Lezione del 9/3/2023:
Le funzioni di Sobolev sulla retta coincidono con le funzioni assolutamente continue con derivata in L^p. Approssimazione mediante mollificatori di funzioni L^p.

Lezione del 13/3/2023:
Le mollificate di una funzione di Sobolev su un insieme aperto di Rⁿ convergono alla funzione sui compatti dell'insieme. Teorema di Meyers-Serrin sull'approssimabilità di funzioni di Sobolev con funzioni C^∞ (senza dim.). Approssimabilità di funzioni W^1,p con funzioni C^∞ fino al bordo in un dominio regolare (enunciato).

Lezione del 14/3/2023:
Esempio: le mollificate in generale non convergono in norma W^1,p su tutto il doninio. Approssimabilità con funzioni C^∞ fino al bordo (dimostrazione).

Lezione del 16/3/2023:
Funzioni W^1,∞ e funzioni Lipschitziane. Le funzioni di Sobolev restano tali dopo un cambiamento regolare di variabili.

Lezione del 20/3/2023:
Composizione di una funzione regolare lipschitziana con una funzione di Sobolev. Esistenza di un operatore di estensione a tutto lo spazio di funzioni di Sobolev definite in un dominio regolare limitato.

Lezione del 21/3/2023:
Operatore di traccia (con cenno di dimostrazione). Introduzione alla disuguaglianza di Gagliardo-Sobolev-Nirenberg, giustificazione dell'esponente critico di Sobolev.

Lezione del 23/3/2023:
Dimostrazione della disuguaglianza di Gagliardo-Sobolev-Nirenberg. Teoremi di immersione di Sobolev nel caso p

Lezione del 27/3/2023:
Esempio di funzione in W^1,n non limitata. Funzioni holderiane. Disuguaglianza di Morrey (con dim., inizio).

Lezione del 28/3/2023:
Disuguaglianza di Morrey (fine della dim.). Conesguenza: immersione continua di spazi di Sobolev con p>n in spazi di funzioni hölderiane.

Lezione del 30/3/2023:
Teoremi di immersione per W^k,p con k>1 (cenno). Applicazioni lineari compatte tra spazi di Banach. Immersione compatta di W^1,p nelle funzioni continue se p>n (con dim.) Stime sulla distanza in L^p tra una funzione di W^1,p e la sua traslata (con dim.)

Lezione del 3/4/2023:
Disuguaglianza di interpolazione tra spazi L^p0^1,p(con dim.). Teorema di differenziazione di Lebesgue (senza dim.).

Lezione del 4/4/2023:
Teorema di Rademacher (con dim., usando il teorema di diff. di Lebesgue). Operatori ellittici lineari del secondo ordine in forma di divergenza. Forma bilineare associata all'operatore ellittico e formulazione debole del problema di Dirichlet. Una soluzione classica è anche soluzione debole.

Lezione del 6/4/2023:
Stime dell'energia per la forma bilineare associata a un operatore ellittico. Esistenza e unicità per soluzioni deboli nel caso in cui i termini del primo ordine siano assenti e il termine di ordine zero sia non negativo (con dim.). Teorema di Lax-Milgram (senza dim.). Esistenza e unicità per l'equazione ellittica con l'aggiunta di un termine lineare opportuno e compattezza dell'operatore soluzione (con dim.).

Lezione del 11/4/2023:
Esempi di operatori su funzioni di una variabile: la derivata è un operatore non limitato, gli operatori integrali sono compatti. Richiami sulla teoria di Fredholm per operatori compatti in spazi di Hilbert (senza dim.). Alternativa di Fredholm per equazioni ellittiche (con dim.).

Lezione del 13/4/2023:
Esempio in una variabile sull'alternativa di Fredholm. Spettro di un operatore lineare. Propriet$agrave dello spettro di operatori compatti su spazi di Hilbert (senza dim.). Applicazione allo spettro di un operatore ellittico.

Lezione del 17/4/2023:
Il caso di un operatore autoaggiunto: teorema di decomposizione spettrale (con dim.). Esempio: completezza dei polinomi trigonometrici in una variabile. Caratterizzazione del primo autovalore come minimo del quoziente di Rayleigh (con dim.). Lo spazio H ^-1.

Lezione del 18/4/2023:
Equazioni ellittiche con secondo membro in H ^-1. Studio del problema di Dirichlet con dati non nulli. Problema di Neumann per l'equazione di Poisson: formulazione debole e rislutati sull'esistenza e unicità di soluzioni.

Lezione del 20/4/2023:
Caratterizzazione delle funzioni di Sobolev in base alla sommabilità uniforme in L^p dei rapporti incrementali. Regolarità H² interna per soluzioni deboli di equazioni ellittiche, enunciato. Dimostrazione in un caso particolare (soluzione a supporto compatto, termini di ordine uno e zero assenti).