempio 15 nel par. 2.2].

Per approfondimenti, si possono consultare i testi:
R. Adams, Sobolev spaces, Academic Press (1975) (o l'edizione successiva: R. Adams, J. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press (2003) ).
L. Evans, R. Gariepy, Measure theory and fine properies of functions, CRC Press (1991).
D. Gilbarg, N. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer (1983).

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