Prof. Giuseppe Pareschi


Department of Mathematics

Viale della Ricerca Scientifica 1, 00133, Roma, IT

Stanza: 0212

Telefono: 06 72594621

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SUPERFICI DI RIEMANN (Laurea Magistrale in Matematica, Anno 2013-'14, secondo semestre, 4 marzo 2013 - 7 giugno 2013)

Docente : Prof. Giuseppe Pareschi



Orario: (da confermare)

LU 16-17.30, aula 11
MA 9.30 - 11, aula D'Antoni, (NOTA IL CAMBIO DI AULA!)
VE 8.30 - 11, aula D'Antoni

ANNUNCI: NEW!

Il Corso
Si tratta di un'introduzione alla geometria algebrica complessa, con particolare enfasi sulle superfici di Riemann compatte e i tori complessi.
Gli unici prerequisiti sono i corsi di Matematica OBBLIGATORI della Laurea Triennale.

Programma
Preliminari su forme differenziabili. Funzioni di piu' variabili complesse. Varieta' complesse e coomologia di De Rham e di Dolbeault. Fasci e coomologia. Theoremi di De Rham e Dolbeault. Omologia di varieta' differenziabili. Fibrati vettoriali, connessioni e curvatura. Theorema di Hodge. Varieta' Kahleriane.
Divisori e fibrati lineari. Teorema di annullamento di Kodaira. Teoremi di Lefschetz. Teorema di immersione di Kodaira. Grassmanniane.
Superfici di Riemann compatte/curve proiettive complesse. Formula di Riemann-Hurwitz. Teoremi di Abel e Jacobi. Sistemi lineari, Teorema di Riermann-Roch, e applicazioni.
Tori complessi e varieta' abeliane. Fuzioni theta. Varieta' Jacobiane e divisore theta di Riemann.

Diario delle lezioni:

7/3 PRELIMINARI SU FUNZIONI OLOMORFE DI PIU" VARIABILI COMPLESSE E VARIETA" COMPLESSE: Funzioni olomorfe in piu' variabili: equazioni di Cauchy-Riemann, formula integrale di Chaucy, analiticita'. Richiami sulla derivazione complessa.

10/3 Teorema di Hartogs. Richiami sulla derivazione complessa.

11/3 Derivazioni e spazio tangente a R(2n). Suo complessificato. Base \{\delta/\delta z_i,\delta/delta\bar{z}_i\}_i. Determinante jacobiano. teoremi della funzione inversa e della funzione implicita nel caso olomorfo. .

14/3 Varieta' differenziabili. Morfismi Orientabilita' e orientazione. Esempi. Varieta' complesse. Morfismi. Sono orientabili e orientate. Esempi: tori complessi. Morfismi di tori complessi. Non sono tutti biolomorfi tra loro.

17/3 : Teorema di preparazione di Weierstrass. Descrizione locale del luogo di zeri di una funzione olomorfa. Anello dei germi di funzioni olomorfe e sua fattorialita'.

18/3: Teorema di estensione di Riemann. Teorema di divisione di Weierstrass. Applicazione: l'anello dei germi di funzione olomorfe e' noetheriano. Altre applicazioni: teorema degli zeri debole, esistenza di punti f-regolari in Z(f) se f irriducibile etc..

21/3: Risultante e discriminante (Ref.: (3) Appendice). Teor.: se F biettiva olomorfa allora anche l'inversa e' olomorfa. Sottovarieta' analitiche. Teor: se X e' analitica irriducibile allora l'aperto dei punti regolari e' connesso.

24/3: cancellata

25/3: Spazi proiettivi complessi. Sottovarieta' algebriche. Omogeneizzazione/deomogeneizzazione.
SUPERFICI DI RIEMANN. Morfismi di SdR. Punti di ramificazione. Grado del morfismo. Formula di Riemann-Hurwitz.

28/3: Teorema di esistenza di Riemann. SdR associata ad una curva algebrica piana (normalizzazione).

28/3: Teorema di esistenza di Riemann. SdR associata ad una curva algebrica piana (normalizzazione). PRELIMINARI SU VARIETA' DIFFERENZIABILI< FORME DIFFERENZIALI E COOMOLOGIA DI DE RHAM. Fibrati vettoriali e funzioni di transizione. Operazioni sui fibrati vettoriali (prodotto tensoriale, esterno, fibrato duale). Esempio: il fibrato tautologico sugli spazi proiettivi complessi.

31/3: Spazio tangente. Fibrato tangente. Forme differenziali. Pullbck di forme differenziali. Derivazione di forme differenziali. Il funtore dell'algebra differenziale delle forme differenziali.

1/4: Integrazione di forme differenziali a supporto compatto.

4/4: Varieta' con bordo. Teorema di Stokes.

7/4: cancellata

8/4: Coomologia di De Rham. Successione di Mayer-Vietoris. Lemma di Poincare'. Esempi di calcolo di gruppi di coomologia di De Rham.

11/4: FASCI E COOMOLOGIA. Prefasci e fasci. Fasci di A-moduli (localmente liberi). Esempio: corrispondenza fibrati vettoriali - fasci localmente liberi. Fasci (localmente) costanti. Spighe. Il fascio associato ad un prefascio. Nucleo, immagine, conucleo di morfismi di fasci. Complessi esatti di fasci. La risoluzione di De Rham del fascio costante R. Funtori (covarianti) esatti a destra/esatti a sinistra (destra). Esempi.

14/4Funtori additivi. Costruzione dei funtori derivati: oggetti proiettvi e iniettivi. Risoluzioni iniettive (proiettive) e loro proprieta'. Definizione dei funtori derivati. Successione esatta lunga per i funtori derivati. Esempi: Ext, Tor e coomologia a coefficienti in un fascio di gruppi abeliani.

15/4 Gruppi abeliani proiettivi. Gruppi abeliani iniettivi. Dimostrazione che le categorie dei gruppi abeliani e dei fasci in gruppi abeliani su un fissato spazio topologico X hanno abbastanza iniettivi. Calcolo dei funtori derivati per mezzo di risoluzioni acicliche.

28/4 Fasci flasque. I fasci flasque sono aciclici. Fasci di Godement e risoluzione di Godement. Moduli su un fascio di anelli e loro risoluzione di Godement. Proposizione: se un fascio di anelli ammette sempre la partizione dell'unita' allora un modulo su di esso e' aciclico (rispetto al funtore delle sezioni globali).

29/4 Teorema: per una varieta' differenziabile, la coomologia a valori nel fascio costante R e' isomorfa alla coomologia di De Rham. Co-catene singolari. Coomologia singolare. Prefascio delle cocatene singolari e fascio associato. Teorema: per uno spazio localmente contraibile la coomologia a coefficienti nel fascio constante Z (o R) e' isomorfa alla coomologia singolare a coefficienti in Z (o R). Teorema di De Rham: per una varieta' differenziabile la coomologia di De Rham e' isomorfa alla coomologia singolare a coefficienti in R.

5/5 Formulazione piu' precisa del teorema di De Rham (l'isomorfismo e' datto dall'integrazione sui cocicli differenziabili). Coomologia di Cech.

6/5 Relazione tra la coomologia di Cech e la coomologia a coefficienti in un fascio. Applicazione: la coomologia sincolare di una varieta' differenziabile e' finitamente generata.

9/5 Isomorfismo tra il primo gruppo di coomologia a coefficienti in un fascio e il primo gruppo di coomologia di Cech. Applicazione: descrizione del gruppo dei fibrati di rango/modulo isomorfismo come l' H1 a coeffcienti nel fascio degli elementi invertibili dell'anello delle funzioni.
FORME DIFFERENZIALI SU VARIETA" COMPLESSE E TEORIA DI DOLBEAULT. Spazi tangenti e fibrati tangenti su una varieta' complessa: olomorfo, reale, complessificato e componemte (1,0). Forme differenziali a valori complessi e decomposizione in componenti (p,q). Operatori delta e delta-bar. Complessi di Dolbeault e teorema di Dolbeault (solo enunciato).

12/5 Cancellata

13/5 Cancellata

19/5 Dimostrazione del delta-bar Poincare' Lemma. Dimostrazione del teorema di Dolbeault.
TEOREMI DI HODGE PER VARIETA' RIEMANNIANE E HERMITIANE. Varieta' riemanniane (cenni). Forma volume. Definzione dell'operatore * di Hodge.

20/5 Definizione dell'operatore d*, aggiunto di d rispetto al prodotto scalare sulle forme differenziali dalla metrica riemanniana. Definizione del laplaciano e sue proprieta'. Teorema di Hodge per varieta' rimenniane compatte (solo enunciato). Conseguenza: isomorfismo tra la coomologia di De Rham e le forme armoniche.

23/5 Dualita' di Poincare' per varieta' differenziabili orientabili compatte (forma debole).
Per varieta' complesse e fibrati olomorfi su varieta' complesse muniti di metrica hermitiana, definizione dell'operatore di Hodge *E e dell'operatore aggiunto delta-bar(E)*. Laplaciano e teorema di Hodge in questo contesto. Conseguenza: ismorfismo tra le forme armoniche rispetto al laplaciano asspciato a delta-bar(E) e la coomologia di E (fibrato olomorfo munito di metrica hermitiana su una varieta' complessa munita di metrica hermitiana). Dualita' di Serre.

26/5 TEOREMA DI DECOMPOSIZIONE DI HODGE PER VARIETA" KAHLERIANE COMPATTE.
Aggiunti degli operatori delta e delta-bar. Uguaglianza (a meno di scalare) dei tre laplaciani. Conseguenza: il teorema di decomposizione di Hodge.

27/5 ANNULLATA

30/5 Preliminari di algebra lineare hermitiana: spazio vettoriale complesso V, spazio vettoriale complessificato V(C)=V(R) tensorizzato (su R) con C. Strutture complesse du V(C).
Corrispondenza tra forme hermitiane su V e V(1,1) intersezione Lambda2 V(R). Definizione di varieta' kahleriana. Caratterizzazione delle metriche kahleriane come quelle che osculano la metrica euclidea all''ordine due.

3/6 Enunciato delle identita' di Kahler-Hodge e dimostrazione che implicano l'uguaglianza dei Laplaciani. Dimostrazione delle idenita' di Kahler-Hodge sulla metrica euclidea (inizio) 23/5 Dimostrazione delle identita' di Kahler-Hodge sulla metrica euclidea. Estensione al metriche kahleriane generali usando l'osculazione della metrica euclidea all'ordine 2.

Esercizi

Riferimenti:
PRELIMINARI SU FUNZIONI OLOMORFE DI PIU' VARIABILI COMPLESSE E VARIETA COMPLESSE: mi sono basato su
  • (1) Ph. Griffiths and I. Harris: Principles of Algebraic Geometry, Wiley (1978), Sez. 0.1 e 0.2
e soprattutto su
  • (2) D. Huybrechts: Complex Geometry: an introduction, Springer (2005) Cap. 1

PRELIMINARI SU SUPERFICI DI RIEMANN (incluso teorema di esistenza di Riemann, superficie di Riemann di una curva algebrica piana, formula di Riemann-Hurwitz). Mi sono basato su:
  • (3) S. Donaldson, Riemann Surfaces, Oxford Univ. Press (2011), Cap. 3 e 4.
  • (4) W. Fulton, Algebraic Topology, a first course, Springer (1995), cap. 19 e 20

PRELIMINARI SU VARIETA' DIFFERENZIABILI, FORME DIFFERENZIALI E COOMOLOGIA DI DE RHAM (inclusi teorema di Stokes, Lemma di Poincare' e Successione di Mayer-Vietoris):
  • (5) R. Bott and L. Tu: Differential forms in algebraic topology, Springer, (1982) Sez. 1.1-4.
Vedi anche (3) e (4).

FASCI, FUNTORI DERIVATI, COOMOLOGIA (incluso Teoremi di De Rham) Dolbeault)
  • (6) C. Voisin: Theorie de Hodge e Geometrie Algebrique complexe, SMF (2002), Cap. 4 (c'e' anche la versione inglese).
  • (7) S, Lang, Algebra (2nd or 3rd edition), Addison-Wesley (1984). Cap. III.8 (Gruppi abeliani iniettivi) e IV, Sez. 5-7.


FORME DIFFERENZIALI A VALORI COMPLESSI E TEORIA DI DOLBEAULT:
  • (6) 2.1, 2.3 (in questo testo il delta-bar-Poincare'-lemma e' dimostrato in modo piu' semplice qui che in (1) e (2)). Pero' anche (1) e (2) contengono le stesse cose, e in alcuni altri punti sono piu' chiari.


TEOREMI DI HODGE PER VARIETA' RIEMANNIANE E HERMITIANE:
  • (6) cap.5 oppure
  • (2) Appendice A (per il teorema sulle varieta' Riemanniane) e sezione 4.1 per la generalizzazione a fibrati olomorfi (in questa sezione si fa riferimento al alcuni fatti di algebra lineare introdotti, nel contesto piu' ampio delle strutture quasi-complesse, nella sezione 1.2).
  • La dimostrazione del teorema di Hodge non e' in programma. pero' chi fosse interessato puo' trovare una dimostrazione scritta in modo molto comprensibile nel libro: F. Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie Groups, Capitolo 6


TEOREMA DI HODGE PER VARIETA' KAHLERIANE:
  • Per l'algebra lineare della definizione di forma hermitiana kahleriana si possono consultare sia (1) (p.27-29 e 106-107), sia (2) Sez. 1.2 e sia (6) (sez. 2.2.1 e 3.1.1/2).
    La stessa cosa vale per l'osculazione all'ordine due della metrica euclidea: (1) Lemma p.107, (2) Prop. 1.3.12 ma il trattamento piu' chiaro e' (6) Prop. 3.14.
    Dimostrazione dell'uguaglianza dei laplaciani: (6) Teorema 6.7.
  • Dimostrazione delle identita' di Kahler-Hodge: (1) p.111-114 (ma l'ultima parte della'argomento e' solo accennata).