Lezione dell'8/3/2022:
Prodotto di convoluzione. Il prodotto di una funzione localmente sommabile con una C^k a supporto compatto è C^k (con dim.). Regolarizzazione tramite convoluzione con mollificatori. La regolarizzata di una funzione continua a supporto compatto converge uniformemente alla funzione data (con dim., che prosegue nella lez. successiva)

Lezione del 10/3/2022: Densità delle funzioni C^∞ a supporto compatto in L^p (con dim.). Unicità della derivata debole (con dim.). Continuità delle traslazioni in L^p.

Lezione del 14/3/2022:
Esempio di funzioni di Sobolev: potenze negative della norma. Richiami sulla compattezza in spazi metrici. Teorema di Ascoli-Arzelà (con dim.).

Lezione del 15/3/2022:
Caso di un dominio illimitato: il teorema di Ascoli-Arzelà dà la convergenza uniforme sui compatti. Compattezza dell'immersione delle funzioni lipschitziane/hölderiane nelle funzioni continue. Le mollificate di una funzione in L^P su tutto lo spazio convergono in L^p alla funzione (con dim.). Teorema di compattezza di Riesz-Fréchet-Kolmogorov (con cenno di dim.).

Lezione del 17/3/2022:
Teorema di esistenza di Peano per equazioni differenziali ordinarie con secondo membro solo continuo (con dim.). Funzioni di Sobolev in una variabile: una funzione con derivata debole nulla su un intervallo è costante (con dim.).

Lezione del 21/3/2022:
Richiami sulle funzioni assolutamente continue su intervalli della retta. Le funzioni assolutamente continue sono le primitive di funzioni L¹ (senza dim.). Le funzioni di Sobolev sulla retta coincidono con le funzioni assolutamente continue con derivata in L^p (con dim.). Le mollificate di una funzione di Sobolev su un insieme aperto di Rⁿ convergono alla funzione sui compatti dell'insieme (con dim.).

Lezione del 22/3/2022: Spazi W₀ ^1,p e caratterizzazione nel caso di dimensione 1. Richiami sulle partizioni dell'unità. Approssimabilità di funzioni di Sobolev in un dominio regolare con funzioni C^∞ fino al bordo (con dim.).

Lezione del 24/3/2022: Le funzioni di Sobolev restano tali dopo un cambiamento regolare di variabili (con dim.). Esistenza di un operatore di estensione a tutto lo spazio di funzioni di Sobolev definite in un dominio regolare limitato (con dim., continuata nella lez. successiva)

Lezione del 31/3/2022:
Operatore di traccia per funzioni di Sobolev (senza dim.). Disuguaglianza di Gagliardo-Sobolev-Nirenberg (con dim., continuata nella lez. successiva)

Lezione del 4/4/2022:
Conseguenze della disuguaglianza di GSN. Teoremi di immersione di Sobolev nel caso p minore di n.

Lezione del 7/4/2022:
Esempio di funzione in W^1,n non limitata. Funzioni holderiane. Disuguaglianza di Morrey (con dim., inizio).

Lezione del 11/4/2022:
Disuguaglianza di Morrey (fine della dim.). Teoremi di immersione continua e compatta nel caso p>n. Disuguaglianza di interpolazione tra spazi L^p (con dim., corretta nella lez. successiva). Stime sulla distanza di una funzione di Sobolev dalla sua traslata. (con dim.)

Lezione del 12/4/2022:
Teorema di immersione compatta di Rellich-Kondrakhov (con dim.). Teoremi di immersione per spazi di ordine maggiore di uno (cenno). Disuguaglianza di Poincaré per funzioni di W₀^1,p(con dim.). Le funzioni in W^1,∞ coincidono con le funzioni lipschitziane. Teorema di Rademacher (senza dim.).

Lezione del 14/4/2022:
Lo spazio H ^-1. Equazioni ellittiche lineari in forma di divergenza: forma bilineare associata e formulazione debole del problema di Dirichlet. Esistenza e unicità per soluzioni deboli nel caso in cui i termini del primo ordine siano assenti e il termine di ordine zero sia non negativo (con dim.).

Lezione del 19/4/2022:
Esempio: per il problema di Dirichlet per le equazioni ellittiche non vale necessariamente esistenza e unicità della soluzione. Teorema di Lax-Milgram (senza dim.). Stime dell'energia (con dim.). Esistenza e unicità per l'equazione ellittica con l'aggiunta di un termine lineare opportuno e compattezza dell'operatore soluzione (con dim.).

Lezione del 21/4/2022:
Richiami su operatori compatti e teoria di Fredholm (senza dim.). Alternativa di Fredholm per equazioni ellittiche (con dim.). Esempi.

Lezione del 26/4/2022:
Richiami sugli autovalori degli operatori compatti (senza dim.). Autovalori di un operatore ellittico (con dim.). Il caso di un operatore autoaggiunto: teorema di decomposizione spettrale (con dim.). Proprietà del primo autovalore (senza dim.).

Lezione del 29/4/2022:
Estensioni: problema di Dirichlet con dati non nulli e problema di Neumann. Introduzione alla teoria della regolarità: caratterizzazione delle funzioni di Sobolev in base alla sommabilità uniforme dei rapporti incrementali. (con dim. proseguita nella lez. successiva).

Lezione del 2/5/2022:
Regolarità H² interna per soluzioni deboli di equazioni ellittiche, enunciato. Dimostrazione in un caso particolare (soluzione a supporto compatto, termini di ordine uno e zero assenti nell'equazione).

Lezione del 3/5/2022:
Regolarità H² interna, dimostrazione nel caso generale. Regolarità interna di ordine superiore (con cenno di dim.). Corollario: una soluzione debole è anche classica se i coefficienti sono sufficientemente regolari.

Lezione del 5/5/2022:
Regolarità H² fino al bordo (con cenno di dim.). Regolarità di ordine superiore fino al bordo (senza dim). Principio di massimo: preliminari (dim. nel caso in cui la funzione soddisfa una disuguaglianza stretta).

Lezione del 10/5/2022:
Principio di massimo debole per sopra/sottosoluzioni classiche di equazioni ellittiche (con dim.). Lemma di Hopf del punto di frontiera e principio di massimo forte (con dim.).

Lezione del 12/5/2022:
Principio del confronto e unicità di soluzioni (con dim.). Interpretazione variazionale delle soluzioni deboli di eq. ellittiche. Principio di massimo debole per equazioni paraboliche (con dim.) e forte (senza dim.).

Lezione del 16/5/2022:
Teroema di confronto per soluzioni di equazioni paraboliche (con dim.). Semigruppi di operatori ed equazioni di evoluzione: descrizione generale del metodo. Semigruppi di operatori e loro generatori, definizione. Semigruppi uniformemente continui, definizione. Esponenziale di un operatore lineare e continuo.

Lezione del 17/5/2022:
Proprietà dell'esponenziale di operatori (con dim.). Integrale di Cauchy di funzioni continue a valori in spazi di Banach, definizione e proprietà (con cenno di dim.). L'esponenziale di un operatore continuo fornisce l'unica soluzione del problema di Cauchy associato all'operatore (con dim.). Proprietà dei semigruppi uniformemente continui (con dim.). I semigruppi uniformemente continui sono tutti e soli gli esponenziali di operatori lineari e continui (con dim.).

Lezione del 19/5/2022:
Semigruppi fortemente continui, definizione. Esempio: il semigruppo delle traslazioni. Proprietà di un sgr un. cont.: stima di crescita, continuità delle traiettorie (con dim.). Le traiettorie di elementi del dominio del generatore risolvono l'equazione differenziale associata (con dim.). Il generatore di un sgr. un. cont. è un operatore chiuso definito in un dominio denso (con dim.).

Lezione del 24/5/2022:
Operatori chiusi in spazi di Banach: norma del grafico, teorema del grafico chiuso (con dim.). Esempio: il generatore del semigruppo delle traslazioni è la derivata prima (con dim.). Spettro e risolvente di un operatore chiuso: definizione.

Lezione del 26/5/2022:
Spettro e risolvente di un operatore chiuso: proprietà (con dim.). Teorema di Hille-Yosida, enunciato e dimostrazione (inizio).

Lezione del 27/5/2022:
Teorema di Hille-Yosida, dimostrazione (conclusione).

Lezione del 6/6/2022:
Due semigruppi con lo stesso generatore coincidono (con dim.). Applicazioni del teorema di Hille-Yosida: problema di Cauchy-Dirichlet per equazioni paraboliche e per equazioni iperboliche su un dominio limitato.