Prof. Giuseppe Pareschi


Dipartimento di Matematica

Viale della Ricerca Scientifica 1, 00133, Roma, IT

Stanza: 0212

Telefono: 06 72594621

pareschi@mat.uniroma2.it



CORSO "GEOMETRIA II" PER INGEGNERIA MECCANICA, a.a. 2017-'18

Orario:
MAR 14 -16, aula 11
VEN 11.30 - 13.15 aula 11

AVVISI.
NEW!!! A causa di un'incomprensione del docente, il corso comincera' con una settimana di ritardo, dunque martedi 3 ottobre.

Ricevimento studenti
Nell'ora successiva a quelle di lezione e per appuntamento.

STRUTTURA DELL'ESAME.
L'esame funziona cosi': dieci giorni prima della data dell'esame gli studenti che vogliono sostenerlo devono contattare per e-mail il docente, che fornira' loro una lista di esercizi tratti dalla Esami Finali in questa pagina (vedi sotto). Alla data dell'esame gli studento dovranno presentare per iscritto le loro soluzioni a tali esercizi e, vi sara' un esame orale in cui gli studenti dovranno discutere le soluzioni proposte e la teoria pertinente.

Programma e libro di testo
L'argomento principale del corso sara' la Geometria Differenziale delle Curve e Superfici. Durante il corso verranno brevemente ricordati o affrontati eventuali prerequisiti di Geometria, Algebra Lineare e Analisi Matemamatica. Il libro adottato e':

Barrett O'Neill: Elementary Differential Geometry, Revised Second Edition, Academic Press/Elsevier (2006)

Il programma dettagliato uscira' piu' avanti.

Diario delle lezioni
  • 03/10 (2 ore)
    Vettori tangenti a E(3). Campi di vettori. Derivata direzionale di una una funzione rispetto ad un vettore tangente. Funzione derivata direzionale di una funzione rispetto ad un campo di vettori. Curve differenziabili: vettore velocita'.
    Riferimento. O'Neill, Sezioni 1.1 1.2, 1.3, 1.4 (fino a Definizione 4.4 esclusa). Pagine 3-19
    Esercizi. O'Neill, Tutti gli esercizi delle sezioni 1.1, 1.2, 1.3. Cercare di capire gli esempi (4) e (5) della Sez. 1.4. Esercizi della Sezione 1.4 fino a 1.6 compreso.
  • 06/10 (2 ore)
    Ripasso sulla derivazione di una funzione composta f(x1(t),..,xn(t)). Curve in E(n) (continuazione): riparametrizzazioni e derivazione di funzione composta, derivata direzionale di una funzione lungo il vettore velocita' di una curva.
    Funzioni differenziabili da E(n) a E(m) (mappings): generalita' ed esempi. Derivata. Matrice jacobiana.
    Riferimento. O'Neill, Sezioni 1.4 (a partire da Definizione 4.4) pag. 19-22 e Sezione 1.7 pag. 34-40.
    Esercizi. O'Neill, Esercizi Sez. 1.4 a partire da 1.7 e Esercizi della Sez. 1.7
  • 10/10 (2 ore)
    Curve. unghezza d'arco e funzione lunghezza d'arco. Riparametrizzazione a velocita' untaria di una curva regolare. Apparato di Frenet: riferimento di Frenet(versori tangente, normale e binormale), curvatura e torsione. Formule di Frenet a velocita' unitaria.

    Riferimento. O'Neill, Cap. II, Sez. 1.1 (richiami di Geometria 1), 2.2 e 2.3
    Esercizi. O'Neill, Esercizi Sez. 2.1-3 Cap.II.
  • 13/10 (2 ore)
    Apparato di Frenet e Formule di Frenet a velocita' qualsiasi. Formule per il calcolo dell'apparato di Frenet. Approssimazione di Frenet di una curva.
    Riferimento. O'Neill, cap. II Sezione 2.4 fino a definizione 4.5 esclusa Esercizi. O'Neill, Esercizi Sez. 2.4
  • 17/10 (2 ore)
    Alcuni esempi di caratterizzazioni di curve con particolari proprieta' geometriche: rette (curvatura identicamente nulla), curve piane (torsione identicamente nulla), circonferenze (torsione identicamente nulla e curvatura costante positiva), eliche cilindriche (rapporto costante tra torsione e curvatura). Altro esempio riguardante le curve contenute in una sfera.
    Riferimento. O'Neill, cap. II Sezione 2.4. Esercizi. O'Neill, Esercizi: gli stessi della settimana scorsa.
  • 20/10 (2 ore)
    Esercizi. Riferimento. O'Neill, Esercizi cap. II. Esercizi. O'Neill, Esercizi: gli stessi della settimana scorsa.
  • 24/10 (2 ore) Matrici ortogonali e trasformazioni lineari ortogonali di E(n). Traslazioni. Isometrie di E(n) e loro struttura.
    Riferimento. O'Neill, Esercizi cap. III Sez. 1. Esercizi. O'Neill, Cap. III Sez. 1.
  • 27/10 (2 ore) Esercizi.
    Riferimento. Cap. II. Esercizi. Gli stessi delle settimane precedenti.
  • 31/10 (2 ore) Lezione non svolta (da recuperare).
  • 03/11 (2 ore) Orientazione di una base di E(n). Trasformazioni che rispettano l'orientazione. Trasformazioni ortogonali che rispettano l'orientazione. Compatibilita' tra trasformazioni ortogonali e prodotto vettoriale. Derivata di una trasformazione lineare da E(n) a E(m). Derivata di un'isometria.
    Riferimento. Cap. III, Sez. 2 e 3. Esercizi. Cap. II Sez. 2 e 3.
  • 7/11 (2 ore) Esercizi.
    Riferimento. Sez. II. Esercizi. Gli stessi delle settimane precedenti.
  • 10/11 (2 ore) Dimostrazione del teorema: date due curve regolari con curvatura ovunque positiva, esse hanno stessa velocita' e curvatura e stessa torsione a meno di segno se e solo se esiste un'isometria (necessariamente unica) che prta l'una nell'altra.
    Riferimento. Cap. III, Sez. 4 e 5. Esercizi. Cap. III, Sez. 4 e 5.
  • 10/11 (2 ore) Dimostrazione del teorema: date due curve regolari con curvatura ovunque positiva, esse hanno stessa velocita' e curvatura e stessa torsione a meno di segno se e solo se esiste un'isometria (necessariamente unica) che prta l'una nell'altra.
    Riferimento. Cap. III, Sez. 4 e 5. Esercizi. Cap. III, Sez. 4 e 5.
  • 14/11 (2 ore) Esercizi.
    Riferimento. Cap. II. Esercizi.
  • 17/11 (2 ore) Esercizi.
    Riferimento. Cap. II. Esercizi.
  • 21/11 (2 ore) Superfici in E3. Definizione ed esempi.
    Riferimento. Cap. IV. Sez. 1 e 2. Esercizi. Cap. IV. Sez. 1 e 2.
  • 24/11 (2 ore) Funzioni differenziabili su superfici. Spazio tangente a una superfice in un punto. Mappe differenziabili tra superfici.
    Riferimento. Cap. IV. Sez. 3 e 5. Esercizi. Cap. IV. Sez. 3: Es.1, 6, 8, 10 (vecchia edizione). Sez. 5: Es. 2, 5, 16 (vecchia edizione)
  • 27/11 (2 ore) Proprieta' topologiche di superfici: connessione compattezza, orientabilita'.
    Riferimento. Cap. IV Sez. 7. Esercizi. Cap. IV Sez. 7: Es.1, 7, 13 (vecchia edizione)
  • 1/12 LEZIONE CANCELLATA.
  • 5/12 (2 ore) Algebra lineare: operatori simmetrici (o autoaggiunti). Teorema spettrale: gli zeri del polinomio caratteristico di un operatore simmetrico sono tutti reali e l'operatore e' sempre diagonalizzabile per mezzo di una base ortonormale di autovettori. Forma quadratica associata. Forma canonica metrica di una forma quadratica. Autovalore massimo e autovalore minimo sono il massimo e il minimo della forma quadratica sulla sfera unitaria.
    Riferimento. Qualsiasi libro di algebra lineare/geometria 1. Esercizi.
  • 08/12 FESTIVITA'.
  • 12/12 (2 ore) Forme quadratiche: continuazione. Espressione rispetto ad una base ortonormale. Forma canonica metrica come espressione della forma quadratica rispetto ad una base ortonormale di autovettori dell'operatore simmetrico corrispondente.
    Richiami su derivate direzionali, derivata covariante di un campo di vettori su E(3). Definizione di derivata covariante di un campo di vettori definito su una superfice.
    Riferimento. Cap. V. Sez. 1 Esercizi.
  • 15/12 (3 ore) Definizione dell'operatore forma. Dimostrazione che e' un operatore lineare sullo spazio tangente ed e' simmetrico. Esempi. Forma quadratica associata ristretta alla circonferenza unitaria: curvatura normale. Curvatura normale come curvatura della sezione normale (a meno di segno). Curvatura gaussiana, curvatura media, curvature principali. Approssimazione quadratica della superficie. Tecniche di calcolo.
    Riferimento. Cap. V. Sez. 1, 2. 3 e 4. Esercizi. Cap. V, Sez. 1. Es. 1,2.,3,4 (vecchia ediz.). Sez. 2: Es.1.3.4. Sez. 3. Es. 1, 3.
  • 19/12 (1 ora) Esempi.
    Riferimento. Cap. V sez. 4. Esercizi. Cap. V Sez. 4. Fino a Es. 17.
  • 22/12 (3 ore) Curve principali. Curve asintotiche. Superfici rigate. Esempi.
    Riferimento. Cap V Sez. 5 (eccetto geodetiche). Esercizi. Cap V Sez. 5
  • 09/01/2018 (2 ore) Superfici di rivoluzione.
    Riferimento. Cap V Sez. 6 Esercizi. Cap V Sez. 6
  • 12/01 (3 ore) Superfici di rivoluzione (continuazione): costruzioni di diverse surfici di rivoluzione con curvatura costante positiva. Coniche e quadriche: matrici associate, classificazione, quadriche degeneri e non-degeneri. Riduzione di una equazione qudratica a forma canonica.
    Riferimento. Superfici di rivoluzione: Cap V Sez. 6. Coniche e quadriche: ogni libro di Geometria I. Esercizi. Cap V Sez. 6
  • 16/01 (2 ore) Esercizi su superfici.
    Riferimento. Cap V
  • 19/01 (3 ore) Esercizi
    Riferimento. Cap V

Esercizi finali.
  • Superfici:
    Cap. 4 Sez. 1: Es. 8, 9
    Cap. 4 Sez. 2: Es. 3, 4, 7, 9, 10
    Cap. 4 Sez. 3: Es. 8
    Cap. 4 Sez. 5: Esercizi 3-4, 11, 12
    Cap. 5 Sez. 1: Es. 4, 5, 7
    Cap. 5 Sez 4: Esercizi 6, 7, 9
    Cap. 5 Sez. 5: Esercizi 1, 4, 6-7(a)
    Cap. 5 Sez. 6: Esercizi 6, 12, 17
    Cap. 5 Sez. 7: Esercizi 1-5-6, 2